223命题与证明(三）.ppt

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1、证明证明2.证明：从一个命题的证明：从一个命题的_出发，通出发，通过过讲道理讲道理（推理），得出它的结论（推理），得出它的结论 _，从而判断该命题为真，这个从而判断该命题为真，这个推理的过程推理的过程叫作叫作证明证明.1.判断一个命题是真命题的方法：判断一个命题是真命题的方法：_ 判断一个命题是假命题的方法判断一个命题是假命题的方法_举反例举反例条件条件成立成立3.如图，如图，1+2+3=_， ACE=_ BAF=_ CBD=_18001+23+21+3abab1.如图，线段如图，线段a、b一样长吗？一样长吗？ 由上可见，由上可见， 观察、操作、实验观察、操作、实验是人们认是人们认识事物的重要

2、手段，而且人们可以从中猜测发识事物的重要手段，而且人们可以从中猜测发现出一些结论现出一些结论.直观是重要的直观是重要的, ,但它有时也会骗人但它有时也会骗人. .2.图中两个正方形哪个大？图中两个正方形哪个大？ 采用剪拼或度量的方法，采用剪拼或度量的方法，猜测猜测“三角形的外角和三角形的外角和” ” 等于多少度等于多少度. .从剪拼或度量可以猜测三从剪拼或度量可以猜测三角形的三个外角之和等于角形的三个外角之和等于360 ，但是剪拼时难以，但是剪拼时难以真正拼成一个周角，真正拼成一个周角， 只只是接近周角；分别度量这是接近周角；分别度量这三个角后再相加，结果可三个角后再相加，结果可能接近能接近3

3、60，但不能很，但不能很准确地都得准确地都得360 另外，由于不同形状的三角形另外，由于不同形状的三角形有无数个，我们也不可能用剪拼或有无数个，我们也不可能用剪拼或度量的方法来一一验证，因此，我度量的方法来一一验证，因此，我们只能猜测任何一个三角形的外角们只能猜测任何一个三角形的外角和都为和都为360此时猜测出的命题此时猜测出的命题仅仅是一种猜想，仅仅是一种猜想， 未必都是真命未必都是真命题要确定这个命题是真命题，还题要确定这个命题是真命题，还需要通过推理的方法加以证明需要通过推理的方法加以证明. .第一步：第一步： 分析命题的条件与结论，分析命题的条件与结论，根据题意，画出图形；根据题意，画

4、出图形；下面来证明：命题下面来证明：命题“三角形的外角和为三角形的外角和为360” 是真命题是真命题.大家知道证明是大家知道证明是从命题的从命题的条件条件出发，通过出发，通过 讲道理（推理），得出它的讲道理（推理），得出它的结论结论成立，那成立，那 么你认为首先做什么？么你认为首先做什么？条件：条件：三个角是三角形的外角三个角是三角形的外角结论：结论：这三个角的和等于这三个角的和等于3603600 0为了书写推理过程，需要把文字语言转化成为了书写推理过程，需要把文字语言转化成 什么形式？什么形式？条件：条件：三个角是三角形的外角三个角是三角形的外角结论：结论：这三个角的和等于这三个角的和等于3

5、603600 0用字母和符号分别表示用字母和符号分别表示条件条件与与结论结论条件：条件：BAF + +CBD + +ACE = = 360.BAF， CBD和和ACE分别是分别是ABC的三个外角的三个外角. .结论：结论：已知：已知：求证：求证：第二步：第二步： 结合图形，写出结合图形，写出已知：已知：（命题条件的内容）（命题条件的内容）求证：求证：（命题结论的内容）（命题结论的内容）已知：已知： BAF， CBD和和ACE 分别是分别是ABC的三个外角的三个外角. .求证：求证：BAF + +CBD + +ACE = = 360第三步：第三步：写出写出证明过程证明过程，证明证明: : BAF

6、=2+3BAF+CBD+ACE =CBD=1+3ACE=1+21+2+3=180BAF+CBD+ACE=2180=360并且步步有并且步步有依据依据. .（三角形外角定理三角形外角定理）因为因为( (等式的性质等式的性质) )2( (1+2+3) )所以所以( (三角形内角和定理三角形内角和定理) )因为因为所以所以因为因为所以所以小结：证明与图形有关的命题时，一般小结：证明与图形有关的命题时，一般 有哪几个步骤？有哪几个步骤？第一步第一步第二步第二步第三步第三步画出图形画出图形写出已知、求证写出已知、求证写出证明的过程写出证明的过程根据题意根据题意根据命题的条件根据命题的条件和结论，结合图形

7、和结论，结合图形通过分析，通过分析，找出证明的途径找出证明的途径注意：证明的每一步都必须要有依据注意：证明的每一步都必须要有依据.依据就是：依据就是：定义、基本事实、定理、推论定义、基本事实、定理、推论已知已知：如图，在：如图，在ABC中，中，B=C，点，点D在在线段线段BA的延长线上，射线的延长线上，射线AE平分平分DAC.求证求证AEBC.证明证明B=C DAC=2B又又AE平分平分DACDAC=2DAEDAE=BAEBCDAC =B +C下面再来证明一道命题：下面再来证明一道命题：（三角形外角定理三角形外角定理）（已知已知）（等式的性质等式的性质）（已知已知）（角平分线的定义角平分线的定

8、义）（等量代换等量代换）（同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行）例例2 已知：已知：A，B，C是是ABC的内角的内角.求证：求证：A，B，C中至少有一个角大于或等于中至少有一个角大于或等于60. 分析分析 这个命题的结论是这个命题的结论是“至少有一个至少有一个”，也就是说可能出现也就是说可能出现“有一个有一个”、“有两个有两个”、“有三个有三个”这三种情况这三种情况. 如果直接来证明，将如果直接来证明，将很繁琐，因此，我们将从另外一个角度来证明很繁琐，因此，我们将从另外一个角度来证明.证明证明 假设假设A，B，C 中中没有一个角大于或等于没有一个角大于或等于60即即A60，B60，C6

9、0，则则A+B+C180.这与这与“三角形的内角和等于三角形的内角和等于180”矛盾，矛盾，所以假设不正确所以假设不正确.因此，因此，A， B， C中至少有一个角大于或等于中至少有一个角大于或等于60. 像这样，当直接证明一个命题为真有困难像这样，当直接证明一个命题为真有困难时，我们可以先假设命题不成立，然后利用命时，我们可以先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确，这种证明方法称为这种证明方法称为反证法反证法. 反证法是一种间接证明的方法，其基本的

10、思路反证法是一种间接证明的方法，其基本的思路可归结为可归结为“否定结论，导出矛盾，肯定结论否定结论，导出矛盾，肯定结论”.反证法的步骤：假设结论的反面成立逻辑推理得出矛盾肯定原结论正确结论结论( (1 1) )证明命题：一个角的两边分别平行于另一个证明命题：一个角的两边分别平行于另一个已知已知：如图，：如图，ABAB, ,求证求证：B= = B B= （ ） 已已 知知两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等 已已 知知两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等 等量代换等量代换 1. 在括号内填上理由在括号内填上理由.证明证明 ABAB（ ） B = B ( ) A B B A C C

11、 B = （ ） BCBC（ ） 角的两边，且方向相同，则这两个角相等角的两边，且方向相同，则这两个角相等BCBC练习交流练习交流(2)(2)已知：如图，已知：如图，A+B= 180. 求证：求证：C+D= 180.证明：证明：A+B= 180（已知已知） ADBC （ ） C+D= 180 （ ）. .同旁内角互补，两直线平行同旁内角互补，两直线平行两直线平行，同旁内角互补两直线平行，同旁内角互补2. 已知：如图，直线已知：如图，直线AB，CD 被直线被直线 MN 所截，所截， 1=2. 求证：求证：2=3，3+4=180.证明：证明： 2 =33+4=180 ABCD 1=2（同位角相等，

12、两直线平行同位角相等，两直线平行）（两直线平行两直线平行, ,内错角相等内错角相等）（两直线平行两直线平行, , 同旁内角互补同旁内角互补）已知：已知：ABCDEFGH 举一反三，拓展思维举一反三，拓展思维求证：两条平行线的一对内错角的平求证：两条平行线的一对内错角的平 分线互相平行分线互相平行. .求证：求证：如图，如图，AB、CD被直线被直线EF所截，且所截，且ABCD，EG、FH分别是分别是AEF和和 EFD的平分线；的平分线；EGFH证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤第一步第一步第二步第二步第三步第三步画出图形画出图形写出已知、求证写出已知、求证写出证明的过程写出证明的过程根据题意根据题意根据命题的条件根据命题的条件和结论，结合图形和结论，结合图形通过分析，通过分析，找出证明的途径找出证明的途径注意：证明的每一步都必须要有依据注意：证明的每一步都必须要有依据.依据就是：依据就是：定义、基本事实、定理、推论定义、基本事实、定理、推论课本课本59页页A组组6，7