5从力做的功到向量的数量积.ppt

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1、5 从力做的功到向从力做的功到向量的数量积量的数量积问问:一个物体在力一个物体在力F 的作用下产生的位移的作用下产生的位移s，那，那么力么力F 所做的功应当怎样计算？所做的功应当怎样计算？力做的功：力做的功：W = |F| |s|cos ， 是是F与与s的夹角。的夹角。位移SOAF一、向量数量积的物理背景一、向量数量积的物理背景)1800( 两个非零向量两个非零向量 和和 ，作，作 ，ab,OAa OBb 180 与与 反向反向abOABabOAa0 与与 同向同向abOABaba Bbb AOBab则则 叫做向量叫做向量 和和 的夹角的夹角记作记作ab90 与与 垂直，垂直，abOAB ab

2、注意注意:在两向量的夹角在两向量的夹角定义中定义中,两向量必须是两向量必须是同起点的同起点的二、两个向量的夹角二、两个向量的夹角如图如图,等边三角形等边三角形ABC中中,求：求： （1）AB与与AC的夹角；的夹角； （2）AB与与BC的夹角的夹角_ABC 通过平移通过平移变成共起点！变成共起点！12060CD D012060120规定规定:零向量与任一向量的数量积为零向量与任一向量的数量积为0。三、向量与的数量积的概念三、向量与的数量积的概念abcoscos,.,aba baba ba ba b 已知两个非零向量 与 他们的夹角为 ，我们把数量叫做 与 的数量积（或内积） 记作即： 数量积数量

3、积 a b =| a | b |cos baba ，与与实实数数表表示示数数量量而而不不表表示示向向量量表表示示向向量量；、不不同同，baba 00a 注意公式变形，知三求一注意公式变形，知三求一. “ ”不能省略不写，也不能写成不能省略不写，也不能写成“” 一种新的运算一种新的运算 向量的数量积是一个数量，那么它向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？什么时候为正，什么时候为负？当当0 90时时ab为正；为正；当当90 180时时ab为负。为负。当当 =90时时ab为零。为零。a b =| a | b |cos 1.5,4,120.ababa b 例 已知与 的夹角，求co

4、sa ba b 解： 5 4 cos12015 4 ()102 变式一变式一045224428|cos可得解：由baba的夹角与求，bababa284|4|OABba cosbaba的的数数量量即即有有向向线线段段的的方方向向上上的的投投影影，在在向向量量叫叫做做向向量量OBab1Bcosb数量积数量积 a b 等于等于a 的模的模| a |与与 b 在在 a 的方向的方向上的投影上的投影| b |cos 的乘积的乘积.四、投影的概念四、投影的概念AOAOB| b |cos = b| b |cos 0| b |cos 0| b |cos b | b |cos 0OAaBbOAaBbOAaBbB

5、1B1Bbaba|aba ba b当且仅当 与 同向时：aba ba b 当且仅当 与 反向时：向量数量积的性质向量数量积的性质baba0)1 (aaaaaa|特别地2或|)3(baba|)2(babababababa反向时，与当；同向时，与当是非零向量、设 ba平面向量的数量积的运算律平面向量的数量积的运算律：(1)(2)()()()(3)()a bb aaba bababca cb c 交换律 数乘结合律 分配律 其中，其中，cba、是任意三个向量，是任意三个向量，R注：注：)()(cbacbaONM证明运算律证明运算律(3)ababccababc 向量 、 、 在上的投影的数量分别是OM

6、、MN、 ON, 则 = ON = (OM + MN) = OM + MN =()abcccca cb c 例例 2：求证：求证：222(1)()2abaa bb 22(2)()ababab） （21)ababab（ ）证明：（()()abaabba aa bb ab b 222aa bb 例例3、2 ) (3 )2 ) (3 )abababab求求（。|6,|4,|6,|4,abababab已已知知与与60 ,60 ,o o 的夹角为的夹角为解解:(2 ) (3 )abab6a aa bb b 226aa bb 22cos6aa bb 2266 4 cos606 4 72 6,4,60.ab

7、ababab已知与 的夹角为，求和 变式二 2()abab解：222aa b b 2262 6 4 cos604 762 192 7ab同理可得.| 3,| 4,abkakbakb例4已知当且仅当 为何值时，向量与互相垂直？解：akba kb与互相垂直的条件是akbakb（） （）=02220.ak b即222239,416,ab29 160.k 34k 3k=4akbakb因此，当时，与互相垂直.夹角的范围夹角的范围运算律运算律性性 质质数量积数量积0(3) (ab) c =acbc aa=|a|2（简写 a2 = |a|2） aaa |或重点知识回顾:cos|baba(2)()()(bab

8、aba(1) a b= b a(交换律交换律)(分配律分配律)0a bab 1.理解平面向量的数量积的物理意义、几何意义 2.掌握平面向量的数量积的概念 3.掌握平面向量的数量积的运算律 4.理解数量积的运算是不同于实数运算 的一种新的运算，注意它们的区别； 5.会用数量积的运算解决一些基本问题课堂小结课堂小结检测：检测：是非零向量与1.已知： ba()( )( )()()的结果还是一个向量ba) 1 ( )2|)2(aaa| ) 3(babababa0)4(0)5(baba|/)6(bababa2 2、判断下列说法的正误，并说明理由、判断下列说法的正误，并说明理由。是锐角，则中，若在ABC0BCABABC) 1 (。是钝角，则中，若在ABC0BCABABC)2(。是直角，则中，若在ABC0BCABABC)3(错误错误 正确正确 正确正确 同向时，同向时，4848反向时，反向时，-48-480cos048180cos18048a ba ba ba ba ba b 解： 和方向相同时，和方向相反时，.8|6|3.|bababa求平行，与，谢谢同学们的合作！祝同学们学业有成！