教案与圆有关的位置关系.pdf

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1、名师精编优秀教案与圆有关的位置关系重点、难点：1. 重点：（1）点与圆、直线与圆位置关系的判断。（2）三角形外接圆的性质。（3）切线的识别及切线性质的应用。（4）切线长定理。（ 5）三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。（6）两圆相交、相切的性质和判定。（7）圆和圆的位置关系。2. 难点：（1）直线与圆相切的性质和判定。（2）切线的判定方法：切线的性质。（ 3）要充分发挥基本图形在证、解题中的作用，正确恰当地根据基本规律来添加辅助线。两圆相交，可作公共弦。两圆相切，可作公切线。有半圆，可作整圆；有直径，可作

2、直径所对的圆周角。圆与圆要心连心，即作连心线。【知识纵览】1. 点与圆的位置关系点与圆的位置关系分为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种情况，这三种情况，与点到圆心的距离（ d） 、圆的半径（ r）之间有着紧密的联系。也就是说：点与圆的位置关系，不仅可以用图形来表现，还可以由数量关系来表示，其对应关系可简明地表示如下：图形（点与圆）的位置关系数量（ d 与 r）的大小关系点在圆内d r 点在圆上d r 点在圆外d r 2. 直线与圆的位置关系的性质与判定设 r 为圆的半径， d 为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表：位置关系相离相切相交图形名师精编优秀教案公共点个数0 1 2 数量关系dr

3、 dr dr 3. 三角形内心与外心的区别图形名称确定方法性质外心（三角形外接圆的圆心）三角 形三边垂直平分线的交点OA OBOC；外心不一定在三角形的内部内心（三角形内切圆的圆心）三角 形三个内角的平分线的交点 OD OE OF； OA、OB、OC 分别平分 BAC 、ABC 、 ACB 4. 两圆的位置关系、数量关系及识别方法设两圆的半径分别为R 和 r，圆心距（圆心间的距离）为d。位置关系图形公共点个数R、r 与 d 的关系外离0 dRr外切1 dRr相交2 RrdRr内切1 dRr名师精编优秀教案内含0 dRr上表中，两圆内含时，如果d0，则两圆同心，这是内含的一种特殊情况。【典型例题

4、】例 1. O 的半径为2.5，动点 P到定点 O 的距离为2，动点 Q 到 P 点距离为 1。问：P 点、Q 点和 O 是什么位置关系？为什么？解： PO22.5 P 点在 O 内部Q 点和 O 点的距离较复杂，如下图，需分类讨论。当 Q 点在 OP 延长线上时，则Q 点和 O 点距离最大，最大距离为213。当 Q 点在 OP 上时，则Q 点和 O 点距离最小，最小距离为211。当 Q 点处在Q1点和Q2点时，则QO2 5 .，如上图所示。综上所述， Q 点既可能在 O 上，也可能在O 外，或在 O 内。例 2. 在平面直角坐标系xOy 中，当以点O（4，3）为圆心的圆分别满足下列条件时，求

5、其半径 r 的取值范围。（1）与坐标轴有惟一交点。（2）与坐标轴有两个交点。（3）与坐标轴有三个交点。（4）与坐标轴有四个交点。解： 如下图，由题意，圆心O到 x 轴的距离dx3，到 y 轴的距离dy4。名师精编优秀教案（1） O与坐标轴有惟一公共点只可能与x 轴有惟一公共点rdx3（2）由条件知，O与 x 轴相交，但与y 轴无公共点34r（3） O与坐标轴有三个交点 O与 x 轴必相交且与y 轴必有公共点若 O与 y 轴有惟一公共点，则r4 若 O与 y 轴有两个公共点，则其中一个公共点必为原点，故r5。所求 r 的值为 r4 或 r5 （4） O与坐标轴有四个交点 O与两坐标轴都相交，且不

6、过原点 r4 且 r5 例 3. 如图所示，已知：AB 是 O 的直径， BC 是 O 的切线，切点为B。OC 平行于弦AD ，试说明： DC 是 O 的切线。解： 连结 OD 因为 OA OD，所以 1 2 又因为 AD OC，所以 1 3， 2 4 因此 3 4 而 OB OD，OC 公共，于是将OBC 沿 OC 翻折可与 ODC 重合所以 ODC OBC 又 BC 是 O 的切线，所以OBC 90名师精编优秀教案从而 ODC90， OD DC，故 DC 是 O 的切线例 4. 如图所示，已知AB、AC 分别是 O 的直径和弦， D 为劣弧AC上一点， DEAB于点 H，交 O 于 E，交

7、 AC 于点 F，P 为 ED 延长线上一点。（1）当 PCF 满足什么条件时，PC 与 O 相切，请说明理由；（2）当点 D 在劣弧AC上的什么位置时，才能使ADDEDF2。精析与解答： （1）如图所示，当PCF 为等腰三角形，PC PF时， PC 与 O 相切连结 OC，当 PCPF 时， PCF PFC DEAB ， 1 AFH 90 1 PFC90，即 1 PCF90又 OAOC， 1 2 2 PCF 90，即 PC 与 O 相切于点C （2）当 D 为劣弧AC中点时，ADDEDF2连结 AE， D 为AC中点， 3 4 又 ADF EDA ， ADF EDA ADEDDFDA，即AD

8、DEDF2例 5. 如下图， AB 是半圆 O 的直径， C 为半圆上一点，CD 切 O 于点 C，AD CD 于点 D， C 以 CD 为半径。名师精编优秀教案求证： AB 是 C 的切线。分析： 要证 AB 是 C 的切线，就是要证点C 到 AB 的距离 CECD。即要证 ACD 和ACE 全等。证明： 过点 C 作 CE AB 于点 E，连结 AC 、BC 、OC CD 是 O 的切线， AB 是 O 的直径CDOC，AC BC ， ，ACDACOACOOCBACDOCBOCBBBBACACEBACACDBACE90909090在 ACD 和 ACE 中，CDACEAACDACEACAC

9、90 ACD ACE CECD AB 是 C 的切线例 6. 如下图，设 I 与 ABC 的三边 AB、BC、AC 分别相切于点F、D、E，连结 BI、CI、ED、FD。若 A60，则 BIC_， EDF_。分析： 本题所求的两个角分别是I 的圆心角和圆周角。如果考虑用圆心角等性质来求。但条件不足，所以只能用三角形的内心性质及三角形的内角和定理来求。解： 连结 IE、IF I 是 ABC 的内切圆名师精编优秀教案，IBCABCICBACBBICIBCICB12121801801212180121801218018012120120（）（）（）ABCACBABCACBA I 分别切 AB、AC

10、于 F、E IF AB，IEAC AFI AEI 180 A EIF 180EIFAEDFEIF180180601201260例 7. 如图所示， O 半径为 R，CD 为 O 直径，以D 为圆心。 r 为半径的圆与O 相交于 A、B，BD 的延长线交D 于 E 点。求证：rRAE2证明： 本题中的 O 经过 D 的圆心，是一种特殊相交，则连接AD 。可知 AD 即为 O的弦，又为 D 的半径，两圆相交可作公共弦，连接AB，对 R、 r 进行选择，然后用三点定形找到共边型的相似三角形。连结 AD 、AB、OA 、AC ，AODCADEB22又 C B 名师精编优秀教案 AOD ADE AOD

11、与 ADE 都是等腰三角形且顶角相等它们的底角也相等，即ADO DAE AOD ADE ADAEAOAD（相似三角形对应边成比例）ADAOAE2即rRAE2例 8. 已知：如图所示，在直角梯形ABCD 中， AD BC， B90， AB8cm，AD 24cm，BC26cm，AB 为 O 的直径，动点P 从点 A 开始沿 AD 边向点 D 以 1cm/s 的速度运动，动点Q 从点 C 开始沿 CB 边向点 B 以 3cm/s 速度运动。 P、Q 分别从点A、C 同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒，求：（1）t 分别为何值时，四边形PQCD 为平行四边形？等腰梯

12、形？（2）当 t 分别为何值时，直线PQ 与 O 相切？相交？相离？精析与解答： （1）四边形PQCD 为平行四边形时，只要PDCQ 即可；四边形PQCD为等腰梯形时，则要PQCD，PD QC 当 QC PD 时，有324tt，解得 t6 当 t6s 时，四边形PQCD 为平行四边形过 P、D 分别作 BC 的垂线交BC 于 E、F（如图甲所示） ，则由等腰梯形的性质可知EFPD，QE FC2，QC PD4 3244tt，解得 t7 当 t7 时得四边形PQCD 为等腰梯形名师精编优秀教案甲（2）讨论动直线PQ 与 O 的位置关系，关键是要抓住直线PQ 与 O 相切时的情况计算出 t 的值，加

13、以分析推理可以得出PQ 与 O 相交、相离时t 的值。设运动 t s 时，直线PQ 与 O 相切于点G，过 P 作 PHBC，垂足为H（如图乙所示）乙PHAB ，BHAP 即 PH8，HQ264t 由切线长定理，得：PQAPBQttt263262由勾股定理，得：PQPHHQ222即2628264222tt得3261602tt，解得tt12238， t0 时，PQ 与 O 相交，当ts823时， Q 点运动到 B 点， P 点尚未运动到点D，但也停止运动，此时PQ 直线与 O 相交t23或 8s 时，直线PQ 与 O 相切；当023t或8823t时，直线PQ 与 O 相交；当238t时，直线PQ

14、 与 O 相离。例 9. 如图甲所示，施工工地的水平面上，有三根外径都是1 米的水泥管两两相切摞在一起，则其最高点到地面的距离是多少？名师精编优秀教案甲精析与解答：如图乙所示，连结O OO O1312，乙设O1与O2外切于点A，则O AO O312在Rt O AO13中，O OO A131112，O AO OO A31321232最高点 C 到水平面的距离CBO AAB32321例 10. 如图所示，两等圆O1和O2相交于 A、B 两点，且两圆互过圆心，过B 作任一直线，分别交O1、O2于 C、D 两点，连结AC 、AD 。（1）试猜想 ACD 的形状，并给出说明。（ 2）若已知条件中两圆不一

15、定互相过圆心，试猜想三角形的形状是怎样的？说明你的结论成立的理由。（3）若O1，O2是两个不相等的圆，半径分别为R 和 r。那么（ 2）中的猜想还成名师精编优秀教案立吗？若成立，说明理由；若不成立，那么AC 和 AD 的长与两圆半径有什么关系？说明理由。精析与解答： （1） ACD 为等边三角形理由：因为两圆是等圆，且互相过圆心，连结AOAOBOBOO O121212、则AOAOBOBOO O121212所以AO BAO B12120所以 ADB ACB 60所以 ACD 为等边三角形（2） ACD 为等腰三角形理由：因为两圆是等圆，连结AOAOBOBO1212、则AOAOBOBO1212所以

16、AO BAO B12所以 ADB ACB 所以 ACD 为等腰三角形（3）不成立，此时ACADRr如图所示， 分别作O1、O2的直径 AE 和 AF 分别交两圆于E、F 点，连结 CE、DF、AB ，则 ACE ADF 90名师精编优秀教案，ABDABCABCAECABDAECABDAFDAECAFD180180 ACE ADF ACADAEAFRrRr22【模拟试题】（答题时间： 80 分钟）一. 选择题（每小题4 分，共 24 分）1. 下列语句不正确的是（）A. 过一点可以作无数个圆B. 过两点可以作一个圆C. 过任意三点都可以作一个圆D. 过任意四个点不一定能作圆2. O 的直径是8c

17、m， 直径l和 O 相交，圆心 O 到直线l的距离是d， 则 d 应满足（）A. dcm8B. 48cmdcmC. 04cmdcmD. dcm03. 如图所示， P 是 O 外一点，自P 点向 O 引切线 PA，PB，切点为A，B，CD 切 O于 E，交 PA，PB 于 C，D，若 PA20，则 PCD 的周长为（）A. 20 B. 30 C. 3012D. 40 4. 设 ABC 的内切圆的半径为2， ABC 的周长为 4，则 ABC 的面积为（）A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 两圆半径分别为5 和 3，d 为圆心距，当28d时，两圆的位置关系是（）A. 外切B. 内切C. 外

18、离D. 相交6. 如图所示， AB ，AC 与 O 相切于点B，C， A50，点 P 是圆上异于B，C 的一动点，则 BPC 的度数是（）名师精编优秀教案A. 65B. 115C. 65或 115D. 130和 50二. 填空题（每小题2 分，共 12 分）7. 如图所示， AB是 O 的直径， AB AC ，AC 是 O 的切线， A 是切点，则B_。8. 如图所示， PA，PB 是 O 的切线， A，B 为切点， AC 是 O 的直径， P30，则CAB _。9. ABC 的内切圆 O 与 AC ，AB， BC 分别相切于点D，E，F，且 AB 4，BC8，AC 6，则 AE _，BF_，

19、CD _。10. 如图所示，已知O 是 ABC 的内切圆，与AB，BC，CA 分别相切于点D，E，F，B50， C40，则 DOF_， DEF _。名师精编优秀教案11. O 的半径为3cm，若 O与 O 外切时，圆心距为10cm，则 O与 O 内切时，圆心距为 _cm。12. 如图所示，已知Rt ABC 中， C 90，ACBC21，若以 C 为圆心， CB为半径的圆交AB 于 P，则 AP_。三. 综合题（每小题6 分，共 24 分）13. 如图所示， AB 是 O 的直径， 点 D 在 AB 的延长线上， 且 DB BO，过点 A 作弦 AC，使 CAB 30，连结DC， DC 是 O

20、的切线吗？为什么？14. 如图所示， AC 为 O 的直径， PA，PB 是 O 的切线， OP 交 AB 于点 E，交AB于点F， CAB 30， AC 8cm。求：（1） APB 的度数；（2）OP 的长；（3）PE 的长；（4） ABP 的面积。15. 如图所示，O 为 ABC 的内切圆，连结OB，OC。（1）当 B80， C30时，求 BOC；（2）当 A70时，求 BOC ；名师精编优秀教案（3）当 A时，求 BOC 。16. 如图所示， AB 是 O 的直径， BE 是 O 的切线，切点为B，点 C 为射线 BE 上一动点（点 C 与点 B 不重合），且弦 AD 平行于 OC。（1

21、）求证 CD 是 O 的切线；（2） 设 O 的半径为r， 试问：当动点 C 在射线 BE 上运动到什么位置时， 有ADr2？证明你的结论。四. 开放与交流（共10 分）17. 如图所示，在直角坐标系内，以点M（2， 0）为圆心， 3 为半径作 M。（1）分别画出当kb41，；当kb22，；当kb315，.时的图形，并判断直线ykxb与 M 的位置关系；（2）试判断直线与M 相交和 k，b 的取值是否有关，请说明理由，得出结论。名师精编优秀教案五. 思考与探究（每小题6 分，共 12 分）18. 如图所示， AB 是半圆 O 的直径， 点 M 是半径 OA 的中点，点 P 在线段 AM 上运动

22、（不与点 M 重合），点 Q 在半圆O 上运动，且总保持PQPO，过点 Q 作半圆O 的切线交BA的延长线于点C。（1） QPA60时，请你对QCP 的形状作出猜想，并给予证明；（2）当 QPAB 时， QCP 的形状是 _三角形；（3）由（ 1） ， （2）得出的结论，请进一步猜想当点P 在线段 AM 上运动到任何位置时，QCP 一定是 _三角形。19. 如下图（ 1）所示，以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，点P为切点。（1）判断 AP 与 BP 的关系，并说明理由；（2）当弦 AB 向上平移分别与小圆交于点C，D 时，如下图（ 2）所示，判断AC 与 BD的关系，并

23、说明理由。六. 回顾与预测（第2023 小题各 3 分，第 24 小题 6 分，共 18 分）20. （2003南京）阅读下面材料，然后回答问题。对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A 被这个圆所覆盖。对于平面图形A，如果存在两个或两个以上的圆，使图形 A 上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A 被这些圆所覆盖。例如：如下图所示，图（1）中的三角形被一个圆所覆盖，图（2）中的四边形被两个圆所覆盖。名师精编优秀教案（1）边长为1 cm 的正方形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是 _cm；（2） 边长

24、为 1 cm 的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖， r 的最小值是 _ cm；（3）长为 2cm，宽为 1cm 的矩形被两个半径都为r 的圆所覆盖， r 的最小值是 _ cm，这两个圆的圆心距是_ cm。21. （2004重庆）某人用如下方法测一钢管的内径：将一小段钢管竖直放在平台上，向内放入两个半径为5 cm 的钢球，测得上面的一个钢球顶部高DC16 cm（钢管轴截面如下图所示），则钢管的内直径AD 长为 _ cm。22. （2004兰州）如下图所示，圆A 的半径为 r，圆 O 的半径为 4r，圆 A 从圆上所示位置出发绕圆O 作无滑动的滚动，要使圆A 的圆心返回到原来的位置，圆A 滚动的

25、圈数是_。23. （2004海口）如下图所示，已知AOB 30， M 为 OB 边上一点，以M 为圆心，2 cm 为半径作 M，若点 M 在 OB 边上运动， 则当 OM_ cm 时，M 与 A 相切。24. （2004南京）如下图（1）所示，在矩形ABCD 中， AB 20 cm，BC4 cm，点 P从 A 开始沿折线A BCD 以 4 cm/s 的速度移动，点Q 从 C 开始沿 CD 边以 1 cm/s 的速度移动，如果P，Q 分别从 A，C 同时出发，当其中一点到达D 时，另一点也随之停止运动。设运动时间为t（s） 。（1）t 为何值时，四边形APQD 为矩形？名师精编优秀教案（2）如下

26、图（ 2）所示，如果 P 和 Q 的半径都是2 cm，那么 t 为何值时， P 和 O外切？名师精编优秀教案【试题答案】1. C 2. C 3. D 4. B 5. D 6. C 7. 458. 159. 1；3；5 10. 90； 4511. 4 12. 3313. 解： DC 是 O 的切线。理由是：如下图所示，连结CO CAB 30， COAO ACO30， COD60COBO， BCOB DB BO， DB OB BC COD 为直角三角形，OCD 90DC 是 O 的切线14. （1） APB 60（2）OP8 cm （3）PE6 cm （4）ScmABP123215. （1）125

27、； （ 2）125； （3）BOC901216. （1）提示： 如下图所示，欲证CD 是 O 的切线。由于CD 与 O 的公共点是D，故只要连结OD，再证 ODDC 即可。名师精编优秀教案（2）解： 如上图所示，当BCr时，有ADr2这是因为： BC 是 O 的切线，OBC90又，BCrOB345AD OC， A 345又 OAOD， 1 A45 AOD 90ADOAODrrr2222217. 提示：（1）图略。相交；相交；相交。（2）略18. （1）解： QCP 是等边三角形。证明过程如下：连结 OQ，则 CQOQ PQPO， QPC60 POQ PQO30CCQPCQPC90306060

28、QPC 是等边三角形（2）等腰直角（3）等腰19. 解： （1）APBP 理由是：连结OP AB 切小 O 于点 P， OPAB 又 AB 是大圆的弦，APBP （2）AC BD 理由是：过点O 作 OGAB 于点 G 可知AGBGCGDG，AGCGBGDGACBD20. （1）22； （2）33； （3）22121. 18 22. 4 23. 4 24. 解： （1）由题意知，当AP DQ，APDQ， A90时，四边形APQD 为矩形此时，420tt， t4（s）名师精编优秀教案 t 为 4 s 时，四边形APQD 为矩形（2）当 PQ4 时， P与 Q 外切如果点 P 在 AB 上运动，只

29、有当四边形APQD 为矩形时， PQ4，由（ 1）得 t4 s。如果点P在 BC 上运动，此时t5，则 CQ5，PQ CQ54， P 与 Q 外离。如果点 P 在 CD 上运动，且点P 在点 Q 的右侧，可得CQt，CPt424当CQCP4时， P与 Q 外切，此时ttts4244203，如果点 P 在 CD 上运动， 且点 P 在点 Q 的左侧， 当CPCQ4时，P 与 Q 外切。此时4244283ttts，点 P 从 A 开始沿折线ABCD 移动到 D 需要 11 s，点 Q 从 C 开始沿 CD 边移动到 D 需要 20 s，而28311当 t 为 4 s，203283ss，时， P与 Q 外切。