32均值不等式.ppt

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1、3.4均值不等式均值不等式 如果如果a，bR， 那么那么a2+b22ab（当且仅当（当且仅当a=b时取时取“=”）证明：证明：222)(2baabba0)(0)(22babababa时，当时，当abba2221指出定理适用范围：指出定理适用范围： Rba,2强调取强调取“=”的条件：的条件： ba 定理：定理： 如果如果a, bR+，那么，那么 abba2（当且仅当（当且仅当a=b时，式中等号成立）时，式中等号成立）证明：证明： 22()()2aba b abba2 即：即： abba2当且仅当当且仅当a=b时时abba2均值定理：均值定理：注意：注意：1适用的范围：适用的范围：a, b 为非

2、负数为非负数. 2语言表述：语言表述：两个非负数两个非负数的算术平的算术平均数均数不小于不小于它们的几何平均数。它们的几何平均数。称称2ab为为a，b的算术平均数，的算术平均数，3.我们把不等式我们把不等式 (a0,b0)2abab称为基本不等式称为基本不等式称称ab的几何平均数。的几何平均数。为为a，b2ab把把看做两个看做两个正数正数a，b的等差中项，的等差中项，ab看做看做正数正数a，b的等比中项，的等比中项，那么上面不等式可以叙述为：那么上面不等式可以叙述为： 两个正数的等差中项两个正数的等差中项不小于不小于它们的等比它们的等比中项。中项。 还有没有其它的证明方法证明上面还有没有其它的

3、证明方法证明上面的基本不等式呢的基本不等式呢?几何直观解释：几何直观解释：令正数令正数a，b为两条线段的长，用几何作为两条线段的长，用几何作图的方法，作出长度为图的方法，作出长度为 和和的两条线段，然后比较这两条线段的长。的两条线段，然后比较这两条线段的长。2abab具体作图如下：具体作图如下：（1）作线段）作线段AB=a+b，使，使AD=a，DB=b,（2）以）以AB为直径作半圆为直径作半圆O；（3）过）过D点作点作CDAB于于D，交半圆于点，交半圆于点C（4）连接）连接AC，BC，CA，则，则2abOCCDababa+b2ba ODCBA当当ab时，时，OCCD，即，即2abab当当a=b

4、时，时，OC=CD，即，即2abab例例1已知已知ab0，求证：，求证： ，并，并推导出式中等号成立的条件。推导出式中等号成立的条件。2baab证明：因为证明：因为ab0，所以，所以 ，根据均值不等式得根据均值不等式得0,0baab22bab aaba b即即2baab当且仅当当且仅当 时，即时，即a2=b2时式中等号时式中等号成立，成立，baab因为因为ab0，即，即a，b同号，所以式中等号成同号，所以式中等号成立的条件是立的条件是a=b.例例2（1）一个矩形的面积为）一个矩形的面积为100m2，问，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是

5、多少？长最短？最短周长是多少？（2）已知矩形的周长是）已知矩形的周长是36m，问这个矩，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的面积最大？形的长、宽各为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？最大面积是多少？分析：在（分析：在（1）中，矩形的长与宽的乘积是）中，矩形的长与宽的乘积是一个常数，求长与宽的和的一个常数，求长与宽的和的2倍的最小值；倍的最小值；在（在（2）中，矩形的长与宽的和的）中，矩形的长与宽的和的2倍是一个倍是一个常数，求长与宽的乘积的最大值。常数，求长与宽的乘积的最大值。解：（解：（1）设矩形的长、宽分别为）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，依题意有，依题意有xy=100(m

6、2)，因为因为x0，y0，所以，所以，2xyxy因此，即因此，即2(x+y)40。 当且仅当当且仅当x=y时，式中等号成立，时，式中等号成立，此时此时x=y=10。因此，当这个矩形的长与宽都是因此，当这个矩形的长与宽都是10m时，时，它的周长最短，最短周长是它的周长最短，最短周长是40m.（2）设矩形的长、宽分别为）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，依题意有依题意有2(x+y)=36，即，即x+y=18，因为因为x0，y0，所以，所以， 2xyxy因此因此 xy 9将这个正值不等式的两边平方，得将这个正值不等式的两边平方，得xy81,当且仅当当且仅当x=y时，式中等号成立，时，式中等号成

7、立，此时此时x=y=9，因此，当这个矩形的长与宽都是因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，时，它的面积最大，最大值是它的面积最大，最大值是81m2。规律：规律： 两个正数的积为常数时，它们的和有两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。最大值。例例3求函数求函数 的最大的最大值，及此时值，及此时x的值。的值。223( )(0)xxf xxx解：解： ，因为，因为x0，3( )1 (2)f xxx 所以所以3322 22 6xxxx得得3(22 6xx)-因此因此f(x) 1 2 6当且仅当当且仅当 ，即，即 时，式中

8、等时，式中等号成立。号成立。32xx232x 由于由于x0，所以，所以 ，式中等号成立，式中等号成立，62x 因此因此 ，此时，此时 。max( )1 2 6f x 62x 下面几道题的解答可能下面几道题的解答可能有错有错，如果，如果错错了了，那么，那么错错在哪里？在哪里？已知函数已知函数 ，求函数的，求函数的最小值和此时最小值和此时x的取值的取值xxxf1)(.2112121)(:取到最小值时函数即当且仅当解xxxxxxxxf 运用均值不等式的过程中，忽略了运用均值不等式的过程中，忽略了“正数正数”这个条件这个条件已知函数，已知函数，求函数的最小值求函数的最小值)2(23)(xxxxf。的最

9、小值是时，函数即当且仅当解：6323223223)(xxxxxxxxxf 用均值不等式求最值，必须满足用均值不等式求最值，必须满足“定值定值”这这个条件个条件的最小值。，（其中求函数20sin4sin 3y。函数的最小值为解：4, 4sin4sin2sin4siny用均值不等式求最值用均值不等式求最值,必须注意必须注意 “相等相等” 的条的条件件.如果取等的条件不成立如果取等的条件不成立,则不能取到该最值则不能取到该最值. 1.已知已知x0, y0, xy=24, 求求4x+6y的最小值，的最小值，并说明此时并说明此时x,y的值的值4 已知已知x0,y0,且且x+2y=1,求求的最小值的最小值yxu112 已知已知a+b=4,求求y=2a+2b的最小值的最小值练习题：练习题：当当x=6,y=4时时,最小值为最小值为48最小值为最小值为82 22( )f xxx3.已知已知x0，求函数，求函数 的最大值的最大值.32 2