正弦定理与余弦定理.ppt

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1、第七节正弦定理和余弦定理【教学要求【教学要求】【知识梳理【知识梳理】1.1.必会知识教材回扣填一填必会知识教材回扣填一填(1)(1)正弦定理正弦定理: : =_=_=2R(R =_=_=2R(R是是ABCABC外接圆的半径外接圆的半径) )asinAbsinBcsinC(2)(2)余弦定理余弦定理: :在在ABCABC中中, ,有有:a:a2 2=_;=_;b b2 2=_;=_;c c2 2=_.=_.b b2 2+c+c2 2-2bccosA-2bccosAc c2 2+a+a2 2-2cacosB-2cacosBa a2 2+b+b2 2-2abcosC-2abcosC在在ABCABC中

2、中, ,有有:cosA=_;:cosA=_;cosBcosB=_;=_;cosCcosC=_.=_.222bca2bc222acb2ac222abc2ab(3)(3)在在ABCABC中中, ,已知已知a,ba,b和和A A时时, ,三角形解的情况三角形解的情况: :A A为锐角为锐角A A为钝角或直角为钝角或直角图形图形关系式关系式a=bsinAa=bsinAbsinAbsinA ababababab解的解的个数个数_一解一解两解两解一解一解一解一解无解无解2.2.必备结论教材提炼记一记必备结论教材提炼记一记(1)(1)三角形的内角和定理三角形的内角和定理: :在在ABCABC中中,A+B+C

3、=_,A+B+C=_,其其变式有变式有:A+B=_, =_:A+B=_, =_等等. .-C-CAB2C22(2)(2)三角形中的三角函数关系三角形中的三角函数关系: :sin(A+Bsin(A+B)=_;)=_;cos(A+Bcos(A+B)=_;)=_;sin =_;sin =_;coscos =_. =_.sinCsinC-cosC-cosCAB2AB2Ccos 2Csin 2(3)(3)正弦定理的正弦定理的公式变形公式变形: :a=_,a=_,b=_,c=_;b=_,c=_;sinAsinBsinCsinAsinBsinC=_;=_;sinA= ,sinB=_,sinC=_;sinA=

4、 ,sinB=_,sinC=_;2RsinA2RsinA2RsinB2RsinB2RsinC2RsinCabcabca2Rb2Rc2R abcabc.sinAsinBsinCsinAsinBsinC ab cos Cc cos B,4ba cos Cc cos A,cb cos Aa cos B.三角形中的射影定理【小题快练【小题快练】1.1.教材改编链接教材练一练教材改编链接教材练一练(1)(1)(必修必修5P8T2(1)5P8T2(1)改编改编) )在在ABCABC中中, ,已知已知a=5,b=7,a=5,b=7,c=8,c=8,则则A+C=A+C=( () )A.90A.90B.120B

5、.120C.135C.135D.150D.150【解析【解析】选选B.B.先求先求B.B.cosBcosB= = 因为因为0 0B180B180, ,所以所以B=60B=60, ,故故A+C=120A+C=120. .222acb2564491,2ac2 5 82 (2)(2)(必修必修5P4T1(2)5P4T1(2)改编改编) )在在ABCABC中中, ,已知已知A=60A=60, ,B=75B=75,c=20,c=20,则则a=a=. .【解析【解析】C=180C=180-(A+B)=180-(A+B)=180-(60-(60+75+75)=45)=45. .由正弦定理由正弦定理, ,得得

6、 答案答案: :1010csin A20 sin 60a10 6.sin Csin 4562.2.真题小试感悟考题试一试真题小试感悟考题试一试(1)(2015(1)(2015北京高考北京高考) )在在ABCABC中中,a=4,b=5,c=6,a=4,b=5,c=6,则则 = =. .【解析【解析】答案答案: :1 1sin 2Asin C222bca2asin 2A2sin Acos A2bcsin Csin Cc22222222a bca45641.bc5 6(2)(2014(2)(2014湖北高考湖北高考) )在在ABCABC中中, ,角角A,B,CA,B,C所对的边所对的边分别为分别为a

7、,b,ca,b,c. .已知已知A= ,a=1,b= ,A= ,a=1,b= ,则则B=B=. .63【解析【解析】依题意依题意, ,由正弦定理知由正弦定理知 得出得出sinBsinB= = 由于由于0B,0Ba,ba,所以所以B=60B=60或或120120. .故满足条件的三角形有两个故满足条件的三角形有两个. .bsin A6 sin 453.a22(2)(2)由正弦定理得由正弦定理得, ,sinBcosC+sinCcosBsinBcosC+sinCcosB=2sinB,=2sinB,所以所以sin(B+C)=2sinB,sin(-A)=2sinB,sin(B+C)=2sinB,sin(

8、-A)=2sinB,即即sinA=2sinB,sinA=2sinB,再由正弦定理得再由正弦定理得a=2b,a=2b,所以所以 =2.=2.答案答案: :2 2ab(3)(3)过点过点A A作作AEBC,AEBC,垂足为垂足为E,E,则在则在RtRtABEABE中中, ,故故B=30B=30. .1BCBE32cos B,B30 .ABAB2故在在ABDABD中中,ADB=180,ADB=180-ADC=180-ADC=180-75-75=105=105. .由正弦定理得由正弦定理得AD=AD=答案答案: : AB sin B2 sin 30sin ADBsin 105162.624462【一题

9、多解【一题多解】解答本例解答本例(1),(2)(1),(2)你还有其他方法吗你还有其他方法吗? ?(1)(1)选选B.B.数形结合法数形结合法: :如图如图,CD= ,CD= sin45sin45= ,= ,又又a=2,b= ,a=2,b= ,所以所以CDab,CDa2 A.x2 B.x B.x22C.2x2 C.2x2 D.2x2 D.2x2x2且且xsin45xsin452,2,所以所以2x2 .2x2 .232【加固训练【加固训练】1.1.在在ABCABC中中,a=10,B=60,a=10,B=60,C=45,C=45, ,则则c c等于等于( () )A.10+A.10+ B.10(

10、-1) B.10( -1)C. +1C. +1 D.10 D.10 3333【解析【解析】选选B.A=180B.A=180-(B+C)=180-(B+C)=180-(60-(60+45+45) )=75=75. .由正弦定理由正弦定理, ,得得 210asin C10sin 452c103 1 .sin Asin 756242.(20152.(2015绵阳模拟绵阳模拟) )在锐角在锐角ABCABC中中, ,角角A,BA,B所对的边所对的边分别为分别为a,ba,b, ,若若2asinB= b,2asinB= b,则角则角A=A=. .【解析【解析】由正弦定理得由正弦定理得2sinA2sinAsi

11、nB= sinBsinB= sinB, ,又又sinB0,sinB0,故故sinAsinA= ,= ,又又0 0A90A90, ,所以所以A=60A=60. .答案答案: :606033323.(20153.(2015黄山模拟黄山模拟) )若若ABCABC的三内角的三内角A,B,CA,B,C满足满足A+C=2B,A+C=2B,且最大边为最小边的且最大边为最小边的2 2倍倍, ,则三角形三内角则三角形三内角之比为之比为. .【解析【解析】因为因为A+C=2B,A+C=2B,不妨设不妨设A=B-A=B-,C=B+,C=B+. .因为因为A+B+C=,A+B+C=,所以所以B-+B+B+B-+B+B

12、+=,=,所以所以B= B= 再设最小边为再设最小边为a,a,则最大边为则最大边为2a.2a.由正弦定理得由正弦定理得 .3a2a,sin()sin()33sin()2sin(),33即即即sin cos+cos sin=sin cos+cos sin=2(sin cos -cos2(sin cos -cos sin ), sin ),所以所以tantan= ,= ,=所以三内角分别为所以三内角分别为 它们的比为它们的比为123.123.答案答案: :123123333333.6 ,6 3 2，考点考点2 2余弦定理的应用余弦定理的应用【典例【典例2 2】(1)(1)已知锐角三角形的边长分别为

13、已知锐角三角形的边长分别为1,3,x,1,3,x,则则x x的取值范围是的取值范围是( () )A.8x10A.8x10 B.2 x B.2 xC.2 x10C.2 x10D. x8D. xc,ac,已知已知 =2,cosB= ,b=3,=2,cosB= ,b=3,求求: :a a和和c c的值的值; ;cos(Bcos(B-C)-C)的值的值. .BA BC 13【解题提示【解题提示】(1)(1)使大边的对角是锐角使大边的对角是锐角, ,其余弦值大于其余弦值大于0,0,列不等式组求解列不等式组求解. .(2)(2)已知三边的关系求角用余弦定理已知三边的关系求角用余弦定理. .(3)(3)利用

14、向量运算及余弦定理找等量关系求解利用向量运算及余弦定理找等量关系求解; ;利用已知条件求利用已知条件求sinB,cosC,sinCsinB,cosC,sinC, ,代入公式求值代入公式求值. .【规范解答【规范解答】(1)(1)选选B.B.因为因为31,31,所以只需使边长为所以只需使边长为3 3及及x x的对角都为锐角即可的对角都为锐角即可, , 又因为又因为x0,x0,所以所以 22222221x3 ,8x10.13x ,故即2 2x10. (2)(2)因为因为(a+b+c)(a-b-c)+bc(a+b+c)(a-b-c)+bc=a=a2 2-(b+c)-(b+c)2 2+bc+bc=a=

15、a2 2-b-b2 2-c-c2 2-bc=0,-bc=0,所以所以a a2 2=b=b2 2+c+c2 2+bc,+bc,cosA= cosA= 又又A(0,),A(0,),所以所以A= .A= .答案答案: : 222bcabc1.2bc2bc2 2323(3)(3)由由 =cacosB=2,=cacosB=2,所以所以ac=6.ac=6.又由又由b=3b=3及余弦定理得及余弦定理得b b2 2=a=a2 2+c+c2 2-2accosB,-2accosB,所以所以a a2 2+c+c2 2=13,=13,因为因为ac,ac,解得解得a=3,c=2.a=3,c=2.1BA BC2cos B

16、BA BC3 ，得由由a=3,b=3,c=2a=3,b=3,c=2得得cosC= cosC= sinC= sinC= 由由cosB= cosB= 得得sinB= sinB= 所以所以cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC= cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC= 222abc72ab9，24 21cos C9，1322 21 cos B;3172 24 223.393927【变式探究【变式探究】对于本例对于本例(2),(2),若若ABCABC的三边的三边a,b,ca,b,c满满足足a a2 2=b=b2 2+c+c2 2- - 则则A=A=. .3bc,【解析【解

17、析】由余弦定理由余弦定理, ,得得cosA=cosA=因为因为A(0,),A(0,),所以所以A= .A= .答案答案: :222bca3bc3,2bc2bc266【规律方法【规律方法】1.1.利用余弦定理解三角形的步骤利用余弦定理解三角形的步骤2.2.利用余弦定理判断三角形的形状利用余弦定理判断三角形的形状在在ABCABC中中,c,c是最大的边是最大的边, ,若若c c2 2aaa2 2+b+b2 2, ,则则ABCABC是钝角三角形是钝角三角形. .提醒提醒: :已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形, ,可用正弦定理可用正弦定理, ,也可用余弦定

18、理也可用余弦定理, ,用正弦定理时用正弦定理时, ,需判断需判断其解的个数其解的个数, ,用余弦定理时用余弦定理时, ,可根据一元二次方程根的可根据一元二次方程根的情况判断解的个数情况判断解的个数. .【变式训练【变式训练】(2015(2015合肥模拟合肥模拟) )设设ABCABC的内角的内角A,B,CA,B,C所对边的长分别为所对边的长分别为a,b,ca,b,c. .若若b+cb+c=2a,3sinA=5sinB,=2a,3sinA=5sinB,则角则角C=C=( () )235A.B.C.D.3346【解析【解析】选选B.B.因为因为3sinA=5sinB,3sinA=5sinB,所以由正

19、弦定理所以由正弦定理可得可得3a=5b,3a=5b,所以所以a= a= 因为因为b+cb+c=2a,=2a,所以所以c= c= 所以所以cosCcosC= = 因为因为C(0,),C(0,),所以所以C= C= 5b.37b,3222abc1,2ab2 2.3【加固训练【加固训练】1.1.在在ABCABC中中, ,若若abcabc=357,=357,则这个则这个三角形中最大内角为三角形中最大内角为( () )A.60A.60B.90B.90C.120C.120D.150D.150【解析【解析】选选C.C.令令a=3x,b=5x,c=7x(x0),a=3x,b=5x,c=7x(x0),则则c c

20、为最大边为最大边, ,角角C C为三角形中最大内角为三角形中最大内角, ,由余弦定理由余弦定理, ,得得cosCcosC= = 所以所以C=120C=120. .222abc12ab2 ，2.2.在在ABCABC中中,C=60,C=60,a,b,c,a,b,c分别为角分别为角A,B,CA,B,C的对边的对边, ,则则 = =. .abbcca【解析【解析】因为因为C=60C=60, ,所以所以a a2 2+b+b2 2-c-c2 2=ab=ab, ,所以所以a a2 2+b+b2 2=ab+c=ab+c2 2, ,等式两边都加上等式两边都加上ac+bcac+bc, ,整理得整理得(a(a2 2

21、+ac)+(b+ac)+(b2 2+bc)=(b+c)(a+c+bc)=(b+c)(a+c),),所以所以 答案答案: :1 1 22acabbcbcacab1.bccabccabcca考点考点3 3 正、余弦定理的综合应用正、余弦定理的综合应用知知考情考情利用正、余弦定理求三角形中的边和角、判断三利用正、余弦定理求三角形中的边和角、判断三角形的形状是高考的重要考向角形的形状是高考的重要考向, ,常与三角恒等变换相结常与三角恒等变换相结合合, ,以选择题、填空题、解答题的形式出现以选择题、填空题、解答题的形式出现, ,以后两种以后两种题型为主题型为主. .明明角度角度命题角度命题角度1:1:综

22、合利用正、余弦定理求角综合利用正、余弦定理求角( (或其正、或其正、余弦值余弦值) )【典例【典例3 3】(2014(2014天津高考天津高考) )在在ABCABC中中, ,内角内角A,B,CA,B,C所对的边分别是所对的边分别是a,b,ca,b,c. .已知已知b-cb-c= a,2sinB=3sinC,= a,2sinB=3sinC,则则cosAcosA的值为的值为. .14【解题提示【解题提示】利用正弦定理化角为边利用正弦定理化角为边, ,解方程组得边的解方程组得边的关系关系, ,然后利用余弦定理求然后利用余弦定理求cosAcosA的值的值. .【规范解答【规范解答】因为因为2sinB=

23、3sinC,2sinB=3sinC,所以所以2b=3c,2b=3c,又又b-cb-c= a,= a,解得解得b= a=2c.b= a=2c.所以所以cosAcosA= =答案答案: :- -143c2，222bca1.2bc414命题角度命题角度2:2:判断三角形的形状判断三角形的形状【典例【典例4 4】(2015(2015金华模拟金华模拟) )设设ABCABC的内角的内角A,B,CA,B,C所对的边分别为所对的边分别为a,b,ca,b,c, ,若若bcosC+ccosB=asinAbcosC+ccosB=asinA, ,且且sinsin2 2B=sinB=sin2 2C,C,则则ABCABC

24、的形状为的形状为( () )A.A.等腰三角形等腰三角形 B.B.锐角三角形锐角三角形C.C.直角三角形直角三角形 D.D.等腰直角三角形等腰直角三角形【解题提示【解题提示】由正弦定理对题中的两个等式分别变形判由正弦定理对题中的两个等式分别变形判断断. .【规范解答【规范解答】选选D.D.因为因为bcosC+ccosB=asinAbcosC+ccosB=asinA, ,所以由所以由正弦定理得正弦定理得sinBcosC+sinCcosBsinBcosC+sinCcosB=sin=sin2 2A,A,所以所以sin(B+Csin(B+C) )=sin=sin2 2A,sinA=sinA,sinA=

25、sin2 2A,sinAA,sinA=1,=1,即即A= ,A= ,又因为又因为sinsin2 2B B=sin=sin2 2C,C,所以由正弦定理得所以由正弦定理得b b2 2=c=c2 2, ,即即b=c,b=c,故故ABCABC为等腰直角三角形为等腰直角三角形. .2命题角度命题角度3:3:综合利用正、余弦定理求边长综合利用正、余弦定理求边长【典例【典例5 5】(2014(2014湖南高考湖南高考) )如图如图, ,在平面四边形在平面四边形ABCDABCD中中,AD=1,CD=2,AC= .,AD=1,CD=2,AC= .7(1)(1)求求cosCADcosCAD的值的值. .(2)(2

26、)若若cosBAD= ,sinCBAcosBAD= ,sinCBA= = 求求BCBC的长的长. .【解题提示【解题提示】利用余弦定理和正弦定理求解利用余弦定理和正弦定理求解. .71421,6【规范解答【规范解答】(1)(1)在在ADCADC中中, ,由余弦定理由余弦定理, ,得得cosCADcosCAD= = (2)(2)设设BAC=,BAC=,则则=BAD-CAD.=BAD-CAD.因为因为cosCAD= ,cosBADcosCAD= ,cosBAD= = 所以所以sinCADsinCAD= = 222ACADCD71 42 7.2AC AD72 72 777,14222 7211 co

27、sCAD1 (),772273 21sin BAD1 cosBAD1 ().1414sinsin( BADCAD)3 21 2 77213sin BADcos CADcos BADsin CAD().1471472BCACABC.sinsin CBA37AC sin2BC3.sin CBA216于是 在中，由正弦定理得，故悟悟技法技法1.1.综合利用正、余弦定理求边和角的步骤综合利用正、余弦定理求边和角的步骤(1)(1)根据已知的边和角画出相应的图形根据已知的边和角画出相应的图形, ,并在图中标出并在图中标出. .(2)(2)结合图形选择用正弦定理或余弦定理求解结合图形选择用正弦定理或余弦定理

28、求解. .提醒提醒: :在运算和求解过程中注意三角恒等变换和三角形在运算和求解过程中注意三角恒等变换和三角形内角和定理的运用内角和定理的运用. .2.2.判断三角形形状的方法判断三角形形状的方法若已知条件中有边又有角若已知条件中有边又有角, ,则则(1)(1)化边化边: :通过因式分解、配方等得出边的相应关系通过因式分解、配方等得出边的相应关系, ,从从而判断三角形的形状而判断三角形的形状. .(2)(2)化角化角: :通过三角恒等变形通过三角恒等变形, ,得出内角的关系得出内角的关系, ,从而判从而判断三角形的形状断三角形的形状. .此时要注意应用此时要注意应用A+B+C=A+B+C=这个结

29、论这个结论. .通通一类一类1.(20151.(2015湖州模拟湖州模拟) )ABCABC的内角的内角A,B,CA,B,C的对边分别的对边分别是是a,b,ca,b,c, ,若若B=2A,a=1,b= ,B=2A,a=1,b= ,则则c=c=( () )A.2A.2 B.2 B.2 C. C. D.1 D.1332【解析【解析】选选B.B.由由B=2A,B=2A,则则sinBsinB=sin2A,=sin2A,由正弦定理知由正弦定理知 即即 所以所以cosAcosA= = 所以所以A= B=2A= A= B=2A= 所以所以C=-B-A= ,C=-B-A= ,所以所以c c2 2=a=a2 2+

30、b+b2 2=1+3=4,=1+3=4,故故c=2.c=2.ab,sin Asin B1333,sin Asin Bsin2A2sin Acos A32，6，3，22.(20152.(2015安徽高考安徽高考) )在在ABCABC中中,A= ,AB=6,AC= ,A= ,AB=6,AC= 点点D D在在BCBC边上边上,AD=BD,AD=BD,求求ADAD的长的长. .343 2,【解析【解析】由余弦定理得由余弦定理得: :BCBC2 2=AB=AB2 2+AC+AC2 2-2ABACcosBAC=6-2ABACcosBAC=62 2+(3 )+(3 )2 2-2-26 63 3 coscos

31、 =90, =90,所以所以BC=3 ,BC=3 ,在在ABDABD中中, ,设设ADB=,ADB=,则则ADC=180ADC=180-,-,设设AD=x,AD=x,223410则则BD=x,DCBD=x,DC=3 -x,=3 -x,由余弦定理得由余弦定理得: :ABAB2 2=AD=AD2 2+BD+BD2 2-2ADBDcos,-2ADBDcos,即即36=2x36=2x2 2-2x-2x2 2coscos(1)(1)ACAC2 2=AD=AD2 2+DC+DC2 2-2ADDCcos(180-2ADDCcos(180-),-),即即18=x18=x2 2+(3 -x)+(3 -x)2 2

32、+2x(3 -x)cos+2x(3 -x)cos(2)(2)由由(1)(2)(1)(2)解得解得x= ,x= ,即即AD= .AD= .10101010103.(20153.(2015全国卷全国卷)在在ABCABC中中,D,D是是BCBC上的点上的点,AD,AD平分平分BAC,BAC,ABDABD是是ADCADC面积的面积的2 2倍倍. .(1)(1)求求 (2)(2)若若AD=1,DC= ,AD=1,DC= ,求求BDBD和和ACAC的长的长. .sin B.sin C22【解析【解析】(1)S(1)SABDABD= ABADsinBAD= ABADsinBAD, ,S SADCADC= A

33、CADsinCAD= ACADsinCAD, ,因为因为S SABDABD=2S=2SADCADC,BAD=CAD,BAD=CAD,所以所以AB=2AC.AB=2AC.由正弦定理可得由正弦定理可得 1212sin BAC1.sin CAB2(2)(2)因为因为S SABDABDSSADCADC=BDDC,=BDDC,所以所以BD= .BD= .在在ABDABD和和ADCADC中中, ,由余弦定理知由余弦定理知, ,ABAB2 2=AD=AD2 2+BD+BD2 2-2ADBDcosADB,-2ADBDcosADB,ACAC2 2=AD=AD2 2+DC+DC2 2-2ADDCcosADC,-2ADDCcosADC,故故ABAB2 2+2AC+2AC2 2=3AD=3AD2 2+BD+BD2 2+2DC+2DC2 2=6.=6.由由(1)(1)知知AB=2AC,AB=2AC,所以所以AC=1.AC=1.2