2412垂直于弦的直径（1）-.ppt

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1、24.1.2垂直于弦的直径O.CAEBDO OC CE EABD D.（1）圆圆 是是 _对对 称称 图图 形形 ， _ 是圆的对称轴是圆的对称轴.1 1圆的基本性质圆的基本性质轴轴任何一条直径所在的直线任何一条直径所在的直线(2)圆圆 是是 _对对 称称 图形，图形， _是对称中心是对称中心 圆圆 绕绕_旋转任意一个角度，都能够与原来旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合，这种性质叫的图形重合，这种性质叫_1 1圆的基本性质圆的基本性质圆心圆心圆心圆心中心中心旋转不变性旋转不变性（1）圆圆 是是 _对对 称称 图图 形形 ， _ 是圆的对称轴是圆的对称轴.轴轴任何一条直径所在的直线任何一条

2、直径所在的直线如何证明呢？如何证明呢？看一看看一看B.OCAEDO.CAEBDAEBEAEBE AEBE,已知：已知：在在 O中中COAEBD动动脑筋动动脑筋结论：结论： ADBD。 ACBC，CD是直径，是直径， AB是弦且是弦且CDAB于于E。垂径定理垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。所对的两条弧。题设题设结论结论（1）过圆心）过圆心（2）垂直于弦）垂直于弦（3）平分弦）平分弦（4）平分弦所对的一条弧）平分弦所对的一条弧（5）平分弦所对的另一条弧）平分弦所对的另一条弧E EO OA AB BD DC CE EA AB BC CD

3、 DE EO OA AB BD DC CO OB BA AE EE EO OA AB BC CE EO OC CD DA AB B 练习练习1在下列图形中，你能否利用垂径定理在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧找到相等的线段或相等的圆弧O OC CAE EBD D.（1）过圆心）过圆心(直径）直径）圆心圆心O（2）垂直于弦）垂直于弦垂足垂足E（3）平分弦）平分弦中点中点E（5）平分弦所对的另一条弧）平分弦所对的另一条弧弧的中点弧的中点D（4）平分弦所对的一条弧）平分弦所对的一条弧弧的中点弧的中点C动动脑筋动动脑筋 （1 1）平分弦）平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂直

4、于的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧弦，并且平分弦所对的两条弧. . （2 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧. . （3 3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. .推论（推论（1）根据垂径定理与推论可知：根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直线来说，如果具备：对于一个圆和一条直线来说，如果具备：（1 1）过圆心，（）过圆心，（2 2）垂直于弦，（）垂直于弦，（3 3）平分弦，）平分弦，（4 4）平分弦所对的一条弧）平分弦所对的一

5、条弧 （5 5）平分弦所对的另一条弧）平分弦所对的另一条弧上述五个条件存在上述五个条件存在“知二求三，求一找二知二求三，求一找二”的关系的关系（“平分弦的直径平分弦的直径”作为条件时，作为条件时，“弦弦”不能是直径）不能是直径）统一：统一：DC1088解解: :作作OCABOCAB于于C,C, 由垂径定理得由垂径定理得: :AC=BC= AB= AC=BC= AB= 16=816=8 由勾股定理得由勾股定理得: :答答: :2222OCOBBC10861212( (排水管中水最深是多少排水管中水最深是多少?)?)6CD=ODCD=ODOCOC=10=106=46=41 1 半径为半径为4cm4

6、cm的的O O中，弦中，弦AB=4cm,AB=4cm, 那么圆心那么圆心O O到弦到弦ABAB的距离是的距离是 。2 2 O O的直径为的直径为10cm10cm，圆心圆心O O到弦到弦ABAB的的 距离为距离为3cm3cm，则弦则弦ABAB的长是的长是 。3 3半径为半径为2cm2cm的圆中，过半径中点且的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是垂直于这条半径的弦长是 。 练习练习 cm32cm32 8cmA AB BO OE EA AB BO OE EO OA AB BE E反思：在反思：在 O中，若中，若 O的半径的半径r、圆心到弦的距离、圆心到弦的距离d、弦长弦长a中，任意知道两个量，

7、可根据垂径定理求出第三中，任意知道两个量，可根据垂径定理求出第三个量个量例例2：如图如图 ，某居民区一处圆形水泥管下水管，某居民区一处圆形水泥管下水管道破裂塌陷，修理人员准备更换一段新管道，现道破裂塌陷，修理人员准备更换一段新管道，现量得污水面宽度为量得污水面宽度为 60 cm60 cm，水面到管道顶部距离，水面到管道顶部距离为为 10 cm10 cm，问修理人员应准备内径是多少的水泥，问修理人员应准备内径是多少的水泥管道？管道？思路导引：思路导引：利用已知条件利用已知条件，垂，垂径定径定理构理构造直角三角造直角三角形运用形运用勾股定理勾股定理建立建立方程求解方程求解反思提炼反思提炼O.CAE

8、BDrdh2ardh2a两个基本图两个基本图两个基两个基本等量本等量关系关系: 22221rad drh2例例3 3 已知：如图，在以已知：如图，在以O为圆为圆心的两个同心圆中，大圆的弦心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于交小圆于C，D两点。两点。 求证：求证：ACBD。证明：过证明：过O作作OEAB，垂足为，垂足为E，则则AEBE，CEDE。AECEBEDE。所以，所以，ACBDE.ACDBO典例精析典例精析证明：作直径证明：作直径MNAB。ABCD，MNCD。则则AMBM，CMDM（垂直平分（垂直平分弦的直径平分弦所对的弦）弦的直径平分弦所对的弦）AMCMBMDMACBD.MCDABON

9、已知：已知： O中弦中弦ABCD。求证：求证：ACBD1.1.垂径定理相当于说一条直线如果具备垂径定理相当于说一条直线如果具备（1 1）过圆心；（过圆心；（2 2）垂直于弦）垂直于弦；则它有以下性质则它有以下性质（3 3）平分弦；（平分弦；（4 4）平分）平分弦所对的劣弧；（弦所对的劣弧；（5 5）平分弦所对的优弧。）平分弦所对的优弧。2.2.在圆中在圆中解决有关于弦的问题时，经常是解决有关于弦的问题时，经常是过圆心作弦的垂线段，连结半径过圆心作弦的垂线段，连结半径等辅助线等辅助线，为应用垂径定理创造条件。，为应用垂径定理创造条件。课堂小结课堂小结A AB B.O OE EA AB BD DC CO OE E一个定理一个定理反思提高反思提高两个推论两个推论二二条条 辅辅 助助 线线两个基本应用两个基本应用（计算、证明）（计算、证明）一一 个个 基基 本本 构构 造造三三 个个 基基 本本 性性 质质两两 个个 基基 本本 图图两个基两个基本等量本等量关系关系反思提炼反思提炼O.CAEBDrdh2a 22221radrdh2a两个基本图两个基本图两个基两个基本等量本等量关系关系: drh2