综合法与分析法.ppt

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1、第三章 推理与证明综合法与分析法综合法与分析法刘贤建刘贤建北师大版数学选修北师大版数学选修1-2综合法与分析法综合法与分析法推理推理合情推理合情推理演绎推理演绎推理归纳推理归纳推理类比推理类比推理数学证明数学证明综合法综合法分析法分析法综合法与分析法综合法与分析法例例1 1.设设a，b都都是正实数，求证：是正实数，求证：abbaab2证明证明1：因为因为0, 0ba所以所以.2 abba所以所以abba211两边同乘两边同乘2ab：即即ababbaab222abbaab2证明证明2：要证要证只需证只需证只需证只需证只需证只需证只需证只需证由于由于 ，所以上，所以上式显然成立式显然成立02baa

2、bbaab2abbaab22abbaba222424baababbaab24220222abba即即综合法与分析法综合法与分析法例例1 1.设设a，b都都是正实数，求证：是正实数，求证：abbaab2证明证明1：因为因为0, 0ba所以所以.2 abba所以所以abba211两边同乘两边同乘2ab：即即ababbaab222abbaab2结论结论条件条件P1P2.综合法与分析法综合法与分析法例例1 1.设设a，b都都是正实数，求证：是正实数，求证：abbaab2证明证明2：要证要证只需证只需证只需证只需证只需证只需证只需证只需证由于由于 ，所以上，所以上式显然成立式显然成立02baabbaab

3、2abbaab22abbaba222424baababbaab24220222abba即即结论结论条件、已知条件、已知P1P2.综合法与分析法综合法与分析法综合法：综合法：从命题的条件出发从命题的条件出发，利用定义、，利用定义、公理、定理及运算法则等，通过演绎推理，公理、定理及运算法则等，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明的思维方法。命题的证明的思维方法。分析法：分析法：从求证的结论出发从求证的结论出发，一步一步地，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定

4、到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等的证明的思维方法。义、公理、定理等的证明的思维方法。综合法与分析法综合法与分析法例例2 2.设设a，b是实数，求证：是实数，求证：)(2222baba证明：证明：因为因为.222abba所以所以.222222abbaba即即.2222baba即即.21222baba所以所以.2222baba综合法与分析法综合法与分析法例例3 3.设设a3，求证：，求证：321aaaa故原不等式成立故原不等式成立证明：证明：要证要证321aaaa即即) 1)(2(3aaaa只需证只需证123aaaa只需证只需证22123aaaa只需证只需证22) 1)(2(3

5、aaaa即即) 1)(2(3aaaa即即23322aaaa此式显然成立此式显然成立即即20 综合法与分析法综合法与分析法练习：练习：请用综合法或分析法证明下列问题请用综合法或分析法证明下列问题1.已知正数已知正数x，y满足满足：x+y=1，求证：，求证：411yx2.求证：求证：2325综合法与分析法综合法与分析法综合法思维特点：综合法思维特点：由因导果由因导果，从从“已知已知”看看“可知可知”，逐步，逐步推向推向“未知未知”，其逐步推理，实际是寻找它的必要条件，其逐步推理，实际是寻找它的必要条件分析法思维特点：分析法思维特点：执果索因执果索因，从，从“未知未知”看看“需知需知”，逐，逐步推向

6、步推向“已知已知”，其逐步推理，实际是寻找它的充分条件其逐步推理，实际是寻找它的充分条件. .QQn1QP 32QQ 21QQ Q结论32PP 21PP 1PQ Q结论明显成立的条件( (P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论表示要证明的结论) )综合法与分析法综合法与分析法已知（条件）已知（条件）结论结论nQ2Q1Q.nP2P1P.综合法与分析法综合法与分析法ABCEFHG例例4 4.如图，已知如图，已知BE,CF分别是分别是ABC的边的边AC,AB上的上的高，高，G为为EF的中点，的中点，H为为BC的中点的中点.求证：求证：HGE

7、F综合法与分析法综合法与分析法综合法与分析法综合法与分析法综合法与分析法综合法与分析法综合法与分析法综合法与分析法综合法与分析法综合法与分析法综合法与分析法综合法与分析法综合法与分析法综合法与分析法综合法与分析法综合法与分析法综合法与分析法综合法与分析法例例1 1.（韦达定理）已知（韦达定理）已知x1和和x2是一元二次方程是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0,b2-4ac0)的两个根，求证：的两个根，求证：x1+x2= ,x1x2= .abac证明：证明：由于由于x1和和x2是一元二次方程是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根，根据球根公式，有的两个根，根据球根公式，有abaa

8、cbbaacbbxx24242221所以所以.444)4( 242422222221acaacaacbbaacbbaacbbxx综合法与分析法综合法与分析法综合法与分析法综合法与分析法例例1 1.设设a，b都都是非负实数，求证：是非负实数，求证：)(2222baba证明证明1：因为因为.222abba所以所以.222222abbaba即即.2222baba即即.21222baba所以所以.2222baba证明证明2：要证要证)(2222baba只需证只需证222)(21baba即即abbaba22222121即即0212122abba即即0212ba由于由于 ，所以上，所以上式显然成立式显然成立02ba