2011数学归纳法讲义.ppt

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1、22)55(nnan;,4321aaaa问题问题1 已知已知，(nN*),(1)分别求分别求 (2)由此你能得到一个什么结论由此你能得到一个什么结论? 这个结这个结论正确吗论正确吗? 问题问题2 2 费马（费马（Fermat）是）是1717世纪法国著世纪法国著名的数学家，他曾认为，当名的数学家，他曾认为，当n nN N 时，时， 一定都是质数，这是他对一定都是质数，这是他对n n0 0，1 1，2 2，3 3，4 4作了验证后得到的后来，作了验证后得到的后来，1818世纪伟大世纪伟大的瑞士科学家欧拉（的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了）却证明了 从而否定了费马的推测没想到当从而否定了费马的

2、推测没想到当n n5 5这一结论便不成立这一结论便不成立 122n641670041742949672971252 问题问题3 ,3 ,当当nN时，时，是否都为质数？是否都为质数？ 41)(2nnnf 验证：验证： f（0）41，f（1）43，f（2）47，f（3）53，f（4）61，f（5）71，f（6）83，f（7）97，f（8）113，f（9）131，f（10）151， ， f（39）1 601241但是但是 f（40）1 681 ，是合数，是合数引例引例 明朝刘元卿编的明朝刘元卿编的应谐录应谐录中有一个笑话：财主的儿子学写中有一个笑话：财主的儿子学写字这则笑话中财主的儿子得出字这则笑话

3、中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横四就是四横、五就是五横”的结论，用的就是的结论，用的就是“归纳法归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然，不过，这个归纳推出的结论显然是错误的是错误的引例引例 有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些他给每有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些他给每人筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁人筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁先给出答案大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣先给出答案大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三了几个饱满的，几个干瘪的，

4、几个熟好的，几个没熟的，几个三仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生显然，二徒弟比仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生显然，二徒弟比大徒弟聪明大徒弟聪明又如：给出等差数列前四项又如：给出等差数列前四项, , 写出该数列的通项公式写出该数列的通项公式 又如：证明圆周角定理分圆心在圆周角内部、外又如：证明圆周角定理分圆心在圆周角内部、外部及一边上三种情况部及一边上三种情况 (1) (1) 不完全归纳法：从一类对象中部分对象都具有某不完全归纳法：从一类对象中部分对象都具有某种性质推出这类对象全体都具有这种性质的归纳推理方法。种性质推出这类对象全体都具有这种性质的归纳推理方法。又作不完全归纳推理

5、又作不完全归纳推理 。 (2) (2) 完全归纳法：把研究对象一一都考查到了而推完全归纳法：把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法，如：枚举法、数学归出结论的归纳法称为完全归纳法，如：枚举法、数学归纳法等纳法等 不完全归纳法是从一个或几个（但不是全部）特殊不完全归纳法是从一个或几个（但不是全部）特殊情况作出一般性结论的归纳推理。不完全归纳法又叫做情况作出一般性结论的归纳推理。不完全归纳法又叫做普通归纳法普通归纳法 。由它得出的结论未必正确。由它得出的结论未必正确。 用完全归纳法得出的结论是可靠的用完全归纳法得出的结论是可靠的. .通常在事物包通常在事物包括的特殊情况数不多时，

6、采用完全归纳法括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法 。(1)当当n1时等式成立；时等式成立； (2) 假设当假设当nk时等式成立时等式成立, 即即ak=a1+(k1)d , 则则 ak+1=ak+d=a1+(k+1)-1d, 即即 nk1时等式也时等式也 成立成立 证明等差数列通项公式：证明等差数列通项公式：数学归纳法引导：数学归纳法引导：an=a1+(k1)d， nN* 于是于是, 我们可以下结论：等差数列的通项公我们可以下结论：等差数列的通项公式式 an=a1+(n1)d 对任何对任何nN*都成立都成立完成这两个步骤后完成这两个步骤后, 就可以断定命题就可以断定命题P(n)对从对从n0开始

7、的所有正整数开始的所有正整数n都成立都成立(1) 证明当证明当n取第一个值取第一个值n = n0 （n0）时）时P(n)成立成立;第一数学归纳法：设第一数学归纳法：设P(n)是一个与正整是一个与正整数有关的命题，如果数有关的命题，如果 :(2) 假设当假设当nk (kN*, kn0 ) 时时P(n)成立成立, 由此推得当由此推得当nk1时时P(n)也成立也成立1. 第一步第一步(1) ，是否可省略？，是否可省略？ 答案是：不可以省略答案是：不可以省略。下面举一个反例。下面举一个反例。n22462n n+1(nN)成立吗？成立吗？问题：问题： 用数学归纳法证明用数学归纳法证明: n22462n

8、n+1(nN)的步骤如下：的步骤如下：k2) 1(2k 假设当假设当nk时等式成立。时等式成立。 即即 2462k k1则则 2462k2（k1） k2 k1 2（k1） （k1）1 这就是说，当这就是说，当nk1时等式成立。时等式成立。根据数学归纳法根据数学归纳法2462n n+1对对nN都正确。都正确。n2评析：评析： 用数学归纳法证明命题的两个步骤是缺一不可的。用数学归纳法证明命题的两个步骤是缺一不可的。 没有步骤（没有步骤（1）命题的成立就失去了基础；）命题的成立就失去了基础； 没有步骤（没有步骤（2）命题的成立就失去了保证！）命题的成立就失去了保证！证明：证明：当当n=1时，左边时，

9、左边2，右边，右边3，等式不成立；，等式不成立；哪错了哪错了？2.第二步第二步.(2) ，从，从n=k(kn0)时命题成立的假设出时命题成立的假设出发，推证发，推证 n=k+1 时命题也成立。既然是假设，时命题也成立。既然是假设，为什么还要把它当成条件呢？为什么还要把它当成条件呢？ 这一步是在第一步的正确性的基础上，证明这一步是在第一步的正确性的基础上，证明传递性传递性。归纳：归纳：重点：重点：两个步骤、一个结论；两个步骤、一个结论；注意：注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉明莫忘掉。nnnaaa11例题例题1 在数列在数列na中, 1a1

10、, (n ),*N先计算先计算2a，3a，4a的值，再推测通项的值，再推测通项 的公式的公式, ,na最后证明你的结论最后证明你的结论 例题例题2用数学归纳法证明用数学归纳法证明6) 12)(1(3212222nnnn证明：证明：（1）当）当n=1时，左边时，左边121，右边，右边等式成立。等式成立。（2）假设当）假设当n=k时，等式成立，就是时，等式成立，就是163216) 12)(1(3212222kkkk那么那么61)1(21)1()1(6)32)(2)(1(6)672)(1(6)1(6)12)(1()1(6)12)(1()1(32122222222kkkkkkkkkkkkkkkkkkk

11、这就是说，当这就是说，当n=k+1时等式也成立。时等式也成立。根据（根据（1）和（）和（2），可知等式对任何），可知等式对任何nN都成立。都成立。例例3用数学归纳法证明用数学归纳法证明2) 1() 13 (1037241nnnn证明：证明：（1）当）当n=1时，左边时，左边144，右边，右边1224，等式成立。等式成立。（2）假设当）假设当n=k时，等式成立，就是时，等式成立，就是2222 1) 1)(1()44)(1( 1) 1( 3) 1()1(1) 1( 3) 1() 1(1) 1( 3) 1() 13(1037241,) 1() 13(1037241kkkkkkkkkkkkkkkkkk

12、kkk那么 根据（根据（1）和（）和（2），可知），可知 等式对任何等式对任何nN都成立。都成立。这就是说，当这就是说，当n=k+1时等式也成立。时等式也成立。313)2311 ()711)(411)(11 (nn) 1,(*nNn例，用数学归纳法证明：例，用数学归纳法证明：1.用数学归纳法证明：用数学归纳法证明： 135（2n1）n2 .2.用数学归纳法证明：首项是用数学归纳法证明：首项是a1 , 公比是公比是 q 的的等比数列的通项公式是等比数列的通项公式是 an=a1qn1.21234nn 3.用数学归纳法证明用数学归纳法证明:其中其中nN*能被能被13整除，整除，2413212111n

13、nn 4. 若若n为大于为大于1的自然数，求证的自然数，求证:2sin2212sincos2coscos21nn5 5 试证：对一切大于等于试证：对一切大于等于1的自然数的自然数n,n,都有：都有：) 1( n222nn6 6 试证：对一切自然数试证：对一切自然数, ,都有都有: :),3( nnnnnn) 1(17 7 对于自然数对于自然数求证：求证： Nnn,2222115328证明证明时，时，能被能被31整除。整除。 (1) 本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法；本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法；(2) 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，

14、它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种，完全归纳法只局限为完全归纳法和不完全归纳法两种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不一定具有于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性，数学归纳法属于完全归纳法；可靠性，数学归纳法属于完全归纳法；(3) 数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推推(递归递归)思想，它的使用要点可概括为：两个步骤一结论，思想，它的使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉；(4) 本节课所涉及到的数学思想方法

15、有：递推思想、类本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思想、分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想比思想、分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想完成这两个步骤后完成这两个步骤后, 就可以断定命题就可以断定命题P(n)对从对从n0开始的所有正整数开始的所有正整数n都成立都成立(1) 证明当证明当n取第一个值取第一个值n = n0 （n0）时）时P(n)成立成立;第二数学归纳法：设第二数学归纳法：设P(n)是一个与正整是一个与正整数有关的命题，如果数有关的命题，如果 :(2) 假设当假设当nk (kN*, kn0 ) 时时P(n)成立成立, 由此推得当由此推得当nk1时时P(n)也成立也成立,

16、 1,*nNn0na22133231)(nnaaaaaanan例例已知对任意已知对任意 且且求证：求证：，命题成立；，对一切自然数综合时命题也成立，当，、又又时当，则：、时，命题成立，即假设当命题成立；可得及时，当证明：，求证：且有】已知对任意【例nknkakakakkaaaaakkakjjaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaknkjjaknaaaannaaaaNnkkkkkkjjkkkjjjkjjkkkjjkkkkkjjkkkkjjkkkjjkkjjkjjkjjkkjjkkjjkjjjnnjjnjjn)2)(1(110)()1()1(22)1()4321( ,22022)()

17、()()(1)4321( ,)2(, 1,0,1)1(;)(,0,11111211121111211121311112131112121211211113312131131131121312113na, 8, 321aa202453)(4221nnaaannn3nnnna22例例2已知数列已知数列满足：满足：试证：试证：且且 时时证明：证明：12121 a（1）当）当n=1时：时：命题显然成立命题显然成立（2）假设）假设nk时：时：nnna22那么当那么当n=k+1时由时由20) 1(24) 1(53)(4211kkaaakkk1145321kkak所以：所以：1145)2) 1()2(432

18、1221kkkkakkk114548238212kkkkk1223363kkk所以：所以：1212) 1(kkka即即n=k+1时命题成立时命题成立由（由（1）、（）、（2）及数学归纳法知命题对任何正整数都成立）及数学归纳法知命题对任何正整数都成立完成这两个步骤后完成这两个步骤后, 就可以断定命题就可以断定命题P(n)对从对从n0开始的所有正整数开始的所有正整数n都成立都成立(1) 证明当证明当n，时，时，P()， P()， P()成立成立;1.跳跃数学归纳法跳跃数学归纳法 ：设：设P(n)是一个与正是一个与正整数有关的命题，如果整数有关的命题，如果 :(2) 假设当假设当nk (kN*, k

19、 ) 时时P(n)成立成立, 由此推得当由此推得当nks时时P(n)也成立也成立n11986 n例例1如果正整数如果正整数不是不是6的倍数，则的倍数，则，不是，不是7的倍数的倍数例例2证明：任一正方形可以剖分成任意个数多证明：任一正方形可以剖分成任意个数多于于5个的正方形（提示：跨度为个的正方形（提示：跨度为3）如下图：时的情况、原命题只须证份小正方形成此时原正方形就可以分个小正方形，等分成份后再拿其中一份任一个正方形分成证：876344nknk6个正方形个正方形7个正方形个正方形8个正方形个正方形所以，综上可得原命题成立。所以，综上可得原命题成立。), 7(Nnnn原命题成立；综合及归纳假设

20、显然成立时，由时，命题成立，则当假设当可知命题成立；时，由当证明：)2)(1 () 1 (3), 7()2(5510, 3339 , 53810, 9 , 8) 1 (knNkkknn4.设设n为不小于为不小于6的自然数，证明：可以将一个的自然数，证明：可以将一个1个正三角形分成个正三角形分成n个较小的正三角形。个较小的正三角形。那么根据（那么根据（1）、（）、（2）, 就可以断定命题就可以断定命题P(n)对一切正整数对一切正整数n （n0 ）都成立）都成立(1) P(n)对无限多个正整数对无限多个正整数n成立成立;2.反向数学归纳法反向数学归纳法 ：设：设P(n)是一个与正是一个与正整数整数

21、n有关的命题，如果有关的命题，如果 :(2) 假设当假设当nk (kN*, kn0 +1) 时时P(k)成成立立, 由此推得当由此推得当nk-1时时P(k-1)也成立也成立naaa,21nnnaaanaaa2121例例1设设都是正数，证明：都是正数，证明：)( ;,),(1,1212121算术几何平均不等式求证：对于任意个正数，是】设【例nnnnnnnnGANnaaaGaaanAnaaa使用归纳法；成立，为此对先证对一切证：mGANmnnnm),(2) 1 (212121212)2(21)(2111aaaaaaaaAm时，有：当nGaaaaaa212121)(21成立；时，即nnGAm1kkG

22、ANkkmk22)(22个正数，都有任意时，不等式成立，即对假设当时，就有：于是当1 km)(211121222112kkkkaaaaaAk)(21)(21)(21212212222121222111kkkkkkkkaaaaaaaaaakk11112221222122122221kkkkkkkkkkGaaaaaaaaaa,22GA 后一个不等号得之于等号得之于归纳假设，上述推理中，前一个不不等式成立；以对一切时，不等式也成立，所可见)(21Nmnkmm也成立个正数那么对任何个正数成立，对任何下面证明，如果不等式121,1)2()2(kaaakk)(11121kkaaakakn时的不等式，令：为

23、了利用kkkkkkaaaakaaaakaaa1211211211于是：kkkkaaaaaa1121121111111)()(kkkkkkkGAAGAk次方，即得：时在上面不等式得两端同故可得成立相等时成立；个正数全部当可以看出，等号当且仅都成立，且从证明过程向归纳原理，对于任意综合上述两方面，由反nGANnnn,)()(21)2(dfcfdcf)()()(1)(2121nnxfxfxfnnxxxf)(xf,ba例例2已知函数已知函数的定义域为的定义域为，对于区间，对于区间,badc,内的任意两数内的任意两数均有：均有：,21baxxxn求证：对于任意求证：对于任意，均有：，均有：)(1sin)

24、sinsin(sin1, 0,212121nnnnn则，证明：如果【练习】用反向归纳法时，不等式成立；综上可得：时不等式成立，故时，当时不等式成立，假设时，不等式成立；即：当时，当时不等式成立，先证证：)(,21)(21sin)22(21sin)2sin2(sin21)sin(sin21)sinsin(sin2121sinsinsinsinsin211212sin2cos2sin)sin(sin2111)(,2)1(111112122211212221212221212221212221121212121NmnkmkmkmmmNmnmkkkkkkkkmkkkkkkkkkkkkkkk，不等式得证

25、；由反向归纳法原理可得时不等式成立；即：kn )(11)2(211kkakknkn时，令时不等式成立，当假设)(1sin)(11sin21121kkkakak由假设)sinsinsin(sin11)(1sin12121kkkakak)(1sin)sin)sinsin(sin1121121kkkakak)sinsin(sin11)(1sin12121kkakakkk 那么根据（那么根据（1）、（）、（2）、（）、（3）就可以断定命）就可以断定命题题P(n）、）、Q（n）对一切正整数）对一切正整数n （n0 ）都成）都成立立(1) P(n0) (n0 N*)成立成立；3. （螺旋式归纳法）（螺旋式

26、归纳法） ：设：设P(n)和和Q（n）是两）是两个与自然数有个与自然数有n关的命题，如果关的命题，如果 : (2) 假设假设P(k) (kN*, kn0)成立成立,能推出能推出Q(k)也也成立；成立； (3) 假设假设Q(k)(kN*, kn0)成立成立, 能推出能推出P（k+1)也成立；也成立；)( , 1) 1(3,31222Nnnnanannna例例1.1.在数列在数列中，已知中，已知) 134(21),134(2122212nnnSnnnSnn求证：求证： ) 134(21),134(21),( , 1) 1(3,31222121222nnnSnnnSNnnnanaannnnn求证：中

27、，已知】在数列【例) 134(21)(),134(21)(),(),(22212nnnSnBnnnSnAnBnAnn指在提设条件下求证：命题指在提设条件下求证：命题两个子命题证：依题意把命题分为：下用螺旋式归纳法证明成立即：都成立，和，数综上可得，对任意自然成立成立，即假设成立成立，即假设成立时，当) 134(21),134(21)()() 1( 1) 1(3) 1(4)1(21)26634(211) 1(3) 134(21) 134(21)()3()() 134(213) 134(21),134(21)()2() 1 (, 1) 11314(121, 11) 11 ( 131) 1 (222

28、1222231221221222222212221211nnnSnnnSnBnAnkAkkkkkkkkSkkkkkaSSkkkSkBkBkkkkkkkaSSkkkSkAASannnnkknkkknk体，试证之；少构成一个四面条线段，则这些线段至它们之间连有不共面，个点，其中任意四点都】设空间中有【例13)2(322mmm个四面体；则这些线段至少构成一条线段，个点间连有设空间命题个四面体；则这些线段至少构成一条线，个点间连有设空间命题，定义：有关的命题，记其为证：这是一个与自然数1) 1(2)2( 13: )(1) 1(2) 1()2(23: )()()2(22mmmmmmFmmmmmmEmGm

29、m成立；，即命题条线段，当构成四面体即四点间连有，时，当)2(661) 1(2) 1( , 4232) 1 (2Emmmmm都成立；命题知对一切，由螺旋归纳法原理便综合条线段，从而由个点间至少连有去掉时，余下的将，由它引出的线段数一点条线段，于是其中必有个点间连有设最后证)()()(, 2)4)(3)(2)(1 () 1()(133.21) 1(213) 1()()4(22mGmFmENmmkEkGkkAkaAkkkkkEkG)()(1) 1(2132133)()()3(22kGkFkkkkAkaAkkkGkF线段，从而由命题条个点间至少连有去掉，余下的，将条数，由它引出的线段一点条线段，于是

30、其中必有个点间连有设再证成立；四面体，从而一个便知这些线段至少构成条连线，由命题个点间至少还有点去掉时，余下的条件矛盾。当将这与已知，于是线段总数为：不小于出的线段都，若不然，则由每点引点引出的线段条数为则由，是引出线段最少的一点条线段且个点间连有设证明)()(1) 1(2) 1(23, 1) 1(2) 13(2121) 1(213)()()2(222kFkEkkkkAkkkkkSkkaaAkkkkkFkE ;, 1, 1,3122212112nnnnnnnFFFFFFFFF求证：定义为：】数列【例22211122212: )(;: )(nnnnnnnFFFFnQFFFnP命题证：记命题成立；

31、时，易知由) 1 (),1 (1) 1 (QPn 均成立命题命题即成立；时，设22211122212: )(;: )(:)(),()2(kkkkkkkFFFFkQFFFkPkQkPkn均成立；，由此，对一切自然数也正确，即则可得成立，而由: )()() 1()2()()(22)(),1(422232121222122112212nQnPnkQFFFFFFFFFFFFFFFkQkPkkkkkkkkkkkkkkk成立即：则：) 1(;)()2()(32122221212121212122kPFFFFFFFFFFFFFkkkkkkkkkkkkkn（1）起点前移：有些命题对一切大于等于）起点前移：有些

32、命题对一切大于等于1的的正整数正整数都成立，但命题本身对都成立，但命题本身对n=0也成立，而也成立，而且验证起来比验证且验证起来比验证n=1时容易，因此用验证时容易，因此用验证n=0成立代替验证成立代替验证n=1同理，其他起点也可以同理，其他起点也可以前移，只要前移的起点成立且容易验证就可前移，只要前移的起点成立且容易验证就可以因而为了便于起步，有意前移起点，当然以因而为了便于起步，有意前移起点，当然也可以起点后移。也可以起点后移。kn 1 kn（2）起点增多：有些命题在由）起点增多：有些命题在由向向跨进时，需要经其他特殊情形作为基础，此时往跨进时，需要经其他特殊情形作为基础，此时往往需要补充

33、验证某些特殊情形，因此需要适当增往需要补充验证某些特殊情形，因此需要适当增多起点多起点 （3）加大跨度：有些命题为了减少归纳中的困难，）加大跨度：有些命题为了减少归纳中的困难，适当可以改变跨度，但注意起点也应相应增多适当可以改变跨度，但注意起点也应相应增多（4）选择合适的假设方式：归纳假设不一定要拘）选择合适的假设方式：归纳假设不一定要拘泥于泥于“假设假设 n=k时命题成立时命题成立”不可，需要根据题意不可，需要根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法中的某一采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法中的某一形式，灵活选择使用形式，灵活选择使用（5）变换命题：有些命题在用数学归纳证明时，）变换命

34、题：有些命题在用数学归纳证明时，需要引进一个辅助命题帮助证明，或者需要改变需要引进一个辅助命题帮助证明，或者需要改变命题即将命题一般化或加强命题才能满足归纳的命题即将命题一般化或加强命题才能满足归纳的需要，才能顺利进行证明需要，才能顺利进行证明归纳、猜想和证明归纳、猜想和证明 在数学中经常通过特例或根据一部分对象在数学中经常通过特例或根据一部分对象得出的结论可能是正确的，也可能是错误的，得出的结论可能是正确的，也可能是错误的，这种不严格的推理方法称为不完全归纳法不这种不严格的推理方法称为不完全归纳法不完全归纳法得出的结论，只能是一种猜想，其完全归纳法得出的结论，只能是一种猜想，其正确与否，必须

35、进一步检验或证明，经常采用正确与否，必须进一步检验或证明，经常采用数学归纳法证明不完全归纳法是发现规律、数学归纳法证明不完全归纳法是发现规律、解决问题极好的方法解决问题极好的方法, 10 a,11aaaaann11例例1设设Nn1na求证：对一切求证：对一切均有均有:121 aaNnaaannnn,) 1(1212例例2已知已知naNn,求证：对一切求证：对一切都是整数都是整数309000a, 11a,121nnnaaa) 1,(*nNn例例3 已知已知求证：求证：2005122005a, 11a,121nnnaaa)2004, 2 , 1(n例例4 已知已知求证：求证：例例5 证明证明:分析

36、：现考虑分析：现考虑f(n)0,并且在归纳并且在归纳n=k+1时有时有:35)1()31()21(1222n5/3-f(k)+1/(k+1)5/3-f(k+1)f(k)-f(k+1)1/(k+1)原命题就可以转化为证明原命题就可以转化为证明:1+（1/2）+（1/3）+.+（1/n）5/3-1/n(nm)考虑到考虑到1/(k+1)1/(k*(k+1)=1/k-1/(k+1),因此可以取因此可以取f(k)=1/k取取m=5（起点后移）（起点后移）niniiiiniii12112) 12)(12() 12(1) 12(11121证明一：证明一：)121121(21) 12)(12(2121211n

37、iiiniiii35321)12131(211n证明二（提示：数学归纳法，加强命题法）证明二（提示：数学归纳法，加强命题法）)2(253512121nnnii例例6 求证：求证：nii135121对任意正整数对任意正整数n都成立都成立 na111,42nnnaaaanN12nnaa na 例例7 7、已知数列、已知数列 的各项都是正数的各项都是正数, ,且满足且满足(2).(2).求数列求数列的通项公式的通项公式nN(1).(1).证明证明,1131,422aaaa12aa1当当n=1时，时， ，命题正确，命题正确. （1 1）证法一：）证法一： 2假设假设n=k时有时有12kkaa1nk11

38、1114422kkkkkkaaaaaa 则则时时, 11111112()()()()(4).22kkkkkkkkkkaaaaaaaaaa而而1110,400kkkkkkaaaaaa又又2111424222kkkkaaaa 1nk12nnaa由由1 1、2 2知，对一切知，对一切nNnN时有时有时命题正确时命题正确.证法二：证法二：1131,422aaaa102aa ；1当当n=1时，时，12kkaa 142f xxx 2假设假设n=k时有时有成立，令成立，令, f x 12kkf af af在在0，2上单调递增上单调递增,所以由假设有所以由假设有:. 即即1111144242222kkkkaa

39、aa 1nk12kkaanN也即当也即当时时成立，所以对一切成立，所以对一切12kkaa有：有：（2）下面来求数列的通项：）下面来求数列的通项：211142422nnnnaaaa21222nnaa 2nnba所以所以. .令令，则：，则：21222221 222121111111()( )( )222222nnnnnnnbbbbb 211222nnnab2112nnb 又又，所以，所以,即即, 10bnana24 , 3 , 1,( ,2121kkxxxxxxN其中，)4(21nnxxxkkxkx121kxxx)4(431naaaannnnnf)2(, 12110nfffffnnnnnnnff

40、aA112:22:nnnfaB例例9( )f x是是的周期；的周期；na110nnaa(1,2,)n (1,2,)nan 满足满足,且每个且每个( )f x都是都是的周期的周期例例10( )f xT( )f x01T的周期且的周期且设设是周期函数，是周期函数， 和和1是是Tp1p证明：证明：为有理数，则存在素数为有理数，则存在素数，使，使（）若）若T为无理数，则存在各项均为无理数的数列为无理数，则存在各项均为无理数的数列（）若）若T,m n证证（）若）若是有理数，则存在正整数是有理数，则存在正整数使得使得nTm( , )1m n , a b且且，从而存在整数，从而存在整数使得使得1manb11

41、manbabTab Tmm 于是于是是是( )f x的周期的周期 01T2m pm又因又因，从而，从而设设是是的素因子，则的素因子，则mpmmN，从而，从而 11mpm是是( )f x的周期的周期 T111aTT 101a，则，则()若若是无理数，令是无理数，令1a21111aaa 111nnnaaa 且且是无理数，令是无理数，令， na由数学归纳法易知由数学归纳法易知均为无理数且均为无理数且 01na111nnaa11nnnaaa又又，故，故111nnnnaaaa na即即因此因此是递减数列是递减数列 na( )f xT最后证：每个最后证：每个是是的周期事实上，因的周期事实上，因1和和( )

42、f x是是的周期，的周期， 111aTT ( )f x故故亦是亦是的周期的周期 111kkkaaa ka( )f x( )f x假设假设是是的周期，则的周期，则也是也是的周期的周期. . na( )f x由数学归纳法，已证得由数学归纳法，已证得均是均是的周期的周期 例例11、已知数列、已知数列na中，中，,3511112为偶数为奇数nnnnnnnnnaaaaaaaaa求证：求证：. 0,naNn,Nn均有：均有：且且, 2, 121aa提示：提示：na20,12, 1321aaannnnaaaa12322141nnaa例例12 设整数数列设整数数列满足满足且且证明：任意正整数证明：任意正整数n,是一个整数的平方是一个整数的平方