23函数的奇偶性与周期性.pptx

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1、2 2. .3 3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力必备知识-2-知识梳理考点自诊1.函数的奇偶性f(-x)=f(x) y轴 f(-x)=-f(x) 原点 第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力必备知识-3-知识梳理考点自诊2.函数的周期性(1)周期函数:T为函数f(x)的一个周期,则需满足条件:T0;对定义域内的任意x都成立.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个,那么这个就叫做f(x)的最小正周期.(3)周期不唯一:若T是函数y=f(x)(xR)的一个周

2、期,则nT(nZ,且n0)也是函数f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x).f(x+T)=f(x) 最小的正数 最小正数 第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力必备知识-4-知识梳理考点自诊1.函数奇偶性的四个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在x=0处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.(4)在公共定义域内有:奇奇=奇,偶偶=偶,奇奇=偶,偶偶=偶,奇偶=奇.第二章第二章2.3函数的

3、奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力必备知识-5-知识梳理考点自诊2.周期性的几个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x(其中a0,且为常数):(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a;(2)若f(x+a)= (mR且m0),则T=2a;(3)若f(x+a)=f(x-a),则T=2a;一般地,若f(x+a)=f(x-b),则T=|a+b|;(4)若f(x)的图象关于(a,0)对称,且关于x=b对称,则T=4|a-b|;(5)若f(x)的图象关于(a,0)对称,且关于(b,0)对称,则T=2|a-b|.3.对称性的四个常用结论(1)若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a-

4、x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称;(2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称;第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力必备知识-6-知识梳理考点自诊第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力必备知识-7-知识梳理考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)函数y=x2在区间(0,+)内是偶函数.()(2)偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.()(3)若函数y=f(x-2)是偶函数,则函

5、数y=f(x)的图象关于直线x=2对称.()(4)如果函数f(x),g(x)是定义域相同的偶函数,那么F(x)=f(x)+g(x)是偶函数.()(5)已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,若f(x)在(-,0)内是减函数,则f(x)在(0,+)内是增函数.()(6)若T为y=f(x)的一个周期,则nT(nZ)是函数f(x)的周期.() 第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力必备知识-8-知识梳理考点自诊2.(2019云南玉溪一中二模,理3)下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+)上单调递减的函数是()A.y=x3C.y=2|x|D.y=cos xB 第

6、二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力必备知识-9-知识梳理考点自诊3.(2019全国2,文6)设f(x)为奇函数,且当x0时,f(x)=ex-1,则当x0时,f(x)=()A.e-x-1B.e-x+1C.-e-x-1D.-e-x+1D解析:f(x)是奇函数,f(-x)=-f(x).当x0,f(-x)=e-x-1=-f(x),即f(x)=-e-x+1.故选D.第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力必备知识-10-知识梳理考点自诊4.(2019山师附中考前模拟,3)把满足条件()xR,f(-x)=f(x),()x1R,x2R,

7、使得f(x1)=-f(x2)的函数称为“D函数”,下列函数是“D函数”的有()y=x2+|x|;y=x3;y=ex+e-x;y=cos x;y=xsin x.A.1个 B.2个 C.3个D.4个B 解析:满足()()的函数是偶函数,且值域关于原点对称,满足,选B.第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力必备知识-11-知识梳理考点自诊5.(2019全国2,理14)已知f(x)是奇函数,且当x0时,f(x)=-eax.若f(ln 2)=8,则a=.-3解析:ln 2(0,1),f(ln 2)=8,f(x)是奇函数,f(-ln 2)=-8.当x0时,-x0,此时f

8、(x)=-x2+2x+1,f(-x)=x2-2x-1=-f(x);当x0,此时f(x)=x2+2x-1,f(-x)=-x2-2x+1=-f(x).故对于x(-,0)(0,+),均有f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力关键能力-14-考点1考点2考点3考点4思考判断函数的奇偶性要注意什么?解题心得判断函数的奇偶性要注意两点:(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提.(2)判断关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立.第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇

9、偶性与周期性必备知识关键能力关键能力-15-考点1考点2考点3考点4对点训练1判断函数的奇偶性:f(x)=x3-x.解:由题意知函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.因为f(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-(x3-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力关键能力函数奇偶性的应用例2(1)(2019陕西西安中学模拟)设f(x)-x2=g(x),xR,若函数f(x)为偶函数,则g(x)的解析式可以为()A.g(x)=x3B.g(x)=cos xC.g(x)=1+xD.g(x)=xex-16-考点1考点2考点

10、3考点4B 18A.3和4B.-2和5 C.6和2D.-2和2CD第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力关键能力-17-考点1考点2考点3考点4解析:(1)因为f(x)=x2+g(x),且函数f(x)为偶函数,所以有(-x)2+g(-x)=x2+g(x),即g(-x)=g(x),所以g(x)为偶函数,由选项可知,只有选项B中的函数为偶函数,故选B.第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力关键能力-18-考点1考点2考点3考点4第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力关键能力-19-考点1考点

11、2考点3考点4思考函数的奇偶性有哪几个方面的应用?解题心得1.函数奇偶性的应用主要有:利用函数的奇偶性求函数解析式;利用函数的奇偶性研究函数的单调性;利用函数的奇偶性解不等式;利用函数的奇偶性求最值等.2.已知函数的奇偶性求函数的解析式,往往要抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式,或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方程,从而可得f(x)的解析式.第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力关键能力-20-考点1考点2考点3考点4对点训练2(1)(2019河北衡水中学一模,5)已知f(x)是定义在R上的奇函数,若x0时,f(x)=xln x,则x0时,f(x)=

12、()A.xln xB.xln(-x)C.-xln xD.-xln(-x)B B 1第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力关键能力-21-考点1考点2考点3考点4解析: (1)设x0,所以f(-x)=-xln(-x).又因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)=xln(-x).故选B.第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力关键能力-22-考点1考点2考点3考点4第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力关键能力-23-考点1考点2考点3考点4函数周期性的应用例

13、3(1)(2018全国2,理12)已知f(x)是定义域为(-,+)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=()A.-50B.0C.2D.50(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数,并且f(x+2)=.若当2x3时,f(x)=x,则f(105.5)=.C2.5第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力关键能力-24-考点1考点2考点3考点4解析解析: (1)f(-x)=f(2+x)=-f(x),f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=f(x).f(x)的周期为4.f(x)为奇函数,f(0)=0.

14、f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0).f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.f(1)+f(2)+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.函数f(x)的周期为4.f(105.5)=f(427-2.5)=f(-2.5)=f(2.5).22.53,f(2.5)=2.5.f(105.5)=2.5.第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力关键能力-25-考点1考点2考点3考点4解题心得利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化为已知区间上的相

15、应问题,再进行求解.第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力关键能力-26-考点1考点2考点3考点4对点训练3(1)(2019黑龙江哈尔滨三中调研,8)函数f(x)满足对任意的实数x都有f(x+2)=-f(x),且f(1)=-1,f(2)=-2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(2 019)的值为()A.1B.-1C.2D.-2(2)已知函数f(x)是(-,+)上的奇函数,且f(x)的图象关于x=1对称,当x0,1时,f(x)=2x-1,则f(2 017)+f(2 018)的值为()A.-2B.-1C.0D.1D D 第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函

16、数的奇偶性与周期性必备知识关键能力关键能力-27-考点1考点2考点3考点4解析:(1)函数f(x)满足对任意的实数x都有f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x).f(1)=-1,f(2)=-2,f(3)=f(1+2)=-f(1)=1,f(4)=f(2+2)=-f(2)=2,f(1)+f(2)+f(3)+f(2 019)=504f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(1)+f(2)+f(3)=-1-2+1=-2.故选D.(2)由题意,f(-x)=-f(x),f(x)=f(2-x)=-f(-x),f(4-x)=-f(2-x)=f(-x),f(x)的周期为4.当x0,1时

17、,f(x)=2x-1,f(2 017)+f(2 018)=f(1)+f(2)=f(1)+f(0)=1+0=1.第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力关键能力-28-考点1考点2考点3考点4函数性质的综合应用例4(1)(2019山西晋城二模)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+5)=f(x-3),如果当x0,4)时,f(x)=log2(x+2),则f(766)=()A.3B.-3C.2D.-2(2)(2019山东聊城一模,8)设函数f(x)=+a,若f(x)为奇函数,则不等式f(x)1的解集为()A.(0,1)B.(-,ln 3)C.(0,ln 3)D

18、.(0,2)CC第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力关键能力-29-考点1考点2考点3考点4解析:(1)由f(x+5)=f(x-3),得f(x-3+8)=f(x-3),所以f(x+8)=f(x),所以f(x)是周期为8的周期函数,f(766)=f(968-2)=f(-2),f(-2)=f(2)=log24=2.第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力关键能力-30-考点1考点2考点3考点4思考解有关函数的单调性、奇偶性、周期性综合问题的策略有哪些?解题心得函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略:(1)函数单调性与奇偶性结

19、合.注意奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反.(2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行转换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解.(3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,再利用奇偶性和单调性求解.第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力关键能力-31-考点1考点2考点3考点4对点训练4(1)(2019山东济宁一模,5)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(1+x)=f(1-x),若f(1)=9,则f(2 019)=()A.-9B.9C.-

20、3 D.0AA第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力关键能力-32-考点1考点2考点3考点4解析:(1)由函数f(x)是定义在R上的奇函数,得f(-x)=-f(x),又由f(1+x)=f(1-x)=-f(x-1),所以f(x-1)=-f(x+1),由此可得f(x)=-f(x+2)=f(x+4),即函数f(x)是周期为4的周期函数,则f(2 019)=f(-1+5054)=f(-1)=-f(1)=-9.故选A.第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力关键能力-33-考点1考点2考点3考点4所以当x1时y=f(x)是减函数.又因

21、为f(x+1)为偶函数,所以y=f(x)关于直线x=1对称,所以当x1时函数y=f(x)是增函数.又因为f(3)=1,所以有f(-1)=1,当log2x1,即当0 x2时,f(log2x)1f(log2x)-1第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力关键能力-34-考点1考点2考点3考点41.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个关键点:(1)“定义域关于原点对称”是“函数f(x)为奇函数或偶函数”的必要不充分条件;(2)f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.2.奇函数、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的

22、奇偶性,有时需要将函数进行化简,或应用定义的等价形式:3.函数的奇偶性、对称性、周期性,知二断一.特别注意“奇函数若在x=0处有定义,则一定有f(0)=0;偶函数一定有f(|x|)=f(x)”在解题中的应用.第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力关键能力-35-考点1考点2考点3考点44.求函数周期的方法 第二章第二章2.3函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性必备知识关键能力关键能力-36-考点1考点2考点3考点41.判断函数的奇偶性不可忽视函数的定义域.2.函数f(x)是奇函数,必须满足对定义域内的每一个x,都有f(-x)=-f(x),而不能说存在x0,使f(-x0)=-f(x0).同样偶函数也是如此.