怀化学院省级精品课程高等代数教案第二章行列式.pdf

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1、名师精编优秀教案第二章 行列式1 引言解方程是代数中的一个基本的问题，特别是在中学所学代数中， 解方程占有重要地位 .这一章和下一章主要讨论一般的多元一次方程组，即线性方程组. 线性方程组的理论在数学中是基本的也是重要的内容. 对于二元线性方程组,22221211212111bxaxabxaxa当021122211aaaa时，此方程组有唯一解，即.,211222111122112211222112122211aaaababaxaaaabaabx我们称21122211aaaa为二级行列式，用符号表示为2221121121122211aaaaaaaa. 于是上述解可以用二级行列式叙述为：当二级行列

2、式022211211aaaa时，该方程组有唯一解，即222112112211112222112112221211,aaaababaxaaaaababx. 对于三元线性方程组有相仿的结论.设有三元线性方程组.,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa称代数式312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa为三级行列式，用符号表示为：名师精编优秀教案333231232221131211312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaa

3、aaaaaaaaaaaaaaaa. 当三级行列式0333231232221131211aaaaaaaaad时，上述三元线性方程组有唯一解，解为,332211ddxddxddx其中332312222111211333331232211311123332323222131211,baabaabaadabaabaabadaabaabaabd. 在这一章我们要把这个结果推广到n元线性方程组nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111,的情形 .为此，首先给出n级行列式的定义并讨论它的性质， 这是本章的主要内容 . 名师精编优秀教案 2 排列一、

4、排列的定义定义 1 由n,2,1组成的一个有序数组称为一个n级排列. 所有不同的n级排列共有n！个显然n12也是一个n级排列，这个排列具有自然顺序，就是按递增的顺序排起来的；其它的排列或多或少地破坏自然顺序. 定义 2 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数， 那么它们就称为一个逆序， 一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数 . 注 1）排列12nj jj的逆序数记为12()nj jj例 1(31542)5逆序有： 31，32，54， 52 ， 42 (35412)7逆序有： 31，31，54，51，52，41，42注 2）12()nj jj=1j后面比1

5、j小的数的个数 +1nj后面比1nj小的数的个数或=nj前面比nj大的数的个数 +1nj前面比1nj大的数的个数 +2j前面比2j大的数的个数例 2求n级排列(1)321n n及1 2(1)nn的逆序数解：(1)( (1)321)(1)(2)212n nn nnn(123)0n练习：求下列排列的逆序数（1）135(21)(2 )(22)42nnn（2）(2 )1(21)2(22)3(1)nnnnn解： （1）12(1)(1)21nn(1)n n（242(1)n(1)n n）（ 2）12(1)(2)21nnn2(1)(1)22n nn nn定义 3 逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排

6、列称为奇排列. 应该指出，我们同样可以考虑由任意n个不同的自然数所组成的排列，一般名师精编优秀教案也称为n级排列 .对这样一般的n级排列，同样可以定义上面这些概念. 二、排列的奇偶性把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列.这样一个变换称为一个对换.显然，如果连续施行再次相同的对换，那么排列就还原了 .由此得知，一个对换把全部n级排列两两配对， 使每两个配成对的n级排列在这个对换下互变 . 定理 1 对换改变排列的奇偶性 . 这就是说，经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列. 推论 在全部n级排列排列中，奇、偶排列的个数相等，各有2/ ! n个. 定理 2 任

7、意一个n级排列与排列n12都可以经过一系列对换互变， 并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性. 名师精编优秀教案 3 n级行列式一、n级行列式的概念在给出n级行列式的定义之前， 先来看一下二级和三级行列式的定义.我们有2112221122211211aaaaaaaa, (1) 312213332112322311322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa(2) 从二级和三级行列式的定义中可以看出，它们都是一些乘积的代数和， 而每一项乘积都是由行列式中位于不同的行和不同的列的元素构成的，并且展开式恰恰就是由所

8、有这种可能的乘积组成.另一方面，每一项乘积都带有符号.这符号是按什么原则决定的呢？在三级行列式的展开式(2)中，项的一般形式可以写成321321jjjaaa, (3) 其中321jjj是 1，2，3 的一个排列 .可以看出， 当321jjj是偶排列时 .对应的项在 (2)中带有正号，当321jjj是奇排列时带有负号 . 定义 4n级行列式nnnnnnaaaaaaaaa212222111211(4) 等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积nnjjjaaa2121(5) 的代数和，这里njjj21是n,2,1的一个排列，每一项 (5)都按下面规则带有符号；当njjj21是偶排列时， (5)带有正

9、号，当njjj21是奇排列时， (5)带有负号.这一定义可写成nnnjjjnjjjjjjnnnnnnaaaaaaaaaaaa21212121)(212222111211) 1(, (6) 名师精编优秀教案这里njjj21表示对所有n级排列求和 . 注：1）常记1112121()nnijnnnaaaaaaa或 detija 2）1112121nnnnnaaaaaa中的数ija称为行列式处于第 i 行第 j 列的元素， i 称为行指标 ，j 称为列指标3）n级行列式定义展开式中共有!n 项定义表明，为了计算n级行列式，首先作所有可能由位于不同行不同列元素构成的乘积 .把构成这些乘积的元素按行指标排

10、成自然顺序，然后由列指标所成的排列的奇偶性来决定这一项的符号. 例 1(1234)1122334412( 1)2434a a a a(654321)162534435261123( 1)6!720456a a a a a a一般地1212nnddd ddd（对角形行列式）1(1)2212( 1)n nnnddd ddd类似可得名师精编优秀教案上三角形行列式1 11 212 221 12 2000nnnnnnaaaaaa aaa（8）下三角形行列式112122112212000nnnnnnaaaa aaaaa. 这两个行列式就等于主对角线 （从左上角到右下角这条对角线）上元素的乘积.特别主对角线

11、以外的元素全为零的行列式称为对角形行列式.对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积. 练习：1）10101( 1)!10nnnn2）(1)(2)21020( 1)!10nnnn例 2已知112111( )3211121xxf xxx，求3x的系数解：由n级行列式定义，( )f x是一个x的多项式函数，且最高次幂为3x显然含3x的项有两项：(1234)11223344( 1)a a a a与(1243)11223443( 1)a a a a，即3x与32x( )f x中3x的系数为 1容易看出，当行列式的元素全是数域中的数时，它的值也是数域中的一个数. 二、行列式的性质在行列式的定义中， 为了决

12、定每一项的下正负号， 把个元素按行指标排起来 .事实上，数的乘法是交换的，因而这个元素的次序是可以任意写的，一般地，n主对角线名师精编优秀教案级行列式中的项可以写成nnjijijiaaa2211, （11）其中nnjjjiii2121,是两个n级排列 .利用排列的性质， 不难证明，(11)的符号等于)()(2121)1(nnjjjiii. (12) 按(12)来决定行列式中每一项的符号的好处在于，行指标与列指标的地位是对称的，因而为了决定每一项的符号，同样可以把每一项按列指标排起来，于是定义又可以写成nnnii iniiiiiinnnnnnaaaaaaaaaaaa21212121)(21222

13、2111211) 1(. (15) 由此即得行列式的下列性质：性质 1 行列互换，行列式不变 .即nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa212221212111212222111211. (16) 证：记右端()ijb，其中,1,2,ijjibai jn1 2121 2()12()( 1)nnni iiijiii ni iibb bb1 2121 2()12( 1)nnni iiiinii iia aa= 左端性质 1 表明，在行列式中行与列的地位是对称的，因之凡是有关行的性质，对列也同样成立 . 例如由 (8)即得下三角形的行列式nnnnnnaaaaaaaaa22112

14、1222111000.名师精编优秀教案附： 转置行列式 ：设111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa，行列式112111222212nnnnnnaaaaaaaaa称为D的转置行列式 ，记作D或TD名师精编优秀教案 4 n级行列式的性质行列式的计算是一个重要的问题，也是一个很复杂的问题. n级行列式一共有 ! n 项，计算它就需做个乘法.当n较大时，! n 是一个相当在的数字 .直接从定义来计算行列式几乎是不可能的事.因此有必要进一步讨论行列式的性质.利用这些性质可以化简行列式的计算. 在行列式的定义中，虽然每一项是n个元素的乘积，但是由于这n个元素是取自不同的行与列，所以对于某

15、一确定的行中n个元素(譬如iniiaaa,21)来说，每一项都含有其中的一个且只含有其中的一个元素.因之，n级行列式的! n 项可以分成n组，第一组的项都含有1ia，第二组的项都含有2ia等等.再分别把 i 行的元素提出来，就有ininiiiinnnnnnAaAaAaaaaaaaaaa2211212222111211(1) 其中ijA代表那些含有ija的项在提出公因子ija之后的代数和 .至于ijA究竟是哪一些项的和暂且不管， 到6 再来讨论 .从以上讨论可以知道，ijA中不再含有第 i 行的元素，也就是iniiAAA,21全与行列式中第 i 行的元素无关 .由此即得 . 性质 2 nnnni

16、niinnnnniniinaaaaaaaaakaaakakakaaaa212111211212111211这就是说， 一行的公因子可以提出去， 或者说以一数乘行列式的一行相当于用这个数乘此行列式 . 令0k，就有如果行列式中一行为零，那么行列式为零. 性质 3 名师精编优秀教案nnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaacccaaaaaabbbaaaaaacbcbcbaaa21211121121211121121221111211. 这就是说，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样. 性质 3 显然可以推广到某一行为多

17、组数的和的情形. 性质 4 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零.所谓两行相同就是说两行的对应元素都相等 . 证：设112121112112()121212( 1)ikniknnniiiniiijjjijkjnjj jjkkknnnnnaaaaaaDaaaaaaaaaaa且第 i 行与第 k 行相同，即ijkjaa，1,2,jn由于项11()1( 1)iknikniiijjijkjnjaaaa与项11()1( 1)kinkiniiijjijkjnjaaaa同时出现，且iiijkjaa，knijkjaa与除去符号外， 具有相同的数值， 但排列1ikniiij与1kiniiij相差一个一个对换，

18、具有相反的奇偶性、的符号相反，即+=0性质 5 如果行列式中两行成比例，那么行列式为零. 证：由性质 2、性质 4 即得性质 6 把一行的倍数加到另一行，行列式不变. 证：由性质 3、性质 5 即得性质 7 对换行列式中两行的位置，行列式反号. 名师精编优秀教案证：111211112112112212121212nniiinikikinknikkkknkkknnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaarraaaaaaaaaaaa性质 6111211112111121121212nnikinknkkknkiikiiniiinnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaarrrraaaaaaaaa

19、aa性质 6性质 611121121212nknkniiinnnnnaaaaaaaaaaaa例 1计算n级行列式nabbbbabbDbbabbbbba解：原式12(1)(1)(1)nanbanbanbrrrbabbbba名师精编优秀教案1111(1)babbanb bbabbbba1100000(1)(1)()0000nbabanbanbabbabbbab. 例 2 计算行列式325298201503132. 由于行列戒，上 (下)三角形行列式容易计算，因此计算行列式的一个基本方法是利用行列式的性质，把行列式化成上(下)三角形行列式进行计算 . 例 311234234134124123D102

20、34103411041210123123412341234134101130113101010160141202220044112301110004. 例 3 若n级行列式nijDa 的元素满足jiijaa，,1,2,i jn，( 反对称行列式 ) ，则当n为奇数时，0nD证：nD的每行提出1，得( 1)( 1)( 1)( 1)nnnnnijjinnDaaDD 当n为奇数时，nnDD，即0nD. 名师精编优秀教案 5 行列式的计算下面利用行列式的性质给出一个计算行列式的方法. 在 3 我们看到，一个上三角形行列式nnnnaaaaaa00022211211就等于它主对角线上元素的乘积nnaaa2

21、211这个计算是很简单的.下面我们想办法把任意的n级行列式化为上三角形行列式来计算 . 定义 5 由sn个数排成的s行(横的) n列(纵的)的表snssnnaaaaaaaaa212222111211(1) 称为一个ns矩阵. 数njsiaij,2,1,2,1,称为矩阵 (1)的元素， i 称为元素ija的行指标，j 称为列指标 .当一个矩阵的元素全是某一数域P 中的数时，它就称为这一数域 P上的矩阵 . nn矩阵也称为n级方阵 .一个n级方阵nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211定义一个n级行列式nnnnnnaaaaaaaaa212222111211称为矩阵 A的行列式，记作

22、| A. 名师精编优秀教案定义 6 所谓数域 P上矩阵的初等行变换是指下列三种变换：1）以 P中一个非零的数乘矩阵的某一行；2）把矩阵的某一行的c倍加到另一行，这里c是 P中任意一个数；3) 互换矩阵中两行的位置 . 一般说来，一个矩阵经过初等行变换后，就变成了另一个矩阵.当矩阵 A经过初等行变换变成矩阵B时，我们写成BA定义 矩阵的任一行从第一个元素起至该行的第一个非零元素所在的下方全为零；若该行全为0，则它的下面各行也全为0，这样的矩阵称为阶梯形矩阵可以证明，任意一个矩阵经过一系列初等行变换总能变成阶梯形矩阵. 现在回过来讨论行列式的计算问题.一个n级行列式可看成是由一个n级方阵 A决定的

23、，对于矩阵可以作初等行变换，而行列式的性质2，6，7 正是说明了方阵的初等行变换对于行列式的值的影响.每个方阵 A总可以经过一系列的初等行变换变成阶梯形方阵J .由行列式性质 2，6，7，对方阵每作一次初等行变换，相应地，行列式或者不变，或者差一非零的倍数，也就是0, |kJkA显然，阶梯形方阵的行列式都是上三角形的，因此是容易计算的. 例计算107825513713913152不难算出，用这个方法计算一个n级的数字行列式只需要做3323nn次乘法和除法 .特别当n比较大的时候，这个方法的优越性就更加明显了.同时还应该看到，这个方法完全是机械的， 因而可以用电子计算机按这个方法来进行行列式的计

24、算 . 对于矩阵同样可以定义初等列变换，即1）以 P中一个非零的数乘矩阵的某一列；2）把矩阵的某一列的c倍加到另一列，这里c是 P中任意一个数；名师精编优秀教案3) 互换矩阵中两列的位置 . 为了计算行列式，也可以对矩阵进行初等列变换.有时候，同时用初等行变换和列变换，行列式的计算可以更简单些. 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换. 名师精编优秀教案 6 行列式按一行 (列) 展开在4 看到，对于n级行列式，有niAaAaAaaaaaaaaaaininiiiinnnniniin,2,1,2211212111211. (1) 现在来研究这些ijA,nji,2,1,究竟是什么 . 三级行列

25、式可以通过二级行列式表示：333122211333312321123332232211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa. (2) 定义 7 在行列式nnnjninijinjaaaaaaaaa111111中划去元素ija所在的第 i 行与第 j 列，剩下的2)1(n个元素按原来的排法构成一个1n级行列式nnjnjnnnijijiinijijiinjjaaaaaaaaaaaaaaaa1,1,1, 11, 11,11 , 1,11, 11, 11 , 111, 11,111(3) 称为元素ija的余子式，记作ijM下面证明ijjiijMA) 1(.

26、 (4) 为此先证明n级行列式与1n级行列式的下面这个关系，名师精编优秀教案1,12,11, 11,222211, 11211, 11,12,11 ,121,2222111, 112111000nnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa. （5）定义 8 上面所谈到的ijA称为元素ija的代数余子式 . 这样，公式 (1)就是说，行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和 .在(1)中，如果令第 i 行的元素等于另外一行，譬如说，第k 行的元素，也就是.,2,1,iknjaakjij于是nnnknkknkninknikikaaaaaaaaAaAaAa1

27、111112211右端的行列式含有两个相同的行，应该为零，这就是说，在行列式中，一行的元素与另一行相应元素的代数余子式的乘积之和为零. 定理 3 设nnnnnnaaaaaaaaad212222111211ijA表示元素ija的代数余子式，则下列公式成立：.,0,2211ikikdAaAaAainknikik当当(6) .,0,2211jljldAaAaAanjnljljl当当(7) 用连加号简写为名师精编优秀教案;,0,1ikikdAaisksns当当.,0,1jljldAasjslns当当证：111211212000000niiinnnnnaaaDaaaaaa120000000iiinaaa

28、1122iiiiinina Aa Aa A，1122kikiknina AaAa A111111( )0( )nkknkknnnnaaaaiaakaa在计算数字行列式时，直接应用展开式(6)或(7)不一定能简化计算，因为把一个n级行列式的计算换成n个(1n)级行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用公式(6)或(7)才有意义 .但这两个公式在理论上是重要的 . 例 1 计算行列式0532004140013202527102135例 2 行列式名师精编优秀教案113121122322213211111nnnnnnnaaaaaaaaaaaad(8) 称为n级的范

29、德蒙德 (Vandermonde) 行列式 .证明对任意的)2(nn，n级范德蒙德行列式等于naaa,21这n个数的所有可能的差)1(nijaaji的乘积 . 用连乘号，这个结果可以简写为nijjinnnnnnnaaaaaaaaaaaaaa111312112232221321)(1111. 由这个结果立即得出， 范德蒙德行列式为零的充要条件是naaa,21这n个数中至少有两个相等 . 证：数学归纳法012n时，211211aaaa02假设对于1n级范德蒙行列式结论成立2112221211212121111000nnnnnnnnnaaaaDaa aaa aaa aaa a222211222211

30、()()nnnnnnaaaaaaaaaa2112()()()nijji naaaaaa1()ijjinaa例 3 证明名师精编优秀教案rrrrkkkkrrrrkrrkkkkkbbbbaaaabbccbbccaaaa111111111111111111110000例123123123123aaafbbbfDcccfdddf，求11213141AAAA（）例1513123311232234D，求41424344AAAA15131233(14)11232234名师精编优秀教案 7 克拉默 (Cramer)法则现在应用行列式解决线性方程组的问题.在这里只考虑方程个数与未知量个数相等的情形 . 定理 4

31、 如果线性方程组nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111,(1) 的系数矩阵nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211(2) 的行列式0| Ad那么线性方程组 (1)有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为ddxddxddxnn,2211, (3) 其中jd是把矩阵 A中第 j 列换成常数项nbbb,21所成的矩阵的行列式，即.,2,1,1,1,121, 221,22111,111,111njaabaaaabaaaabaadnnjnnjnnnjjnjjj(4) 定理中包含着三个结论： 1）方程组有解； 2）解是唯一的；

32、 3）解由公式 (3)给出.这三个结论是有联系的，因此证明的步骤是：1. 把),(21ddddddn代入方程组，验证它确是解. 2. 假如方程组有解，证明它的解必由公式(3)给出. 证 明 ： 验 证12(,)nDDDDDD为 ( ) 的 解 方 程 组 （ ） 可 写 成1,1,2, .nijjija xb in名师精编优秀教案把12(,)nDDDDDD代入()的第 i 个方程 : 左端111111jnnnnDijijjijssjDjjjsaa Dab ADD1111111nnnnijssjsijijiijssia b Aba ADbbDDD=右端，1,2, .in所以12(,)nDDDDD

33、D为()的解 ; 验证解唯一设12(,)nc cc为(1)的一个解，于是有1,1 , 2 ,.ni jjija cbin(5) 用系数行列式 D 中第 j 列元素的代数余子式12,jjnjAAA依次乘以 (5)中 n个等式，再把它相加，得111111()()()nnnnssjsjsjjsnsjnssjssssa Aca Aca Acb A即jjDcD所以,1,2, .jDjDcjn12(,)nDDDDDD为()的唯一解注：()的系数行列0D时，()有解且只有唯一解； 若()无解或有两个不同的解，则()的系数行列式0D定理 4 通常称为克拉默法则 . 例 1 解方程组.0674,522,963,

34、85243214324214321xxxxxxxxxxxxxx应该注意，定理 4 所讨论的只是系数矩阵的行列式不为零的方程组，它只能应用于这种方程组； 至于方程组的系数行列式为零的情形，将在下一章的一般情形中一并讨论 . 常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组 .显然齐次方程组总是有解的，因为)0,0,0(就是一个解，它称为零解.对于齐次线性方程组，我们关心的问题常常是，它除了零解以外，还有没有其它解，或者说，它有没有非零解.名师精编优秀教案对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组，应用克拉默法则就有定理 5 如果齐次线性方程组0,0,0221122221211212111nnnnnn

35、nnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa(10) 的系数矩阵的行列式0| A，那么它只有零解 .换句话说， 如果方程组 (10)有非零解，那么必有0| A. 例 2：问取何值时，齐次线性方程组1231213(5)2202(6)02(4)0 xxxxxxx有非零解 ? 解: 522260(5)(2)(8)204D当2,5,8时，0D，方程组有非零解克拉默法则的意义主要在于它给出了解与系数的明显关系，这一点在以后许多问题的讨论中是重要的.但是用克拉默法则进行计算是不方便的，因为按这一法则解一个n个未知量n个方程的线性方程组就要计算1n个n级行列式，这个计算量是很大的 . 名师精编优秀教案8 拉普

36、拉斯 (Laplace)定理 行列式的乘法规则一、拉普拉斯定理定义 9 在一个n级行列式 D 中任意选定 k 行k 列(nk)， 位于这些行和列的交点上的2k个元素按照原来的次序组成一个k 级行列式 M ，称为行列式 D 的一个 k 级子式 .在 D 中划去这 k 行 k 列后余下的元素按照原来的次序组成的kn级行列式 M 称为 k 级子式 M 的余子式 . 从定义立刻看出，M 也是 M 的余子式 .所以 M 和 M 可以称为 D 的一对互余的子式 . 例 1 在四级行列式3100120012104121D中选定第一、三行，第二、四列得到一个二级子式M ：1042M, M 的余子式为1020M

37、. 例 2 在五级行列式555453525125242322211514131211aaaaaaaaaaaaaaaD中454342252322151312aaaaaaaaaM和54513431aaaaM是一对互余的子式 . 名师精编优秀教案定 义10 设 D 的 k 级 子 式 M 在 D 中 所 在 的 行 、 列 指 标 分 别 是kkjjjiii,;,2121，则 M 的余子式 M 前面加上符号)()(2121)1(kkjjjiii后称做 M 的代数余子式 . 因为 M 与 M 位于行列式 D 中不同的行和不同的列，所以有下述引理 行列式 D 的任一个子式 M 与它的代数余子式A 的乘积

38、中的每一项都是行列式 D 的展开式中的一项，而且符号也一致. 定理 6(拉普拉斯定理 ) 设在行列式 D 中任意取定了 k (11nk)个行 .由这 k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D . 例 3 利用拉普拉斯定理计算行列式1310310112104121D从这个例子来看，利用拉普拉斯定理来计算行列式一般是不方便的.这个定理主要是理论方面的应用. 二、行列式的乘积法则定理 7 两个n级行列式nnnnnnaaaaaaaaaD2122221112111和nnnnnnbbbbbbbbbD2122221112112的乘积等于一个n级行列式nnnnnnccccccc

39、ccC212222111211, 名师精编优秀教案其中ijc是1D的第 i 行元素分别与2D的第 j 列的对应元素乘积之和：nkkjiknjinjijiijbabababac12211. 这个定理也称为行列式的乘法定理.它的意义到第四章 3 中就完全清楚了 . 名师精编优秀教案第二章行列式 ( 小结) 一、行列式理论1. n级排列(1) 基本概念 : 排列, 反序, 反序数 , 排列的奇偶性(2) 主要结论n级排列共有!n个, 其中奇偶排列各占一半对换改变排列的奇偶性任意一个n级排列都可以经过一些对换变成自然顺序, 并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性2. n级行列式的概念其中的所有排列

40、求和表示对的一个排列是nnjjjnjjjn, 2, 1,2, 121213. 行列式的性质(1) 有关行列式的转置行列互换 , 行列式不变(2) 有关行 ( 列) 的变换互换行 (列), 行列式反号用一个数乘某行 ( 列), 就等于用这个数乘这个行列式把某行 (列)的倍数加到另一行 ( 列), 行列式不变(3) 有关按行 (列)分解为两个行列式的和如果某行 ( 列) 是两组数的和 , 那么行列式可以写成两个行列式的和, 这两个行列式的这一行 (列) 分别是第一组数与第二组数, 而其它各行 ( 列) 都与原行列式相同(4) 有关行列式等于零两行( 列) 成比例 , 行列式等于零nnnjjjnjj

41、jjjjnnnnnnaaaaaaaaaaaa21212121(212222111211)1(）名师精编优秀教案4. 行列式依行依列展开(1) 基本概念 : 子式, 余子式 , 代数余子式(2) 主要公式nlltlsnkjkiktstsDAajijiDAa11.,0;,.,0;,5. 克拉默规则若线性方程组nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111的行列式0D , 则它有唯一解njDDxjj,2,1,其中jD是把 D 的第 j 列换成常数项nbbb,21所得的行列式二、行列式计算方法1. 定义法2. 化为三角形行列式的方法3. 化为范得

42、蒙行列式的方法4. 拆行( 列) 法5. 降级法6. 加边法7. 数学归纳法8. 递推法9. 因式分解法本章主要内容的内在联系 : 名师精编优秀教案重点行列式的计算难点行列式概念 , 行列式的展开定理及用定义证明行列式性质3. 化为范得蒙行列式的方法例 1 计算行列式nnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxD21222212222121111解作如下行列式 , 使之配成范德蒙行列式nnnnnnnnnnnnnnnnnyxxxyxxxyxxxyxxxyxxxyP21111211222221222221211111)( = nijjiniixxxy11)()(易 知nD等 于)(yP中1ny的

43、 系 数 的 相 反 数 , 而)(yP中1ny的 系 数 为nijjinkkxxx11)( , 因此, 行列式性质行列式的概念行列式依行依列展开n 级排列克拉默规则名师精编优秀教案nknijjiknxxxD11)( . 4. 拆行( 列) 法例 2 计算行列式xyxzyzzyxzyxD222. 解：)()()(222222)1()3(22222)1)()3(yzxzxyxzyzxyxzyzxyzxzyzxyyxzyzxyxzyxzyxxyzyzxzyzyyzxzxyzyxzyxDxzy. 5. 降级法例 3 计算行列式000000000000D. 解：易得11)1(nnnD. 6. 加边法例

44、 4 计算行列式nnaaaaD1111111111111111321. 解：名师精编优秀教案.)11 (00000000011111001001001111111101110111011112112110,2, 12121nniinniianinnnaaaaaaaaaaaaaaDi而当021naaa时可分只有一个因子为零或至少有两个因子为零可得同样的结果 . 7. 数学归纳法例 5 计算行列式cos210001cos200000cos210001cos210001cosnD. 解：2cos,cos21DD, 于是猜想nDncos. 证明：对级数用第二数学归纳法证明. 1n时, 结论成立 . 假

45、设对级数小于n时，结论成立 . 将n级行列式按第n行展开，有名师精编优秀教案nnnnnnnDDDDnnnnnnnncos)1cos(sin) 1sin(cos) 1cos() 1cos(cos2)2cos() 1() 1cos(cos2) 1(cos2110000cos200000cos210001cos210001cos)1(cos21221211121. 8. 递推法：利用已给行列式的特点，建立起同类型的n级行列式和1n级或更低级行列式之间的关系式，称为递推公式. 例 6 计算行列式10000000010001000nD. 解：将行列式按第n列展开 , 有21)(nnnDDD, ),(),

46、(211211nnnnnnnnDDDDDDDD得nnnnnnDDDDDD)()(1223221。同理得nnnDD1, .,;,)1(11nnnnnD例 7计算名师精编优秀教案ayyyxayyxxayxxxaDn解111)()(1010010001)(000nnnnxayDyaxaxyxyxaxyxayDyaayyyxayyxxayxxxyayyxayxxaxxxyaD同理11)()(nnnyaxDxaD联立解得)( ,)(yxyxxayyaxDnnn）当yx时, xnaxaxaxnDxaxaxDxaxaxDxaDnnnnnnnn) 1()()()2()()(2)()()(1122122119.

47、 因式分解法如果行列式 D 是某个变数x的多项式)(xf，可对行列式施行某些变换，求出)(xf的 互 不 相 同 的 一 次 因 式 ， 设 这 些 一 次 因 式 的 乘 积 为)(xg， 则)()(xcgxfD，再比较)(xf与)(xg的某一项的系数，求出c值. 名师精编优秀教案例 8计算行列式1321321311321xnxnxnDn. 解: 注意1x时，,0nD所以，nDx|1. 同理)1(,2nxx均为nD的因式又ix与)(jijx各不相同所以nDnxxx|) 1()2)(1(但nD的展开式中最高次项1nx的系数为 1，所以)1()2)(1(nxxxDn注：此题也可将的第行减去第一行化为三角形行列式计算.