§27函数模型及函数的综合应用.pptx

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1、栏目索引课标版课标版 理理数数 2.7函数模型及函数的综合应用函数模型及函数的综合应用栏目索引1.三种增长型函数模型的图象与性质知识梳理知识梳理函数性质y=ax(a1)y=logax(a1)y=x(0)在(0,+)上的增减性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x增大逐渐表现为与y轴平行随x增大逐渐表现为与x轴平行随值变化而不同栏目索引2.三种增长型函数之间增长速度的比较(1)指数函数y=ax(a1)与幂函数y=x(0)在区间(0,+)上,无论比a大多少,尽管在x的一定范围内ax会小于x,但由于y=ax的增长速度快于y=x的增长速度,因而总存在一个x0,使xx0时有ax

2、x.(2)对数函数y=logax(a1)与幂函数y=x(0)不论a与值的大小如何,对数函数y=logax(a1)的增长速度总会慢于y=x的增长速度,因而在定义域内总存在一个实数x0,使xx0时有logaxx0时有axxlogax.3.解函数应用题的步骤(四步八字)(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识建立相应的数学模型;(3)求模:求解数学模型,得出数学结论;(4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.以上过程用框图表示如下:栏目索引栏目索引1.某家具的标价为132元,若降价

3、以九折出售(即优惠10%),仍可获利10%(相对进货价),则该家具的进货价是()A.118元B.105元C.106元D.108元答案D设进货价为a元,由题意知132(1-10%)-a=10%a,解得a=108,故选D.栏目索引2.如图所示的四个容器高度都相同,将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,注满为止.用容器下面所对的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系,其中不正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个栏目索引答案A将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化规律上反映出来,应该是匀速的,故下面的图象不正确,中的变

4、化规律应该是越来越慢的,正确;中的变化规律是先快后慢再快,正确;中的变化规律是先慢后快再慢,也正确,故只有是错误的.选A.栏目索引3.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时,能卖出400个,已知该商品每涨价1元,其销售量就减少20个,为了赚得最大利润,售价应定为每个元.答案95解析设售价为每个x元,利润为y元,则y=400-20(x-90)(x-80)=20(110-x)(x-80)=-20(x2-190 x+8800)=-20(x-95)2+20952-208800.当x=95时,y最大,最大值为4500.全书目录栏目索引4.某公司一年购买某种货物600吨,每次都购买x吨,运费为3万元/

5、次,一年的总存储费用为2x万元.若要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则每次需购买吨.答案30解析设总费用为y万元,由题意知y=3+2x=+2x,x(0,600,y2=120(当且仅当x=30时,取“=”),所以每次购买30吨时,总费用最小.600 x1800 x18002xx栏目索引5.一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为x(xN*)件.当x20时,年销售总收入为(33x-x2)万元;当x20时,年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元,则y与x的函数关系式为,该工厂的年产量为件时,所得年利润最大

6、.(年利润=年销售总收入-年总投资)栏目索引答案y=;16解析由已知得:当020(xN*)时,y=260-100-x=160-x.当x=21时,年利润最大为139万元.综上可知,y与x的函数关系式为y=(xN*),且当年产量为16件时,所得年利润最大,为156万元.2*32100,020,N160,20,Nxxxxx xx232100,020,160,20 xxxx x栏目索引典例1(2014湖南,8,5分)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A.B.C.D.-1答案D解析设两年前的年底该市的生产总值为a,则第二年年底的

7、生产总值为a(1+p)(1+q).设这两年生产总值的年平均增长率为x,则a(1+x)2=a(1+p)(1+q),由于连续两年持续增加,所以x0,因此x=-1,故选D.2pq(1)(1) 12pqpq(1)(1)pq(1)(1)pq典例题组典例题组函数的实际应用栏目索引(1)直线模型:即一次函数模型y=kx+b(k0),其增长特点是直线上升(x的系数k0),通过图象可以很直观地认识它.(2)指数函数模型:能用指数函数表达的函数模型,其增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快(a1),常形象地称之为“指数爆炸”.(3)对数函数模型:能用对数函数表达的函数模型,其增长特点是开始阶段增长得

8、较快(a1),但随着x的逐渐增大,其函数值增长的速度越来越慢,常称之为“蜗牛式增长”.栏目索引(4)幂函数模型:能用幂函数表达的函数模型,其增长情况随y=x中的取值变化而定,常见的有二次函数模型.(5)“对勾”函数模型:形如f(x)=x+(a0,x0)的函数模型,其在现实生活中也有着广泛的应用,常利用“基本不等式”解决,有时利用函数的单调性求解最值.ax栏目索引1-1某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线.(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y=f(t);栏目索引(2)据进一步测定:

9、每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效,求服药一次后治疗疾病有效的时间.解析(1)设y=f(t)=当t=1时,由y=4,得k=4,由=4,得a=3.则y=f(t)=(01),1(1),2t akttt 112a34(01),1(1).2tttt 栏目索引(2)由y0.25得或解得t5.因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5-=(小时).01,40.25tt 31,10.25,2tt1161167916栏目索引典例2(2014辽宁,12,5分)已知定义在0,1上的函数f(x)满足:f(0)=f(1)=0;对所有x,y0,1,且xy,有|f(x)-f(y)|x-y|.若对所有x,y0,1

10、,|f(x)-f(y)|k恒成立,则k的最小值为()A.B.C.D.答案B解析当x=y时,|f(x)-f(y)|=0.当xy时,当|x-y|时,依题意有|f(x)-f(y)|时,不妨设xy,依题意有|f(x)-f(y)|=|f(x)-f(0)+f(1)-f(y)|f(x)-f(0)|+|f121214121812121412函数的综合应用栏目索引(1)-f(y)|,|f(x)-f(y)|-=.综上所述,对所有x,y0,1,都有|f(x)-f(y)|.因此,k,即k的最小值为,故选B.121212121212121214141414栏目索引函数的综合问题主要指综合运用函数知识和函数思想来分析、解决问题.函数思想贯穿高中代数的始终.高考经常在函数与其他知识的交汇点命制试题.栏目索引2-1已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2.若xR,f(x)0或g(x)0,则m的取值范围是.答案(-4,0)解析由题意可知,m0时不能保证对任意xR,f(x)0或g(x)0成立.(1)当m=-1时,f(x)=-(x+2)2,g(x)=2x-2,画出图象(如图),显然满足条件;(2)当-1m-(m+3),要使其满足条件,则需解得-1m0,如图;(3)当m2m,要使其满足条件,则需解得-4m-1,如10,21mm 1,(3)1,mm 栏目索引综上可知,m的取值范围为(-4,0).