11集合的概念及基本运算.ppt

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1、要点梳理要点梳理1.1.集合元素的三个特征集合元素的三个特征:_:_、_、_._.2.2.元素与集合的关系是元素与集合的关系是_或或_关系，用符号关系，用符号 _或或_表示表示. .3.3.集合的表示法集合的表示法:_:_、_、_及及_._.第一编 集合与常用逻辑用语1.11.1 集合的概念及其基本运算集合的概念及其基本运算基础知识基础知识 自主学习自主学习互异性互异性确定性确定性无序性无序性属于属于不属于不属于列举法列举法描述法描述法图示法图示法区间法区间法4.4.常用数集常用数集: :自然数集自然数集_;_;正整数集正整数集_(_(或或_);_);整整 数集数集_;_;有理数集有理数集_；

2、实数集；实数集_._.5.5.集合的分类集合的分类: :按集合中元素个数划分，集合可分为按集合中元素个数划分，集合可分为 _、_、_._.6.6.子集、真子集及其性质子集、真子集及其性质: :对任意的对任意的x xA A, ,都有都有x xB B, , 则则_（或（或_）；若）；若A AB B, ,且在且在B B中至少有中至少有 一个元素一个元素x xB B但但x xA A, ,则则_（或（或_）; ; 若若A A含有含有n n个个 元素，则元素，则A A的子集有的子集有_个，非空子集有个，非空子集有_个，个， 非空真子集有非空真子集有_个个. .7.7.集合相等：集合相等：N NN N* *

3、N N+ +Z ZQ QR R有限集有限集无限集无限集空集空集BAAB ;,;CACBBAAAA2 2n n2 2n n-1-12 2n n-2-2.，BAABBA则则且且若若8.8.集合的交、并、补运算：并集集合的交、并、补运算：并集A AB B=x x| |x xA A或或x x B B ；交集；交集A AB B=x x| |x xA A且且x xB B ；补集；补集 U UA A=x x| |x x U U且且x x A A ，U U为全集，为全集， U UA A表示表示A A相对于全集相对于全集U U的的 补集补集. . 9.9.集合的运算性质集合的运算性质: :并集的性质并集的性质A

4、 A= =A A, ,A AA A= =A A, ,A A B B= =B BA A, ,A AB B= =A A B B A A; ;交集的性质交集的性质A A= = , , A AA A= =A A, ,A AB B= =B BA A, ,A AB B= =A A A AB B; ;补集的性质补集的性质 基础自测基础自测1.1.（20092009天津改编）天津改编）设全集设全集U U= =A AB B=x xN N* *| |lglg x x 1, 1,若若A A U UB B=m m| |m m= =2 2n n+1,+1,n n=0,1,2,3,4,=0,1,2,3,4,则集合则集合

5、B B=_.=_. 解析解析 U U= =A AB B=1,2,3,4,5,6,7,8,9,=1,2,3,4,5,6,7,8,9, A A U UB B=1,3,5,7,9,=1,3,5,7,9,故故B B=2,4,6,8.=2,4,6,8.2,4,6,82,4,6,82.2.(2009(2009广东改编广东改编) )已知全集已知全集U U= =R R， 集合集合MM=x x|-2|-2x x-12-12和集合和集合 N N=x x| |x x=2=2k k-1,-1,k k=1,2,=1,2,的关系的的关系的 韦恩图如图所示韦恩图如图所示, ,则阴影部分所表示的集合的元素则阴影部分所表示的集

6、合的元素 的个数为的个数为_._. 解析解析 由题意知由题意知MM=x x|-1|-1x x3,3,则则MMN N=1,3,=1,3, 有两个元素有两个元素, ,故答案为故答案为2. 2. 2 23.3.(2009(2009山东改编山东改编) )集合集合A A=0,2,=0,2,a a ，B B=1,=1,a a2 2 ，若，若 A AB B=0,1,2,4,16,=0,1,2,4,16,则则a a的值为的值为_._. 解析解析 A A=0,2,0,2,a a,B B=1,=1,a a2 2, A AB B=0,1,2,4,16 =0,1,2,4,16 a a=4,=4,故答案为故答案为4.4

7、.4.4.（20092009江西改编）江西改编）已知全集已知全集U U= =A AB B中有中有m m个元个元 素素,( ,( U UA A)( )( U UB B) )中有中有n n个元素个元素. .若若A AB B非空，则非空，则 A AB B的元素个数为的元素个数为_._. 解析解析 因为因为A AB B= = U U( ( U UA A)( )( U UB B)，所以，所以A AB B 共有共有m m- -n n个元素个元素, ,故答案为故答案为m m- -n n. . ,4162aa4 4m m- -n n【例例1 1】已知集合已知集合A A=x x| |x x= =a a+ ,+

8、,a aZ Z,B B=x x| |x x= = b bZ Z,C C=x x| |x x= = c cZ Z,则则A A_B B_C C( (用符用符 号号“”、“”、“”、“=”=”填空填空).). 用列举法表示各集合中的元素或用实数的用列举法表示各集合中的元素或用实数的 性质分析性质分析. . 解析解析 方法一方法一 列举集合中的元素列举集合中的元素典型例题典型例题 深度剖析深度剖析分析分析61,312b,612c,67,32,61,31,619,613,67,61,BA A AB B, ,B B= =C C, ,即即A AB B= =C C. . 方法二方法二 判断集合中元素的共性和差

9、异判断集合中元素的共性和差异A AB B, ,33b b-2=3(-2=3(b b-1)+1,-1)+1,B B= =C C. .A AB B= =C C. . 答案答案 = = ,35,67,32,61,CZ.,|Z,|Z,| ccxxCbbxxBaaxxA613623，616跟踪练习跟踪练习1 1 (2010 (2010无锡模拟无锡模拟) )设集合设集合A A=1,1,a a, ,b b, B B=a a, ,a a2 2, ,abab,且且A A= =B B, , 则实数则实数a a=_,=_,b b=_.=_. 解析解析 由元素的互异性知由元素的互异性知: :a a1,1,b b1,1

10、,a a00, , 又由又由A A= =B B, , . 0, 1，1122baabbababa解得解得或或即即-1-10 0【例例2 2】定义集合运算】定义集合运算: :A AB B=z z| |z z= =xyxy( (x x+ +y y),),x xA A, ,y y B B.设集合设集合A A=0,1,=0,1,B B=2,3,=2,3,则集合则集合A AB B的所有元的所有元 素之和为素之和为_._. 注意元素的互异性注意元素的互异性, ,并利用分类讨论使问题并利用分类讨论使问题 得以解决得以解决. . 解析解析 (1)(1)当当x x=0=0时时, ,无论无论y y为何值为何值,

11、,都有都有z z=0;=0; (2) (2)当当x x=1,=1,y y=2=2时时, ,由题意得由题意得z z=6;=6; (3) (3)当当x x=1,=1,y y=3=3时时, ,由题意得由题意得z z=12.=12. 故集合故集合A AB B=0,6,12,=0,6,12,故元素之和为故元素之和为0+6+12=18. 0+6+12=18. 分析分析1818跟踪练习跟踪练习2 2 (2010 (2010盐城调研盐城调研) )给定集合给定集合A A, ,B B, ,定义定义 A A B B=x x| |x x= =m m- -n n，m mA A, ,n nB B.若若A A=4,5,6=

12、4,5,6， B B=1,2,3,=1,2,3,则集合则集合A AB B中所有元素之和为中所有元素之和为_._. 解析解析 由新的集合运算定义知由新的集合运算定义知A AB B=1,2,3,4,5,=1,2,3,4,5, 故元素之和为故元素之和为15.15. 1515【例例3 3】(14(14分分) )已知集合已知集合A A=x x|0|0axax+15+15,集合集合B B= = （1 1）若）若A AB B，求实数，求实数a a的取值范围；的取值范围；（2 2）若）若B BA A，求实数，求实数a a的取值范围；的取值范围；（3 3）A A、B B能否相等？若能，求出能否相等？若能，求出a

13、 a的值；若不能，的值；若不能， 试说明理由试说明理由. .221|xx解题示范解题示范解解 A A中不等式的解集应分三种情况讨论：中不等式的解集应分三种情况讨论： 若若a a=0=0，则，则A A= =R R；若若a a00,0,则则 22分分 (1)(1)当当a a=0=0时，若时，若A AB B，此种情况不存在，此种情况不存在. .当当a a000时，若时，若A AB B，如图，如图, , 综上知，当综上知，当A A B B时时, ,a a-8-8或或a a2. 62. 6分分 （2 2）当）当a a=0=0时，显然时，显然B BA A；当当a a000时，若时，若B BA A，如图，如

14、图, , 综上知，当综上知，当B BA A时，时， 1212分分 （3 3）当且仅当）当且仅当A A、B B两个集合互相包含时，两个集合互相包含时，A A= =B B. .由（由（1 1）、（）、（2 2）知，）知，a a=2. 14=2. 14分分 ; 021.218,21214aaaaa则.,202224211 aaaaa则则. 221 a跟踪练习跟踪练习3 3 已知已知A A=x x| |x x2 2-8-8x x+15=0,+15=0,B B=x x| |axax-1=0, -1=0, 若若B BA A, ,求实数求实数a a. . 解解 A A=3,5,=3,5,当当a a=0=0时

15、时, ,;AB.51310,5131, 5131,.1,0或或或或综上综上或或即即或或则则要使要使时时当当aaaaaABaBa 1.1.高考中会以填空题的形式考查元素与集合高考中会以填空题的形式考查元素与集合, ,集合与集合与 集合的关系及集合中的元素个数等知识，属容易题集合的关系及集合中的元素个数等知识，属容易题, , 送分题送分题. .2.2.高考中以考查集合的交、并、补等运算为主高考中以考查集合的交、并、补等运算为主, ,同时同时 考察集合特性及集合、元素间的关系，注意利用考察集合特性及集合、元素间的关系，注意利用 VennVenn图、数轴求集合的交、并、补运算图、数轴求集合的交、并、补

16、运算. .思想方法思想方法 感悟提高感悟提高高考动态展望高考动态展望1.1.解题时要特别关注集合中元素的三个特性解题时要特别关注集合中元素的三个特性, ,特别是特别是 互异性互异性, ,要进行解题后的检验要进行解题后的检验, ,注意将数学语言与集注意将数学语言与集 合语言进行相互转化合语言进行相互转化. .2.2.空集在解题时有特殊地位空集在解题时有特殊地位, ,它是任何集合的子集，它是任何集合的子集， 是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨 论论, ,防止漏掉防止漏掉. .3.3.解题时注意区分两大关系解题时注意区分两大关系: :一是元素与集合的

17、从属一是元素与集合的从属 关系关系; ;二是集合与集合的包含关系二是集合与集合的包含关系. .4.4.解答集合题目解答集合题目, ,认清集合中元素的属性认清集合中元素的属性( (是点集、数集是点集、数集 或其它情形或其它情形) )和化简集合是正确求解的两个先决条件和化简集合是正确求解的两个先决条件. .方法规律总结方法规律总结一、填空题一、填空题1.1.(2009(2009海南海南) )已知集合已知集合A A=1,3,5,7,9,=1,3,5,7,9,B B=0,3,6, 0,3,6, 9,12, 9,12,则则A A N NB B=_.=_. 解析解析 A A=1,3,5,7,9,=1,3,

18、5,7,9,B B=0,3,6,9,12,=0,3,6,9,12, N NB B=1,2,4,5,7,8,.=1,2,4,5,7,8,. A A N NB B=1,5,7. =1,5,7. 定时检测定时检测1,5,71,5,72.2.(2010(2010南京模拟南京模拟) )已知集合已知集合MM=x x| |y y2 2= =x x+1+1，P P= = x x| |y y2 2=-2(=-2(x x-3),-3),那么那么MMP P=_.=_. 解析解析 由由MM: :x x= =y y2 2-1-1,-1-1,即即MM=x x| |x x-1,-1, 由由P P: :x x= = y y2

19、 2+33,+33,即即P P=x x| |x x33, , 所以所以MMP P=x x|-1|-1x x3.3.21 x x|-1|-1x x333.3.(2009(2009陕西改编陕西改编) )若不等式若不等式x x2 2- -x x00的解集为的解集为MM, ,函函 数数f f( (x x)=)=ln(1-|ln(1-|x x|)|)的定义域为的定义域为N N, ,则则MMN N为为_._. 解析解析 不等式不等式x x2 2- -x x00的解集的解集MM=x x|0|0 x x11, f f( (x x)=)=ln(1-|ln(1-|x x|)|)的定义域的定义域N N=x x|-1

20、|-1x x1,1, 则则MMN N=x x|0|0 x x1. 1. 0,1)0,1)4.4.(2010(2010苏州模拟苏州模拟) )已知全集已知全集U U= =R R, ,MM=x x| |y y= = , , P P=x x| |y y= ,= ,y yMM,则则( ( U UMM)( )( U UP P)=)= _. _. 解析解析 MM是是y y= = 的定义域的定义域, ,即即MM=x x| |x x11, U UMM=x x| |x x1.1. P P是值域为是值域为MM时时, , y y= = 的定义域为的定义域为 P P=x x|0|0 , , ( ( U UMM)( )(

21、 U UP P)=)=x x| |x x00或或 x x1. 22或或x x-1,-1, 则则MMN N=x x| |x x2,2, 所以所以 U U( (MMN N)=)=x x| |x x22. . x x| |x x22 21xx6.6.(2009(2009珠海模拟珠海模拟) )已知集合已知集合A A中有中有1010个元素，集个元素，集 合合B B中有中有6 6个元素个元素, ,全集全集U U中有中有1818个元素，且有个元素，且有A AB B , ,设集合设集合 U U( (A AB B) )中有中有x x个元素个元素, ,则则x x的取值范的取值范 围是围是_._. 解析解析 因为当

22、集合因为当集合A AB B中仅有一个元素时中仅有一个元素时, , 集合集合 U U( (A AB B) )中有中有3 3个元素个元素, , 当当A AB B中有中有6 6个元素时个元素时, , U U( (A AB B) )中有中有8 8个元素个元素, , 即即33x x88且且x x为整数为整数. . 33x x88且且x x为整数为整数7.7.(2010(2010淮安模拟淮安模拟) )对于任意两个集合对于任意两个集合MM, ,N N, ,定义：定义： MM- -N N=x x| |x xMM, ,x x N N,MM* *N N=(=(MM- -N N)()(N N- -MM),),设设

23、MM=y y| |y y= =x x2 2, ,x xR R,N N=y y| |y y= =3sin3sin x x, ,x xR R,则则MM* *N N= = _. _. 解析解析 因为因为MM= =0,+),0,+),N N= =-3,3-3,3, , 所以所以MM- -N N=(3,+),=(3,+),N N- -MM= =-3,0),-3,0), 所以所以MM* *N N= =-3,0)(3,+). -3,0)(3,+). -3,0)(3,+)-3,0)(3,+) 8.8.(2010(2010南通模拟南通模拟) )已知集合已知集合A A=(=(x x, ,y y)|)|x x2 2

24、+ +y y2 2+2+2nyny+ + n n2 2-4=-4=0,0,x x, ,y yR R,B B=(=(x x, ,y y)|)|x x2 2+ +y y2 2-6-6mxmx- -4 4nyny+9+9m m2 2+4+4n n2 2 -9= -9=0,0,x x, ,y yR R,若若A AB B为单元素集为单元素集, ,则点则点P P( (m m, ,n n) )构构 成的集合为成的集合为_._. 解析解析 因为因为A AB B为单元素集为单元素集, ,即圆即圆x x2 2+(+(y y+ +n n) )2 2=4=4与圆与圆 ( (x x-3-3m m) )2 2+(+(y

25、y-2-2n n) )2 2=9=9相切相切, ,此时此时 23)2()3(22nnm.91925, 23)2()3(222222nmnmnnm或或即即或或| ),(919252222 nmnmnm或或9.9.(2010(2010盐城模拟盐城模拟) )设全集设全集U U= =R R, ,A A=x x|2|2x x( (x x-2)-2)1, 1, B B=x x| |y y=ln(=ln(x x-1),-1),则图中阴影部分表示的集合为则图中阴影部分表示的集合为 _. _. 解析解析 因为因为A A=x x|2|2x x( (x x-2)-2)1,1, 则则A A=x x|0|0 x x2,

26、1,1, 所以所以A AB B=x x|1|1x x2,2, 即即A A U U( (A AB B)=)=x x|0|0 x x1.1. x x|0|0 x x11二、解答题二、解答题10.10.(2010(2010盐城模拟盐城模拟) )已知集合已知集合A A=x x| |x x2 2+ +x x-20,-20,B B= = x x|2|200，且满足，且满足 ( (A AB B)C C= = ,(,(A AB B)C C= =R R, ,求实数求实数b b, ,c c的值的值. . 解解 因为因为A A=x x|-2|-2x x1,1,B B=x x|1|133或或x x-2,00的解集为的

27、解集为 x x| |x x33或或x x-2,-2, 即方程即方程x x2 2+ +bxbx+ +c c=0=0的两根分别为的两根分别为-2-2和和3,3, 则则b b=-(3-2)=-1,=-(3-2)=-1,c c=3=3(-2)=-6. (-2)=-6. 11.11.(2010(2010扬州模拟扬州模拟) )设设A A=x x| |x x2 2- -axax+ +a a2 2-19-19=0, =0, B B=x x| |x x2 2-5-5x x+6=0,+6=0,C C=x x| |x x2 2+2+2x x-8=0.-8=0. (1) (1)若若A AB B= =A AB B, ,

28、求实数求实数a a的值的值; ; (2) (2)若若A AB B , ,且且A AC C= =, ,求实数求实数a a的值的值; ; (3) (3)若若A AB B= =A AC C , ,求实数求实数a a的值的值. . 解解 (1)(1)因为因为A AB B= =A AB B, ,所以所以A A= =B B, , 又因为又因为B B=2,3,=2,3, 则则a a=5=5且且a a2 2-19=6-19=6同时成立同时成立, ,所以所以a a=5.=5. (2) (2)因为因为B B=2,3,=2,3,C C=-4,2,=-4,2, 且且A AB B , ,A AC C= = , , 则只

29、有则只有33A A, ,即即a a2 2-3-3a a-10=0,-10=0,即即a a=5=5或或a a=-2,=-2, 由由(1)(1)可知可知, ,当当a a=5=5时时, ,A A= =B B=2,3,=2,3, 此时此时A AC C , ,与已知矛盾与已知矛盾, , 所以所以a a=5=5舍去舍去, ,故故a a=-2.=-2. (3) (3)因为因为B B=2,3,=2,3,C C=-4,2,=-4,2,且且A AB B= =A AC C , , 此时只有此时只有22A A, , 即即a a2 2-2-2a a-15=0,-15=0,得得a a=5=5或或a a=-3,=-3, 由

30、由(1)(1)可知可知, ,当当a a=5=5时不合题意时不合题意, ,故故a a=-3.=-3. 返回返回 12.12.(2010(2010抚顺模拟抚顺模拟) )已知集合已知集合A A=x x|x x|3,|3,B B=x x| | m m-1-1x x22m m+1,+1,m mR R. (1) (1)若若m m=3,=3,求求( ( R RA A)B B; ; (2) (2)若若A AB B= =A A, ,求实数求实数m m的取值范围的取值范围. . 解解 (1)(1)因为因为A A=x x|-3|-3x x3,3,B B=x x|2|2x x7,7, 则则 R RA A=x x| |x x-33,3, 所以所以( ( R RA A)B B=x x|3|3x x7.7. (2) (2)因为因为A AB B= =A A, ,则则B BA A, , B B为为时时, ,m m-12-12m m+1,+1,即即m m-2-2符合题意符合题意, , B B不为不为时时, ,须满足须满足 综上实数综上实数m m的取值范围为的取值范围为m m1. 1. .,1231231 mmm