函数模型.ppt

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1、几类不同增长几类不同增长的函数模型的函数模型 在理想环境中，种群数量呈指数增长；在有在理想环境中，种群数量呈指数增长；在有限制的环境中，种群数量由指数增长转变为对数限制的环境中，种群数量由指数增长转变为对数增长，并逐渐趋于稳定。那么，应如何选择不同增长，并逐渐趋于稳定。那么，应如何选择不同的函数模型来描述这些现象呢？的函数模型来描述这些现象呢？几种模型几种模型例例1 1：假设你有一笔资金用于投资，现在有三种投资方案：假设你有一笔资金用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报方案一：每天回报4040元；元；方案二：第一天回报方案二

2、：第一天回报1010元，以后每天比前一天多回报元，以后每天比前一天多回报1010元；元；方案三：第一天回报方案三：第一天回报0.40.4元，以后每天的回报比元，以后每天的回报比前一天翻前一天翻一番一番. .请问，你会选择哪种投资方案？请问，你会选择哪种投资方案？解：设第解：设第x天所得回报是天所得回报是y元，元，则方案一：可以用函数则方案一：可以用函数y40(xN*)进行描述；进行描述；方案二：可以用函数方案二：可以用函数y10 x (xN*)进行描述；进行描述；方案三：可以用函数方案三：可以用函数y0.42x1(xN*)进行描述进行描述.方案方案 一一方案方案 二二方案方案 三三y/元元增加

3、量增加量y/元元y/元元增加量增加量y/元元y/元元增加量增加量y/元元140010100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.21040010010204.8102.43040030010214748364.8107374182.4根据以上的分根据以上的分析，是否应作析，是否应作这样的选择这样的选择: 投资投资5天以下选天以下选方案一方案一，投资投资58天选方天选方案二案二，投资投资8天以上

4、选天以上选方案三方案三.例例2: 某公司为了实现某公司为了实现1000万元利润的目标，准备万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润在销售利润达到达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元单位：万元)随销售利润随销售利润x(单位：万元单位：万元)的增加的增加而增加，但奖金总数不超过而增加，但奖金总数不超过5万元，万元，同时奖金总同时奖金总数不超过利润的数不超过利润的25%，现有三个奖励模型：现有三个奖励模型：y0.25x， ylog7x1， y1.002x， 其中哪个模型能符合公司的要求？其中哪

5、个模型能符合公司的要求？几种模型的比较几种模型的比较555. 411000log7 y1log7 xy按模型按模型 奖励时奖励时,奖金是否超过利润的奖金是否超过利润的25%令令f(x)log7x10.25x，x10,1000.利用计利用计算机作出函数算机作出函数f(x)的图象，由图象可知它是递减的，的图象，由图象可知它是递减的，因此因此f(x)f(10)0.31670，即，即log7x10.25x.所以当所以当x10,1000时，时， 模型模型ylog7x1奖励时奖励时, 奖金不会超过利润的奖金不会超过利润的25%.成立成立.再计算按模型再计算按模型 ylog7x1奖励时，奖金是否不超过奖励时

6、，奖金是否不超过利润的利润的25%，即当，即当x10,1000时，是否有时，是否有: 25. 01log7 xxxy成立成立.(1) 理解问题理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认：阅读理解，读懂文字叙述，认真审题，理解实际背景真审题，理解实际背景.弄清楚问题的实际背弄清楚问题的实际背景和意义，设法用数学语言来描述问题景和意义，设法用数学语言来描述问题.(2) 简化假设简化假设：理解所给的实际问题之后，领：理解所给的实际问题之后，领悟背景中反映的实质，需要对问题作必要的悟背景中反映的实质，需要对问题作必要的简化，有时要给出一些恰当的假设，精选问题简化，有时要给出一些恰当的假设，精选问题中关键或主

7、要的变量中关键或主要的变量.(3) 数学建模数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联：把握新信息，勇于探索，善于联想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、不等式、函数不等式、函数.归纳总结中学数学建模的主要步骤归纳总结中学数学建模的主要步骤(4) 求解模型：求解模型：以所学的数学性质为工具对建以所学的数学性质为工具对建立的数学模型进行求解立的数学模型进行求解.(5) 检验模型：检验模型：将所求的结果

8、代回模型之中检将所求的结果代回模型之中检验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定模型的有效性，如果不满意，要考虑重新建模型的有效性，如果不满意，要考虑重新建模模.(6) 评价与应用：评价与应用：如果模型与实际情形比较吻如果模型与实际情形比较吻合，要对计算的结果作出解释并给出其实际合，要对计算的结果作出解释并给出其实际意义，后对所建立的模型给出运用范围意义，后对所建立的模型给出运用范围.如果如果模型与实际问题有较大出入，则要对模型改模型与实际问题有较大出入，则要对模型改进并重复上述步骤进并重复上述步骤.练习练习 某皮鞋厂今年某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前月

9、份开始投产，并且前4个月的产量个月的产量分别为分别为1万双，万双，1.2万双，万双，1.3万双，万双，1.37万双万双. 由于产品质由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了推销员为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估计在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量以后几个月的产量. 厂里分析，产量的增加是由于工人厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程生产熟练和理顺了生产流程. 厂里也暂时不准备增加设厂里也暂时不准备增加设备和工人备和工人. 假如你是厂长，就月份假如你是厂长，就月份x，产量为，

10、产量为y给出四种给出四种函数模型：函数模型：y=abx +c，y=ax+b，y=ax2+bx+c，y=ax0.5+b你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？课课 堂堂 小小 结结(1) 理解问题理解问题(2) 简化假设简化假设(3) 数学建模数学建模(4) 求解模型求解模型(5) 检验模型检验模型(6) 评价与应用评价与应用归纳总结中学数学建模的主要步骤归纳总结中学数学建模的主要步骤20406080100120246810Oyxy40y10 x 根据以上的分根据以上的分析，是否应作这样析，是否应作这样的选择的选择: 投资投资5天以天以下选方案一下选方

11、案一，投资投资58天选方案二天选方案二，投资投资8天以上选方天以上选方案三案三.y0.42x1函数模型的函数模型的应用实例应用实例例例1 某列火车从北京西站开往石家庄，全某列火车从北京西站开往石家庄，全277km.火车出发火车出发10min开出开出13km后，以后，以120km/h的速度的速度匀速行驶匀速行驶.试写出火车行驶的总路程试写出火车行驶的总路程s与匀速行驶与匀速行驶的时间的时间t之间的关系，之间的关系，并求火车离开北京并求火车离开北京2h内行驶内行驶的路程的路程.讲讲 授授 新新 课课1. 一次函数模型的应用一次函数模型的应用)5110(12013 ttskm2532. 二次函数模型

12、的应用二次函数模型的应用例例2 某农家旅游公司有客房某农家旅游公司有客房300间，每间日房租间，每间日房租20元，每元，每天都客满天都客满.公司欲提高档次，并提高租金公司欲提高档次，并提高租金.如果每间客房每如果每间客房每日增加日增加2元，客房出租数就会减少元，客房出租数就会减少10间间.若不考虑其他因若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？收入最高？解：设每间房的租金为解：设每间房的租金为x元，租金总收入为元，租金总收入为y元元, , 则：则：)20()80(5)20(53002 xxxxxy80008000)4

13、0(52 x所以每间房的租金为所以每间房的租金为4040元，租金总收入最高元，租金总收入最高. .例例3 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示所示.(1) 求图中阴影部分的面积，求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；并说明所求面积的实际含义；3. 分段函数模型的应用分段函数模型的应用(2)假设这辆汽车的里程表在汽假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为车行驶这段路程前的读数为2004km, 试建立行驶这段路程试建立行驶这段路程时汽车里程表读数时汽车里程表读数skm与时间与时间th的函数解析式的函数解析式, 并作出相应

14、的并作出相应的图象图象.解解: : 阴影部分的面积为阴影部分的面积为360;360;表示汽车在表示汽车在5 5小时内行驶的路程为小时内行驶的路程为360km.360km.1020304050607080901001012345t/hv/(kmh1)O(2)函数解析式函数解析式函数图象为：函数图象为： 5.4 ,2299)4(65, 43 ,2224)3(75, 32 ,2134)2(90, 21 ,2054)1(80, 10 ,200450tttttttttts2000210022002300240012345tsO1. 读题，找关键点；读题，找关键点；2. 抽象成数学模型；抽象成数学模型；3

15、. 求出数学模型的解；求出数学模型的解；4. 做答做答.解题方法：解题方法：归归 纳纳练习练习1. 某市一种出租车标价为某市一种出租车标价为1.20元元/km，但事实上，但事实上的收费标准如下：的收费标准如下：最开始最开始4km内不管车行驶路程内不管车行驶路程多少，均收费多少，均收费10元元(即起步费即起步费)，4km后到后到15km之之间，每公里收费间，每公里收费1.20元，元，15km后每公里再加收后每公里再加收50%，即每公里，即每公里1.80元元.试写出付费总数试写出付费总数f与打车与打车路程路程x之间的函数关系之间的函数关系. 2. 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固某桶装水经营

16、部每天的房租、人员工资等固定成本为定成本为200元，每桶水的进价是元，每桶水的进价是5元元.销售单价销售单价与日均销售量的关系如下表所示：与日均销售量的关系如下表所示：销售单价销售单价/元元6789101112日均销售日均销售量量/桶桶480 440 400 360 320280240请据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价请据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？才能获得最大利润？函数模型的应用实例函数模型的应用实例复复 习习 引引 入入1. 一次函数模型的应用一次函数模型的应用2. 二次函数模型的应用二次函数模型的应用3. 分段函数模型的应用分段函数模型的应用4. 指数函数

17、模型的应用指数函数模型的应用例例1 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据口增长提供依据.早在早在1798年，英国经济学家马年，英国经济学家马尔萨斯尔萨斯(T.R.Malthus,17661834)就提出了自然就提出了自然状态下的人口增长模型：状态下的人口增长模型：yy0ert，其中，其中t表示经表示经过的时间，过的时间，y0表示表示t0时的人口数，时的人口数，r表示人口表示人口的年平均增长率的年平均增长率.年年 份份19501951195219531954人数人数

18、/万人万人5519656300574825879660266年年 份份19551956195719581959人数人数/万人万人6145662828645636599467207(2)如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达如果按表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到到13亿？亿？下表是下表是19501959年我国的人口数据资料：年我国的人口数据资料：(1)(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率的人口增长率( (精确到精确到0.0001)0.0001)，用马尔萨斯人口增长用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口

19、增长模型，并检模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；验所得模型与实际人口数据是否相符；年年 份份19501951195219531954人数人数/万人万人5519656300574825879660266年年 份份19551956195719581959人数人数/万人万人6145662828645636599467207解解:(1)设设19511959年的人口增长率分别为年的人口增长率分别为r1,r2,r3,r9.由由55196(1+r1)=56300, 得得r10.0200同理可得：同理可得：r2 0.0210 r3 0.0229 r4 0.0250

20、r5 0.0197 r6 0.0223 r7 0.0276r8 0.0222 r9 0.0184于是，人口的年平均增长率为于是，人口的年平均增长率为r=(r1+r2+r3+r9) 90.022119511959年期间人口增长模型为年期间人口增长模型为)(551960221. 0Nteyt (2) 将将130000代入代入tey0221. 055196 由计算器可到由计算器可到 t38.76.所以，大约在所以，大约在1950年的后年的后39年，年， 即即1989年，我国的年，我国的人口就可达到人口就可达到13亿亿. 例例2 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下某地区不同身高的未成年男性的体

21、重平均值如下表：表：身高身高/cm60708090100110体重体重/kg6.137.909.9012.15 15.02 17.50身高身高/cm120130140150160170体重体重/kg20.9226.8631.1138.85 47.25 55.05y21.02x(1) 根据表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，根据表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身与身高高xcm的函数关系？的函数关系？试写出这个函数模型的解析式试写出这个函数模型的解析式.解：以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图如

22、下：解：以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图如下： 所以考虑以所以考虑以y=abx这一函数模型来刻画这一函数模型来刻画.取其中的两组数据取其中的两组数据(70, 7.90), (160, 47.5), 代入代入y=abx中得中得:,5 .479 . 716070 baba由计算器算得由计算器算得:a2, b1.02所以所以y21.02x(2) 若体重超过相同身高男性体重平均值的若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏倍为偏胖，低于胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？的在校男生的体重是

23、否正常？（2）将）将x=1.75代入代入y21.02x 得得： y21.02175 , 由计算器算的由计算器算的y63.38由于由于7863.981.221.2,所以，这个男生偏胖所以，这个男生偏胖. 通过建立函通过建立函数模型，解决实数模型，解决实际问题的基本过际问题的基本过程：程：小小 结：结：收集数据收集数据画散点图画散点图选择函数模型选择函数模型求函数模型求函数模型检验检验符合实际符合实际不不符符合合实实际际用函数模型解释实际问题用函数模型解释实际问题 用已知的函数模型刻画实际的问题时，由于用已知的函数模型刻画实际的问题时，由于实际问题的条件与得出已知模型的条件会有所不实际问题的条件与得出已知模型的条件会有所不同，同，因此往往需要对模型进行修正因此往往需要对模型进行修正. 小小 结：结：课课 堂堂 小小 结结1. 注意培养制表，读表，读图，画图的注意培养制表，读表，读图，画图的 能力；能力；2. 分段函数是刻画现实问题的重要模型；分段函数是刻画现实问题的重要模型；3. 用已知的函数模型刻画实际的问题的用已知的函数模型刻画实际的问题的 重要模型重要模型.