高三数学导数题的解题技巧教学设计导数命题趋势 综观.docx

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1、高三数学导数题的解题技巧教学设计 导数命题趋势 综观 高三数学导数题的解题技巧教学设计 【命题趋向】 导数命题趋势: 综观历届全国各套高考数学试题,我们发觉对导数的考查有以下一些学问类型与特点: (1)多项式求导(结合不等式求参数取值范围),和求斜率(切线方程结合函数求最值)问题. (2)求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合. 分值在12-17分之间,一般为1个选择题或1个填空题,1个解答题. 【考点透视】 1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等);驾驭函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念. 2.熟记基本导数公式;驾驭两个函

2、数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则,会求某些简洁函数的导数. 3.理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值. 【例题解析】 考点1 导数的概念 对概念的要求:了解导数概念的实际背景,驾驭导数在一点处的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念. 例1.(2007年北京卷) 是 的导函数,则 的值是 . 考查目的 本题主要考查函数的导数和计算等基础学问和实力. 解答过程 故填3. 例2.( 2006年湖南卷)设函数 ,集合M= ,P= ,若M P,则实数a的取值范围是

3、 ( ) A.(-,1) B.(0,1) C.(1,+) D.1,+) 考查目的本题主要考查函数的导数和集合等基础学问的应用实力. 解答过程由 综上可得M P时, 考点2 曲线的切线 (1)关于曲线在某一点的切线 求曲线y=f(x)在某一点P(x,y)的切线,即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率. (2)关于两曲线的公切线 若始终线同时与两曲线相切,则称该直线为两曲线的公切线. 典型例题 例3.(2007年湖南文)已知函数 在区间 , 内各有一个极值点. (I)求 的最大值; (II)当 时,设函数 在点 处的切线为 ,若 在点 处穿过函数 的图象(即动点在点 旁边沿曲

4、线 运动,经过点 时,从 的一侧进入另一侧),求函数 的表达式. 思路启迪:用求导来求得切线斜率. 解答过程:(I)因为函数 在区间 , 内分别有一个极值点,所以 在 , 内分别有一个实根, 设两实根为 ( ),则 ,且 .于是 , ,且当 ,即 , 时等号成立.故 的最大值是16. (II)解法一:由 知 在点 处的切线 的方程是 ,即 , 因为切线 在点 处空过 的图象, 所以 在 两边旁边的函数值异号,则 不是 的极值点. 而 ,且 . 若 ,则 和 都是 的极值点. 所以 ,即 ,又由 ,得 ,故 . 解法二:同解法一得 . 因为切线 在点 处穿过 的图象,所以 在 两边旁边的函数值异

5、号,于是存在 ( ). 当 时, ,当 时, ; 或当 时, ,当 时, . 设 ,则 当 时, ,当 时, ; 或当 时, ,当 时, . 由 知 是 的一个极值点,则 , 所以 ,又由 ,得 ,故 . 例4.(2006年安徽卷)若曲线 的一条切线 与直线 垂直,则 的方程为( ) A.B. C.D. 考查目的本题主要考查函数的导数和直线方程等基础学问的应用实力. 解答过程与直线 垂直的直线 为 ,即 在某一点的导数为4,而 ,所以 在(1,1)处导数为4,此点的切线为 . 故选A. 例5.( 2006年重庆卷)过坐标原点且与x2+y2 -4x+2y+ =0相切的直线的方程为 ( ) A.y

6、=-3x或y= x B.y=-3x或y=- x C.y=-3x或y=- x D.y=3x或y= x 考查目的本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础学问的应用实力. 解答过程解法1:设切线的方程为 又 故选A. 解法2:由解法1知切点坐标为 由 故选A. 例6.已知两抛物线 , 取何值时 , 有且只有一条公切线,求出此时公切线的方程. 思路启迪:先对 求导数. 解答过程:函数 的导数为 ,曲线 在点P( )处的切线方程为 ,即 曲线 在点Q 的切线方程是 即 若直线 是过点P点和Q点的公切线,则式和式都是 的方程,故得 ,消去 得方程, 若= ,即 时,解得 ,此时点P、Q重合. 当时

7、 , 和 有且只有一条公切线,由式得公切线方程为 . 考点3 导数的应用 中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数,导数是探讨函数性质的重要而有力的工具,特殊是对于函数的单调性,以导数为工具,能对其进行全面 的分析,为我们解决求函数的极值、最值供应了一种简明易行的方法,进而与不等式的证明,探讨方程解的状况等问题结合起来,极大地丰富了中学数学思想方法.复习时,应高度重视以下问题: 1.求函数的解析式; 2.求函数的值域; 3.解决单调性问题; 4.求函数的极值(最值); 5.构造函数证明不等式. 典型例题 例7.(2006年天津卷)函数 的定义域为开区间 ,导函数 在 内的图象如图所示,

8、则函数 在开区间 内有微小值点( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 考查目的本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础学问的应用实力. 解答过程由图象可见,在区间 内的图象上有一个微小值点. 故选A. 例8 .(2007年全国一)设函数 在 及 时取得极值. ()求a、b的值; ()若对于随意的 ,都有 成立,求c的取值范围. 思路启迪:利用函数 在 及 时取得极值构造方程组求a、b的值. 解答过程:() , 因为函数 在 及 取得极值,则有 , . 即 解得 , . ()由()可知, , . 当 时, ; 当 时, ; 当 时, . 所以,当 时, 取得极大值 ,又 , . 则当

9、时, 的最大值为 . 因为对于随意的 ,有 恒成立, 所以 , 解得 或 , 因此 的取值范围为 . 例9.函数 的值域是_. 思路启迪:求函数的值域,是中学数学中的难点,一般可以通过图象视察或利用不等式性质求解,也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为困难,采纳导数法求解较为简单。 解答过程:由 得, ,即函数的定义域为 . , 又 , 当 时, , 函数 在 上是增函数,而 , 的值域是 . 例10.(2006年天津卷)已知函数 ,其中 为参数,且 . (1)当时 ,推断函数 是否有极值; (2)要使函数 的微小值大于零,求参数 的取值范围; (3)若对(2)中所求的取值

10、范围内的随意参数 ,函数 在区间 内都是增函数,求实数 的取值范围. 考查目的本小题主要考查运用导数探讨三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础学问,考查综合分析和解决问题的实力,以及分类探讨的数学思想方法. 解答过程()当 时, ,则 在 内是增函数,故无极值. () ,令 ,得 . 由(),只需分下面两种状况探讨. 当 时,随x的改变 的符号及 的改变状况如下表: x 0 + 00 + 极大值 微小值 因此,函数 处取得微小值 ,且 若 ,则 .冲突.所以当 时, 的微小值不会大于零. 综上,要使函数 在 内的微小值大于零,参数 的取值范围为 . (III)解:由(II)知,函数 在区

11、间 与 内都是增函数。 由题设,函数 内是增函数,则a须满意不等式组 或 由(II),参数时 时, .要使不等式 关于参数 恒成立,必有 ,即 . 综上,解得 或 . 所以 的取值范围是 . 例11.(2006年山东卷)设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a -1,求f(x)的单调区间. 考查目的本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的实力 解答过程由已知得函数 的定义域为 ,且 (1)当 时, 函数 在 上单调递减, (2)当 时,由 解得 、随 的改变状况如下表 S 增函数 最大值 减函数 由此表可知,当x= R时,等腰三角

12、形面积最大. 答案: R 三、17.解:由l过原点,知k= (x00),点(x0,y0)在曲线C上,y0=x03-3x02+2x0, =x02-3x0+2,y=3x2-6x+2,k=3x02-6x0+2 又k= ,3x02-6x0+2=x02-3x0+2,2x02-3x0=0,x0=0或x0= . 由x0,知x0= , y0=( )3-3( )2+2 =- .k= =- . l方程y=- x 切点( ,- ). 18., 令f(x)=0得,x=0,x=1,x= , 在0,1上,f(0)=0,f(1)=0, . . 19.设双曲线上任一点P(x0,y0), , 切线方程 , 令y=0,则x=2x

13、0 令x=0,则 . . 20.解:(1)留意到y0,两端取对数,得 lny=ln(x2-2x+3)+lne2x=ln(x2-2x+3)+2x, (2)两端取对数,得 ln|y|= (ln|x|-ln|1-x|), 两边解x求导,得 21.解:设经时间t秒梯子上端下滑s米,则s=5- ,当下端移开1.4 m时,t0= , 又s=- (25-9t2) (-92t)=9t , 所以s(t0)=9 =0.875(m/s). 22.解:(1)当x=1时,Sn=12+22+32+n2= n(n+1)(2n+1),当x1时,1+2x+3x2+nxn-1= ,两边同乘以x,得 bsp; x+2x2+3x2+

14、nxn= 两边对x求导,得 Sn=12+22x2+32x2+n2xn-1 = . 23.解:f(x)=3ax2+1. 若a0,f(x)0对x(-,+)恒成立,此时f(x)只有一个单调区间,冲突. 若a=0,f(x)=10,x(-,+),f(x)也只有一个单调区间,冲突. 若a 单调增区间为(- , ). 24.解:f(x)= +2bx+1, (1) 由极值点的必要条件可知:f(1)=f(2)=0,即a+2b+1=0,且 +4b+1=0, 解方程组可得a=- ,b=- ,f(x)=- lnx- x2+x, (2)f(x)=- x-1- x+1,当x(0,1)时,f(x)0,当x(2,+)时,f(

15、x)ae,要证abba,只要证blnaalnb,设f(b)=blna-alnb(be),则 f(b)=lna- .bae,lna1,且 0.函数f(b)=blna-alnb在(e,+)上是增函数,f(b)f(a)=alna- alna=0,即blna-alnb0,blnaalnb,abba. 证法二:要证abba,只要证blnaalnb(ee),则f(x)= f(a)f(b),即 ,abba. 26.解:(1)f()= ,f()= ,f()=f()=4, (2)设(x)=2x2-ax-2,则当0,最小值f() 高三数学导数题的解题技巧教学设计 【命题趋向】 导数命题趋势 综观 初中作文：半命题

16、作文的解题技巧 中学历史选择题命题特点与解题技巧 PETS三级写作句子的命题思路与解题技巧 数学选择题的解题技巧 高考数学客观题的解题技巧浅谈 高三数学教案：导数的概念及应用 SAT数学选择题好用的解题技巧 高三历史教学反思索试解题技巧 新人教版 高考数学选择题的分析和解题技巧（优秀） 本文来源：网络收集与整理，如有侵权，请联系作者删除，谢谢！第10页 共10页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页