23垂径定理课件.ppt

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1、怀化三中怀化三中 李青松李青松问题问题 ：你知道赵州桥吗：你知道赵州桥吗? ?它是它是13001300多年前我国隋代建造的石多年前我国隋代建造的石拱桥拱桥, , 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形形, ,它的跨度它的跨度( (弧所对的弦的长弧所对的弦的长) )为为37.437.4m m, , 拱高拱高( (弧的中点到弧的中点到弦的距离弦的距离) )为为7.27.2m m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少赵州桥主桥拱的半径是多少？ 如图，如图，AB是是 O的一条弦，做直径的一条弦，做直径

2、CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为E你你能发现图中有那些相等的线段和能发现图中有那些相等的线段和弧？弧？OABCDE 题设题设结论结论n由由 CD是是直径直径 CDAB可推得可推得AE=BE, AC=BC,AD=BD.如图，如图，AB是是 O的一条弦，做直径的一条弦，做直径CD，使，使CDAB，垂足为垂足为E你能发现图中有那些相等的线段和弧？你能发现图中有那些相等的线段和弧？OABCDE活活 动动 二二 题设题设结论结论n由由 CD是是直径直径 CDAB可推得可推得AE=BE, AC=BC,AD=BD.把圆沿着直径把圆沿着直径CD折叠时，折叠时，CD两侧的两个半圆重合，两侧的两个半圆重合，点

3、点A与点与点B重合，重合，AE与与BE重合，重合，和和 重合，重合，和和重合重合为什么？与同伴说说你的想法和理由为什么？与同伴说说你的想法和理由.若直径若直径CD垂直弦垂直弦AB，则平分弦，则平分弦AB，并，并且平分且平分AB及及ACB。OABCDE垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧弦，并且平分弦所对的两条弧注意：注意：(1)定理中的两个条件缺一不可；定理中的两个条件缺一不可； (2)定理的变式图形。定理的变式图形。在下列图形（如下图在下列图形（如下图(a)(d)）中，）中，AB、CD均是均是 O的的弦，它们是否适用于弦，它们是否适用于“垂径定理

4、垂径定理”？若不适用，说明？若不适用，说明理由；若适用，能得到什么结论理由；若适用，能得到什么结论? ODCBAEODCBAEOBAEOBACE(a)ABCD于于E (b)E是是AB中点中点 (c)OCAB于于E (d)OEAB于于E 如如图，在图，在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求，求 O的半径的半径OABE解：解：例题示范例题示范1计算计算2222= 3 +4 =5cmAOOEAE答：答： O的半径为的半径为5cm.在在Rt AOE 中中 OEAB118422AEAB cm1如图如图，若，若 O的半径为的半径为10cm，OE=6cm，则

5、，则AB= OABE变式（一）变式（一）思考一：若圆的半径为思考一：若圆的半径为R，一条弦长为，一条弦长为a，圆心到弦的，圆心到弦的距离为距离为d，则，则R、a、d三者之间的关系式是三者之间的关系式是 。222)2(adR16cm在在 O中，半径中，半径OCAB，垂足为，垂足为E， 若若CE=2cm，AB=8cm，则，则 O的半径的半径= 。 变式（二）变式（二）OBACE5cm 赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图），它的跨赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图），它的跨度（弧所对的弦度（弧所对的弦AB长）为长）为37.4米，拱高（弧的米，拱高（弧的中点到弦中点到弦AB的距离，也叫弓高）为的距离，也叫弓高）为

6、7.2米。请米。请问：桥拱的半径（即问：桥拱的半径（即AB所在圆的半径）是多少？所在圆的半径）是多少？ BADC弓 高跨 度思考二：你能解决本课一开始提出的问题吗？思考二：你能解决本课一开始提出的问题吗？ OBACE解得：解得：R279（m）BODACR解决求赵州桥拱半径的问题解决求赵州桥拱半径的问题在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即 R2=18.72+（R7.2）2赵州桥的主桥拱半径约为赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2,7.184.372121ABADAB=37.4，CD=7.2，OD=OCCD=R7.2在图中在图中如图，用如图，用 表示主桥拱，设

7、表示主桥拱，设 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半径为半径为R经过圆心经过圆心O 作弦作弦AB 的垂线的垂线OC，D为垂足，为垂足，OC与与AB 相交于点相交于点D，根据前面的结论，根据前面的结论，D 是是AB 的中点，的中点，C是是 的中点，的中点，CD 就是拱高就是拱高BODACR解决求赵州桥拱半径的问题解决求赵州桥拱半径的问题 规律总结：已知条件中含垂直于弦的直径，通常规律总结：已知条件中含垂直于弦的直径，通常会联系到垂径定理。在求弦长、半径、圆心到弦的距会联系到垂径定理。在求弦长、半径、圆心到弦的距离时，常过圆心作弦的垂线构造直角三角形，用垂径离时，常过圆心作弦的垂线构造直角三角形，用

8、垂径定理和勾股定理解决。定理和勾股定理解决。如图，用如图，用 表示主桥拱，设表示主桥拱，设 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半径为半径为R经过圆心经过圆心O 作弦作弦AB 的垂线的垂线OC，D为垂足，为垂足，OC与与AB 相交于点相交于点D，根据前面的结论，根据前面的结论，D 是是AB 的中点，的中点，C是是 的中点，的中点，CD 就是拱高就是拱高已知：已知： O中弦中弦ABCD。求证：求证：ACBDABCD，MNCD。则。则AMBM，CMDM（垂垂直弦的直径平分弦所对的弧）直弦的直径平分弦所对的弧） AMCM BM DMACBD .MCDABON例题示范例题示范2证明证明证明：圆的两条平行弦

9、所证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等。夹的弧相等。证明：作直径证明：作直径MNAB 这两条弦在圆中位置有两种情况这两条弦在圆中位置有两种情况:OABCD1.两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧OABCD2.两条弦在圆心的两侧两条弦在圆心的两侧MM 圆的两条平行弦的性质圆的两条平行弦的性质:圆的两条平行弦所夹圆的两条平行弦所夹的弧相等的弧相等.规律总结：与弦有关的问题，过圆心作弦的垂线规律总结：与弦有关的问题，过圆心作弦的垂线段，是常见的辅助线作法之一。段，是常见的辅助线作法之一。已知：已知：ABAB和和CDCD是是O O内的两条平行弦，内的两条平行弦，AB=6cmAB=6cm，CD=8cmCD=

10、8cm，O O的半径为的半径为5cm5cm，思考三：思考三：（1 1）请根据题意画出符合条件的图形；）请根据题意画出符合条件的图形；（2 2）求出）求出ABAB与与CDCD间的距离。间的距离。OBADC（1）OBADC（2）1定理的三种基本图形定理的三种基本图形如图（如图（1）（2）（）（3）。）。驶向胜利的彼岸师生小结，纳入系统师生小结，纳入系统OABCDEOABDEOABE2计算中三个量的关系计算中三个量的关系 如图（如图（4）222)2(adR。adROAB图（图（1）图（图（2）图（图（3）图（图（4）3证明中常用的辅助线证明中常用的辅助线过圆心作弦的垂线段。过圆心作弦的垂线段。 见见

11、导学案导学案驶向胜利的彼岸达标检测，反馈效果达标检测，反馈效果某地有一座圆弧形拱桥圆心某地有一座圆弧形拱桥圆心为为,桥桥下水面宽下水面宽度为度为7.2 m ，过过O 作作OC AB 于于D,交交圆弧圆弧于于C,CD=2.4m,现现有一艘宽有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？CNMAEHFBDO 1、必做：、必做：P60:P60:习题习题2.31,2,42.31,2,4题；题； 2、选做（一日一题）：、选做（一日一题）： 驶向胜利的彼岸家做：家做： 如图如图,在下列五个条件中在下列五个条件中:OABCDM CD是直径是直径, AM=BM, CDAB,AC = BC, AD = BD.一日一题一日一题只要具备其中两个条件只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论吗？就可推出其余三个结论吗？你能得出哪些结论？你能得出哪些结论？请写出命题并说明理由。请写出命题并说明理由。