空间向量在立体几何中的应用[1].ppt

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1、要点疑点考点 课 前 热 身 能力思维方法 延伸拓展误 解 分 析第6课时 空间向量在立体几何中的应用2.向量向量a与与b平行的充要条件为：平行的充要条件为：|ab|=|a|b|. 1向量向量a与与b夹角夹角满足：满足： 222222212121212121coszyxzyxzzyyxx若若a=x1，y1，z1，b=x2，y2，z2则则3.向量向量a与与b垂直的充要条件为：垂直的充要条件为： ab=0即即x1x2+y1y2+z1z2=0 返回返回1.四面体每相对两棱中点连一直线，则此三条直线四面体每相对两棱中点连一直线，则此三条直线( ) (A)互不相交互不相交(B)至多有两条直线相交至多有两

2、条直线相交(C)三线相交于一点三线相交于一点(D)两两相交得三个交点两两相交得三个交点课课 前前 热热 身身C2.在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为中棱长为a，M，N分别分别为为A1B和和AC上的点，上的点，A1M=AN= a，则，则MN与平面与平面BB1C1C的位置关系是的位置关系是( )(A)相交相交 (B)平行平行 (C)垂直垂直 (D)不能确定不能确定 32B3.已知已知PA O所在的平面，所在的平面，AB为为 O的直径，的直径，C是圆是圆周上的任意一点周上的任意一点(但异于但异于A和和B)，则平面，则平面PBC垂直于平垂直于平面面_ PAC4.在棱长为在棱长为1的正方体

3、的正方体ABCDA1B1C1D1中，中，M，N分分别为别为A1B1和和BB1的中点，那么直线的中点，那么直线AM与与CN所成的角所成的角为为( ) (A)arccos (B)arccos(C)arccos (D)arccos2310105352D【解题回顾解题回顾】空间两条直线空间两条直线之间的夹角是不超过之间的夹角是不超过90的的角因此，如果按公式计算角因此，如果按公式计算分子的数量积为一个负数，则应当取其绝对值，使之分子的数量积为一个负数，则应当取其绝对值，使之变为正值，这样求得的角为锐角，这一说明在以后很变为正值，这样求得的角为锐角，这一说明在以后很多计算问题中经常被用到多计算问题中经常

4、被用到. 5P是二面角是二面角-AB-棱上的一点，分别在棱上的一点，分别在，平面平面上引射线上引射线PM，PN，如果，如果BPM=BPN=45,MPN=60，那么二面角，那么二面角-AB-的大小为的大小为( ) (A)60 (B)70 (C)80 (D)90 D【解题回顾解题回顾】从本题解法中我们看到，在求二面角从本题解法中我们看到，在求二面角时，没有必要一定要从棱上同一点出发引垂直于棱时，没有必要一定要从棱上同一点出发引垂直于棱的垂线的垂线. 返回返回【解题回顾解题回顾】从本题解法中我们看到，在求二面角从本题解法中我们看到，在求二面角时，没有必要一定要从棱上同一点出发引垂直于棱时，没有必要一

5、定要从棱上同一点出发引垂直于棱的垂线的垂线. 6设设n是平面是平面的单位法向量，的单位法向量，AB是平面是平面的一条斜的一条斜线，其中线，其中A，则，则AB与平面与平面所成的角为所成的角为 ；B点到点到平面平面的距离为的距离为_. ABnABarcsinABn 1.在长方体在长方体ABCDA1B1C1D1中，中，AB=a，BC=b，AA1=c，求异面直线，求异面直线BD1和和B1C所成角的余弦值所成角的余弦值. 【解题回顾解题回顾】本题中，不失一般性，可以取本题中，不失一般性，可以取OB=b=1，OC=c=1，这样使过程更加清晰，这样使过程更加清晰.2.三条射线三条射线OA，OB，OC，若，若

6、BOC=, COA=, ,AOB=，又，又二面角二面角B-OA-C的大小为的大小为，试证这些，试证这些角之间有如下关系：角之间有如下关系：sinsincoscoscoscos【解题回顾解题回顾】将将“两线垂直两线垂直”问题问题向向“两线所在的向量的数量积为两线所在的向量的数量积为0”转化转化. 3.已知已知ADB和和ADC都是以都是以D为直角顶点的直角三为直角顶点的直角三角形，且角形，且AD=BD=CD，BAC=60. (1)求证求证BD平面平面ADC； (2)若若H是是ABC的垂心，的垂心，求证求证H是是D在平面在平面ABC内的射影内的射影. 【解题回顾解题回顾】根据向量和的平行四边形法则，

7、在平行根据向量和的平行四边形法则，在平行六面体中利用量解题应当是最方便的，同学们应用心六面体中利用量解题应当是最方便的，同学们应用心体会体会. 返回返回4.平行六面体平行六面体ABCDA1B1C1D1中，已知中，已知AB=5，AD=4,AA1=3，ABAD，A1AB=A1AD= . (1)求证：顶点求证：顶点A1在底面在底面ABCD的射影在的射影在BAD的角平分线上；的角平分线上； (2)若若M、N分别在分别在D1C1、B1C1上上且且D1M=2，B1N=2，求，求BN与与CM所成的角所成的角. 3【解题回顾解题回顾】求两点间距离可以转化为向量的模求两点间距离可以转化为向量的模. 5.四面体四

8、面体ABCD中，中，DAC=BAC=BAD=60，AC=AD=2，AB=3. (1)求直线求直线AC和和BD所成角的余弦值；所成角的余弦值； (2)求点求点C到平面到平面ABD的距离的距离. 6.设设l1，l2是两条异面直线，其公垂线段是两条异面直线，其公垂线段AB上的单位上的单位向量为向量为n，又，又C，D分别是分别是l1，l2意一点，求证意一点，求证 |AB|=|CDn|； 【解题回顾解题回顾】在以上推导中，在以上推导中，我们已暗中假定了我们已暗中假定了n的方向是的方向是由由l1上的点上的点A指向指向l2上的点上的点B，而而CD的方向也是由的方向也是由l1上的点上的点C指向指向l2上的点上

9、的点D这样求得的这样求得的CDn是正值是正值.如果如果n指向与指向与CD指向不同则指向不同则CDn是负值，所以一般地就写成是负值，所以一般地就写成|AB|=|CDn|.又如果又如果n不是单位向量，则不是单位向量，则nnCDAB返回返回7.已知正方体已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为的棱长为a，求体对角，求体对角线线BD1与面对角线与面对角线B1C的距离的距离. 【解题回顾解题回顾】DA，DC，DD1有有着基底的作用，我们将着基底的作用，我们将BD1与与B1C的公垂线段向量的公垂线段向量n用这组基用这组基底来表示底来表示.因为相差一个常数因因为相差一个常数因子不影响其公垂性，子不影响其公

10、垂性， 所以设定所以设定了了n=DA+DC+DD1，使其只含有两个待定常数，这，使其只含有两个待定常数，这样就方便多了样就方便多了. 误解分析误解分析关于向量的命题：关于向量的命题： 1.若若|a|=0，则，则a=0；() 2.若若|a|=|b|，则，则a=b或或a=-b；() 3.a0为单位向量，为单位向量，aa0，则，则a=|a|a0；() 4.0a=0；() 5.|ab|=|a|b|；() 6.若若ab=0，则，则a=0或或b=0；() 7.ab ab=|a|b|() 8.a、b都是单位向量，则都是单位向量，则ab=1；() 9.若若|ab|=0，则，则|a|=0或或|b|=0；() 10.(ab)c=a(bc).() 尝试说明上述命题为假的理由尝试说明上述命题为假的理由. 返回返回