高中数学必修4 第二章课例：平面向量的应用举例.docx

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1、高中数学必修4 第二章课例：平面向量的应用举例 金太阳新课标资源网 回味平面对量的章节导言课例：平面对量的应用举例 1 说明 1一般中学数学课程标准（试验）指出：“中学数学课程是以模块和 专题的形式呈现的.因此，教学中应留意沟通各部分内容之间的联系，通过类比、联想、学问的迁移和应用等方式，使学生体会学问之间的有机联系，感受数学的整体性，进一步理解数学的本质，提高解决问题的实力.例如，教学中要注意函数、方程、不等式的联系；向量与三角恒等变形、向量与几何、向量与代数的联系；数与形的联系”“向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景能用向

2、量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算实力和解决实际问题的实力.” 为了深化探讨新课标、新课程、新理念，笔者在上述理念的启导下，在自己所在学校开设了一节公开课平面对量应用举例（选自人教社必修4其次章），受到了其他老师的一样好评.现对这节课的课堂教学过程简录如下，并依据课后大家的点评以及个人的体会和看法做些分析，供大家参考，如有不妥之处敬请同行指责指正.2 教学过程简录 2.1导言引入，设置悬念 老师：前面我们一起学习了向量的线性运算和数量积运算，因为有了运算，向量的力气无限.（学生笑了笑，并示意的点了点头） 老师：今日我要带领大家再一次来回味一下本章内容的章节导言.(“哦！”学

3、生发出一阵惊诧和期盼的声音) 老师：课本73页平面对量的章节导言中有着这么两段话： （多媒体课件演示，以下不再注明） 向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相像、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算（运算律），从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系. 向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学科中具有广泛的应用.老师：哪句话大家看后有特殊深的体会啊？ 学生：向量有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具. 学生：向量是沟通代数、几何、三角函数的一种工

4、具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学科中有广泛的应用. 老师：是的.我们在学习向量的线性运算和坐标表示的时候，就体会到了向量通过坐标运算可以把几何问题转化成代数问题.今日我们要通过探讨几个详细的问题来进一步相识向量是沟通代数、几何、三角函数的一种工具.老师：首先我们先看看向量是怎么沟通代数的，下面大家请看屏幕这道题目. 2.1深化导言，层层递进 _ 例 1、证明：对于随意的a、b、c、dR，恒有不等式(ac+bd)(a22+b)(c22+d). 2金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网 （以一道不等式证明引起学生思索，学生纷纷动手，巡察片刻，绝大部分学生采纳作差比较.但从他们都是紧皱着眉

5、头看出证出这道题有困难.） 老师：不等式的右边是两个因式的乘积，大家能否看出每个因式“像什么”？比如a2+b“像”我们学过的哪个学问点？（片刻，有些学生像领悟到了什2 么） 学生1：向量的模.（有些学生感到困惑） 学生2：（迫不及待地）应当说是一个向量模的平方.urur22老师：对！假如我们构造个向量m=(a,b)，则a+b就可看作向量m模 的平方. （学生都明白过来了，轻声地说那c+d rn=(c,d)模的平方.） 22不就可以看作向量 老师：不错，大家把不等式的右边看作是两个向量模的平方的乘积，那么不等式的左边又是什么呢？或者说像我们学习到的哪种模式？接下来要怎么证明请大家思索一下. ur

6、rurr 学生3：我觉得在构造向量m,n后，不等式的左边就可以看作是向量m,n数 urr 量积的坐标表示.设向量m,n的夹角为q，则有： urrmn=ac+bd=q.然 行放缩就可以得到结论了.（听到他的表述，全班同学都发出赞许的声音：“对哦！”） （板书解题过程，略） 老师：这道题目假如纯粹采纳代数的方法去证明可能很困难，但是我们在这里通过构造法利用向量的数量积学问来处理，显得比较简洁和直观，下面我们来看一个类似的变式题目. 练习 1、求函数f(x)= +最小值.（学生在深思） 老师：能否用向量的方法去思索.（略微点拨，学生茅塞顿开） rr 学生4：构造向量u=(x-1,1),v=(4-x,

7、3)，那么函数f(x)就可以看作是向量rrrrrru,v模的和，然后利用u+vu+v就可求得f(x)的最小值为5.（听到她如此流畅的表述，全班同学都投以赞许的目光，并发出啧啧的声音表示向量在代数方面的应用的确奇异.） 老师：以上那两个例题是说明向量在代数中的应用，当然以后我们学了其它学问也可用其它方法来做.接下来我们要来看看可用向量方法来解决平面几何中的一些问题. 例 2、平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型. 老师：前面我们学习过了，凡是涉及长度问题经常考虑向量的什么？ 学生：向量的数量积.老师：不错！凡是涉及到向量的模，我们考虑它的数量积.那大家发觉了什么没有？ 学生5：计算 uuur

8、AC2uuur2uuurAC与DB22发觉 uuur+AD2uuuruuuruuur2=(AB+AD)=ABuuuruuur+2ABAD uuurDB2uuuruuuruuur2uuur2uuuruuur2=(AB-AD)=AB+AD-2ABAD uuurACuuur+DB2uuur=2(AB2uuur2+AD) 因此得出结论是：平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和.老师：完全正确！同学们听明白了没有？ 学生：摁.（学生们笑了笑） 老师：平面几何常常涉及距离（线段长度）、夹角问题，而平面对量的运算，特殊是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的交角，因此我们可以用向量方法解决部分几何问

9、题. 老师：从这个例题我们看到了解决几何问题时，先用向量表示相应的点、线段夹角等几何元素；然后通过向量的运算，特殊是数量积来探讨点、线段等元素之间的关系；最终再把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论.下面我们共同来用向量的方法来解决另一个平面几何中的问题.练 2、如图2，已知四边形ABCD为菱形，请用向量方法证明ACBD.学生uuuruuur6：只需证出ACDB=0即可.老师：那要怎么证明呢？ 学生ruuuruuuruuuruuuruuuruuu6：因为AC=AB+AD,DB=AB-AD, uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur2所以ACDB=(AB+AD)(AB-

10、AD)=AB-因为uuur2uuur2ABCD是菱形，所以AB=AD,所以AB-AD=0.uuuruuur因此ACDB=0,所以ACBD. 老师：看来向量在平面几何的简洁应用同学们可以驾驭了.那同学们，你们说平面对量的哪块学问是沟通平面几何的关键？ 学生：平面对量的数量积. 老师：不错，平面对量的数量积是一个特别重要的概念，利用它可以简单地证明平面几何的很多命题，从而使几何和向量有较好的联系和沟通.因此我们 金太阳新课标资源网 还可以用向量学问可以证明或推导很多几何定理和其他性质. 学生：这么奇异，原来向量这么有用.（学生都赞同地点了点头） 老师：是的.那我们又要回到本章导言了，那你们说向量还

11、沟通什么学问我们没给出例子的？ 学生：三角函数.老师：看来同学们都很期盼嘛. 老师：那接下来我们就高姿态的看看向量是如何 和三角紧密在一起的.例 3、如图3，在平面直角坐标系中，以原点 为圆心，单位长度为半径的圆上有两点A(cosa,sina), 图 3B(cosb,sinb),试用A、B两点的坐标表示AOB的余弦值.老师：前面我们刚提过涉及到夹角问题我们可用哪些相关学问来解决？ 学生：向量的数量积. 老师：完全正确!那谁来帮忙解答这题. 学生 即 cos(a-b)=cosacosb+sinasinbuuuruuurOAOBcosacosb+sinasinb7：cosAOB=cos(b-a)=

12、11OAOB . 学生：太奇妙了！这个公式能用吗？ 老师：当然.这次我们发觉了新大陆啊！这个公式可是沟通其次章与第三章的桥梁，把书翻到126页，同学们发觉什么？ 学生：就是刚才我们证明的这个公式. 老师：对，我们把这个公式叫做差角的余弦公式.有了它，我们可以做许多工作，比如我们利用这个公式来算算cos15o. 学生8：cos15o=cos(45o-30o)， 4. 老师：反应很快嘛. 老师：例3这个例子，主要是让同学们体会向量在三角中的运用，同时也为后面章节中两角差的余弦公式的学习作打算.比如依据差角的余弦公式可得到和角的余弦公式及差角与和角的正弦公式，同学们自己下去可自行探究.今日我们在这里

13、扯远了先短暂不提. 2.3体验过程，完善认知 老师：现在请同学们谈谈学习这节课的感受，原委你获得了哪些学问？ 学生5：向量是集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.学生3：觉得向量数量积是一个很重要的概念. 学生rr7：我也觉得向量的数量积ab是一个特别重要的概念，它是解决一些涉及距离、夹角等问题的一种有力工具. 金太阳新课标资源网 老师：今日我们通过学习向量在代数、几何、三角中的应用，明白了“数学是有用的”吧！而且数学是自然的、清晰的.希望同学们能类比地学、联系地学，对数学有个正确的相识.（教室响起一片热情的掌声和笑声） 3 教学特色简评 文【1】指出：“数学的发展既有内在的动力，

14、也有外在的动力.在中学数学的教学中，要注意数学的不同分支和不同内容之间的联系，数学与日常生活的联系，数学与其他学科的联系.”本节教学就是基于这点，使学生经验用向量方法解决某些简洁的平面几何问题、代数问题以及三角问题的过程，体会向量是处理几何问题、代数问题等的工具，提高学生运算实力和应用实力.下面就简洁地评说一下该课例的特色之处.3.1注意提高学生的数学思维实力 新课程标准实施之后的数学课，不再以“重点是否突出，内容是否完成，技能是否驾驭”为单一的学问目标，也不再是以“板书是否清楚，语言是否流畅，用时是否合理”等片面的艺术价值观来评价一堂课.它更注意过程性原则，是否让学生真正地去“感受数学”；是

15、否充分体现学生在发展中的主体地位，在数学活动中充溢探究和创建等等.而这一切都是以发展学生的思维水平和实力为宗旨.这堂课采纳了以“回味”的趣味性导入，至始至终引导学生应用向量的意识，把学生应用实力的培育放在优先地位，这充分体现了以学生为主体的教学理念.比如例1与练1，学生很可能用不等式与函数的学问干脆去处理，可是经过引导可用向量方法来做，学生的思维立刻就可以发散出去.再比如把向量应用在三角方面，得到了差角的余弦公式，有助于学生了解数学概念和结论产生的过程，体验数学探讨的过程和创建的激情.后来又说“比如依据差角的余弦公式可得到和角的余弦公式及差角与和角的正弦公式，同学们自己下去可自行探究.”这也有

16、助于培育学生独立思索和勇于探究的习惯，培育学生发觉、提出、解决数学问题的实力，有助于发展学生的创新意识和实践实力. 3.2强调本质，留意适度形式化 中学数学课程应当返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质.数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探究活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，进一步理解数学的真正本质.许多学生学了向量只知道向量的外表形式即它可以线性运算、坐标表示，却不知向量的真正内涵与运用价值.因此根本不知道向量可用在哪里，更谈不上对学问的承上启下，因此感觉数学是索然无味的.本节课就克服了这点，用“回味”来吸引学生，始终努力揭示向量是解决

17、几何等其他问题的一种有力工具，以及培育学生应用的意识.例1这个题目通过不等式的证明引出向量的数量积，使学生达到了对数学概念的深刻理解，从而真正相识了数学的表达形式与本质的统一.文【2】也指出：“平面对量的教学着眼于让学生驾驭处理几何问题的代数方法，体会数形结合思想.向量既是代数的对象，又是几何的对象.作为代数对象，向量可以进行运算；作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线、平面、切线等几何对象.运用向量刻画几何对象和几何度量问题都是通过向量的代数运算来实现的.”本节课的例2就做到了数与形的结合，形式与本质的辨证统一. 3.3教学过程生动活泼、妙趣横生 回味本章内容的章节导言作为开场白，给学生留下

18、了一个悬念.在渐渐给出向量的应用时，学生才品尝出这导言的深刻内涵，知道了向量与几何、向量与代数、向量与三角恒等变形的联系是有血有肉、不容分割的.金太阳新课标资源网 本堂课的设计还是具有比较先进的教学理念和教学模式，教会学生注意联系，领会思想；引导学生开阔视野，拓展思维.因此教学过程生动活泼，到处是一片愉悦的景象.同时教学语言妙趣横生，让学生更加喜爱参加进来.比如“看来同学们都很期盼嘛”“那接下来我们就高姿态的看看向量是如何和三角紧密在一起的”“这次我们发觉了新大陆啊！这个公式可是沟通其次章与第三章的桥梁.”等等都让学生获得对该学科学习的主动体验与情感. 4 课后反思 4.1本课例满足之处 在执

19、行新课改中，这一节诚然是对老师的一次严峻挑战，因为在老教材中没有出现过这节内容而且很少关注向量的真正应用.以往学生学了向量学问也很少懂得去联系或沟通其它分支的学问.本课例令我最满足之处就是用“回味”章节导言，牢牢抓住“向量是沟通代数、几何、三角函数的一种工具”这根主线，逐一向学生介绍向量的应用领域，让学生获得对该学科学习的主动体验与情感. 本课例还令我满足的就是整节课的构思很注意数学各分支的联系，这样有利提高学生对数学整体的相识.特殊是例3用向量方法推导出差角的余弦公式及简洁应用，使本节课达到了应有的高潮，所以学生也对此评价很高.4.2课后再反思 平面对量及其运算与空间向量及其运算紧密联系，与

20、数及其运算也干脆相关，在其他学科（特殊是物理）中也有广泛应用，而这节课却忽视了这些.比如，平面对量的实际背景及基本概念就来源于物理学中的一些实例，假如课堂上提到向量在物理方面的应用，这样就能使学问“前呼后应”、“融会贯穿”.本节课还一个不足之处就是发觉自己讲得比较多，其实关键应让学生去感悟与自己思索. 还有，其实我们更应当教育学生怎么懂得去运用向量，尤其在哪些题目中运用向量的方法能使题目快速得以解答.正如课本的章节导言所说的那样：“向量是沟通与探讨解决代数、几何、三角函数的一种有力工具.”因此引导学生如何去运用向量来解决众多的问题才是教本节平面对量的应用举例的真正目的！ 中学数学必修4 其次章

21、课例：平面对量的应用举例 中学数学必修4人教A教案其次章平面对量复习 中学数学 其次章平面对量复习课教案 新人教A版必修4 中学数学 其次章 平面对量向量的概念教学设计 新人教B版必修4 中学数学 第2章 平面对量 2.3 向量的坐标表示学案苏教版必修4 中学数学其次章平面对量2.1从位移、速度、力到向量教案北师大版必修4课件 中学数学 其次章平面对量的正交分解和坐标表示及运算教案 新人教A版必修4 中学数学竞赛讲义(八)平面对量 其次章 平面对量教学设计 中学数学必修4教案 平面对量基本定理、平面对量的正交分解和坐标表示及运算 本文来源：网络收集与整理，如有侵权，请联系作者删除，谢谢！第16页 共16页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页