人教版数学七年级上册全册单元试卷中考真题汇编[解析版].pdf

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1、人教版数学七年级上册全册单元试卷中考真题汇编人教版数学七年级上册全册单元试卷中考真题汇编 解析版解析版 一、初一数学上学期期末试卷解答题压轴题精选（难）一、初一数学上学期期末试卷解答题压轴题精选（难）1如图 AB CD，点 H 在 CD 上，点 E、F 在 AB 上，点 G 在 AB、CD 之间，连接 FG、GH、HE，HGHE，垂足为 H，FGHG，垂足为 G.（1）求证： EHC+ GFE=180.（2）如图 2，HM 平分 CHG，交 AB 于点 M，GK 平分 FGH，交 HM 于点 K，求证： GHD=2 EHM.（3）如图 3，EP 平分 FEH，交 HM 于点 N，交 GK 于点

2、 P，若 BFG=50,求 NPK 的度数.【答案】 （1）解： HGHE，FGHG FG EH， GFE+ HEF=180， AB CD BEH= CHE EHC+ GFE=180（2）解：设 EHM=x， HGHE， GHK=90-x, MH 平分 CHG， EHC=90-2x， AB CD HMB=90-x， HMB= MHG=90-x， AB CD， BMH+ DHM=180，即 BMH+ GHM+ GHD =180， 90-x+90-x+ GHD =180，解得， GHD =2x， GHD=2 EHM；（3）解： 延长 FG，GK，交 CD 于 R，交 HE 于 S，如图， AB C

3、D， BFG=50 HRG=50 FGHG， GHR=40， HGHE， EHG=90， CHE=180-90-40=50， AB CD, FEH= CHE=50， EP 是 HEF 的平分线， SEP= FEH=25， GH 平分 HGF， HGS= HGF=45, HSG=45， SEP+ SPE= HSP=45， EPS=20，即 NPK=20.【 解 析 】 【 分 析 】 （ 1 ） 根 据HGHE ， FGHG可 证 明FG EH ， 从 而 得 GFE+ HEF=180，再根据 AB CD 可得 BEH= CHE,进而可得结论；（2）设 EHM=x，根据 MH 是 CHG 的平分

4、线可得 MHG=90-x， EHC=90-2x，根据平行线的性质得 HMB=90-x，从而得 HMB= MHG，再由平行线的性质得 BMH+ DHM=180，从而可得结论；（3）分别延长 FG，GK，交 CD 于 R，交 HE 于 S，由 AB CD 得 HRG=50，由FGHG 得 GHR=40，由 MH 平分 CHG 得 CHE=50，由 AB CD 得 MEH= CHE=50，可得 SEP=25，最后由三角形的外角可得结论.2已知：O 是直线 AB 上的一点，是直角，OE 平分（1）如图 1若（2）在图 1 中，求，直接写出的度数；的度数（用含 a 的代数式表示）；（3）绕顶点 O 顺时

5、针旋转至图 2 的位置，探究和的度数之间的将图 1 中的【答案】 （1）解：是直角， OE 平分，关系写出你的结论，并说明理由（2）解：是直角， OE 平分，（3）解：理由是：，OE 平分，即，【解析】【分析】（1）根据平角的定义得出 BOD， COB 的度数，根据角平分线的定义得出 BOE= BOC=75 ，根据角的和差，由 DOE= BOE BOD 即可算出答案；（2）根 据平 角的 定义得 出 BOD90a ， COB180a ，根据 角平 分线 的定义 得出 BOE= BOC=90 a，根据角的和差，由 DOE= BOE BOD 即可算出答案；（3） AOC=2 DOE ，根据平角的定

6、义得出 BOC=180 AOC，根据角平分线的定义得出 BOE= BOC=90 AOC，根据角的和差得出 BOD=90 BOC=90(180 AOC)= AOC90 ， DOE= BOD+ BOE，再整体替换即可得出答案。3定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角如图1，若 COD= AOB，则 COD 是 AOB 的内半角（ 1 ） 如 图 1 ， 已 知 AOB=70 ， AOC=25 ， COD 是 AOB 的 内 半 角 ， 则 BOD=_（2）如图 2，已知 AOB=60，将 AOB 绕点 O 按

7、顺时针方向旋转一个角度口(0a60)至 COD，当旋转的角度 a 为何值时， COB 是 AOD 的内半角（3）已知 AOB=30，把一块含有 30角的三角板如图 3 叠放，将三角板绕顶点 O 以 3 度秒的速度按顺时针方向旋转(如图 4)，问：在旋转一周的过程中，射线OA，OB，OC，OD能否构成内半角，若能，请求出旋转的时间；若不能，请说明理由【答案】 （1）10（2）解： AOB 绕点 O 按顺时针方向旋转一个角度口(0a60)至 COD， AOB= COD=60 AOC= BOD=a a+ COB=60 COB 是 AOD 的内半角 COB= AOD 2 COB= COB+2a COB

8、=2a a+2a=60解之：a=20即当旋转的角度 a 为 20时， COB 是 AOD 的内半角。（3）解： 在旋转一周的过程中，射线OA，OB，OC，OD 能否构成内半角，理由：设按顺时针方向旋转一个角度，旋转的时间为 t如图 1 BOC 是 AOD 的内半角， AOC= BOD= AOD=30+， BOC= AOD=30- （30+）=30-解之：=10 t=s；如图 2 BOC 是 AOD 的内半角， AOC= BOD= AOD=30+， BOC= AOD=-30 （30+）=-30解之：=90 t=30s；如图 3 AOD 是 BOC 的内半角， AOC= BOD=360- BOC=

9、360+30-， AOD= BOC=360-30 （360+30-）=360-30解之：=330 t=如图 4=110s； AOD 是 BOC 的内半角， AOC= BOD=360- BOC=360+30-， （360+30-）=30+30-（360+30-）解之：=350 t=s；s 或 30s 或 110s 或s 时，射线 OA，OB，OC，OD 能构成内综上所述，当旋转的时间为半角。【解析】【解答】解：（1） AOB=70， AOC=25 BOC= AOB- AOC=70-25=45， COD 是 AOB 的内半角， COD= AOB= 70=35 BOD= COB- COD=45-35

10、=10故答案为：10【分析】（1）由题意可求出 BOC 的度数，再根据 COD 是 AOB 的内半角，就可求出 COD 的度数，然后利用 BOD= COB- COD，可求解。（2）利用旋转的性质，可证得 AOC= BOD=a，再由 COB 是 AOD 的内半角，可得到 COB= AOD，就可得到 COB=2a，然后根据 a+ COB=60，就可求出旋转角的度数。（3）分情况讨论，分别画出图形，设按顺时针方向旋转一个角度 ，旋转的时间为 t，根据 图 1可 得 到 AOC= BOD= ， 根 据 内 半 角 的 定 义 ， 可 得 到 AOD=30+ ， BOC= AOD=30-，再建立关于 的

11、方程，就可求出 和 t 的值；由图2 由 BOC= AOD=-30及 AOD=30+，建立方程求出 和 t 的值即可；根据图 3，利用内半角的定义，可知 AOD 是 BOC 的内半角， BOC=360+30-， AOD= BOC=360-30，建立关于 的方程，求出 和 t 的值；如图 4，利用内半角的定义，建立关于 的方程，求出 的值，再求出 t 的值即可。4如图， AOB， COD（），OC 与 OB 重合，OD 在 AOB 外，射线 OM、ON 分别是 AOC、 BOD 的角平分线.（1）若 100，60，则 MON 等于多少；在的条件下 COD 绕点 O 逆时针旋转 n（0n100（且

12、 n60）时，求 MON 的度数；（2）直接写出 COD 绕点 O 逆时针旋转 n（0n360）时 MON 的值（用含 、 的式子表示）.【答案】 （1）解： OM，ON 分别是 AOC， BOD 的角平分线， BOM AOB， BON BOD， MON（ AOB+ BOD），又 AOB100， COD60， MON（ AOB+ BOD） （100+60）80.如图 1， COD 绕点 O 逆时针旋转 n， BOCn， BOD60n， AOC100n， OM，ON 分别是 AOC， BOD 的角平分线， COM AOC50 n， BON BOD30 n， MON COM+ COB+ BON80

13、；如图 2， COD 绕点 O 逆时针旋转 n， BOCn， BODn60， AOC100n， OM，ON 分别是 AOC， BOD 的角平分线， COM AOC50 n， DON BOD n30， MON COM+ COD+ DON80（2）解： OM 为 AOD 的平分线，ON 为 BOC 的平分线， AOB， COD， MON（+）或 180（+）；【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义求出 BOM 和 CON 的度数，然后相加即可得出答案；根据旋转的性质可知 BOC=n，分两种情况进行讨论：如图 1， BOD60n， AOC100n，根据角平分线的定义得出 COM 和 BON 的度数

14、，然后根据 MON COM+ COB+ BON 进行计算即可得出结论；如图2， BODn60， AOC100n，根据角平分线的定义得出 COM 和 BON 的度数，然后根据 MON COM+ COD+ BON 进行计算即可得出结论；（2）根据、的解题思路即可得到结论.5已知 AOB=120， COD=40，OM 平分 AOC，ON 平分 BOD(图中的角均大于 0且小于 180)（1）如图 1，求 MON 的度数；（2）若 OD 与 OB 重合，OC 从图 2 中的位置出发绕点 O 逆时针以每秒 10的速度旋转，同时 OD 从 OB 的位置出发绕点 O 顺时针以每秒 5的速度旋转，旋转时间为t

15、 秒当当时，试确定 BOM 与 AON 的数量关系；且时，若又 OM 平分，ON 平分，则 t=_.【答案】 （1）解：设（2）解：由题意将 t 分为以下两段：当此时有时，当此时有综上，所求的或时，与或的数量关系为： .【解析】【解答】（2）根据图中的角均小于当 OC 恰好转到 OA 的位置时，即置时，即，需作以下几方面的讨论：；当 OC 与 OD 恰好转到共线的位置时，；当 OC 与 OD 转到使 OM 与 ON 恰好共线的位，即；当 OC 与 OD 恰好重合时，下面据此将 t 的取值范围逐一分段：1）当时，代入得：解得2）当代入时，得：解得（舍）3）当代入时，得：解得（舍） 或4）当时，代

16、入5）当得：解得（舍）时，代入综上，所求的 t 的值为：【分析】（1）设平分线的定义得和得：或，则可得，再根据或 .和，根据角即可得；（2）解得当以发现当时，由题意可得时，两段，分别计算大于，因此需要将t 分成，以保证其符合题意小于，可和，从而确定在两段内是否，代入和大于的数量关系；根据图中的角均小于，首先要分 OC 是否转过 OA；和再分 OC 与 OD 是否转到共线的位置；然后分角平分线OM 与 ON 是否共线，即；最后分 OC 与 OD 是否重合；计算各个情形的下即可计算出 t 的值.6如图 1，直线，的平分线交于点（1）求证：（2）如图 2，过点作关系，并证明你的猜想；（3）如图 3，

17、在（2）的条件下，点，将，求【答案】 （1）证明:又评分， .为， .的外角，即延直线，的平分线交延长线于点，为延长线上一翻折，所得直线交于，交于，若；于点，交于点，探究与之间的数量的度数（2）解：又（3）解：如图，根据折叠的性质，在， .中，为等腰直角三角形，【解析】【分析】（1）根据平行线的性质定理得到内错角相等，再根据角平分线的性质，即可得到等角.（2）根据平行与垂直的性质，可得，而为的的度外角，根据三角形的外角定理即可解答.（3）根据题目中已给的数量关系， 求数可转化为先求关系转移到中，结果证明它是个等腰直角三角形，如此可解.的度数，根据折叠的性质和平行线的性质，可将多个角的复杂数量7

18、探究题学习完平行线的性质与判定之后，我们发现借助构造平行线的方法可以帮我们解决许多问题。（1）小明遇到了下面的问题：如图1，l1 l2， 点 P 在 l1、l2内部，探究 A， APB， B的关系小明过点P 作 l1的平行线，可证 APB， A， B 之间的数量关系是： APB=_（2）如图 2，若 AC BD，点 P 在 AB、CD 外部， A， B， APB 的数量关系是否发生变化？请你补全下面的证明过程.过点 P 作 PE AC. A=_ AC BD _ _ B=_ BPA= BPE- EPA _（3）随着以后的学习你还会发现平行线的许多用途.试构造平行线解决以下问题：已知：如图 3，三

19、角形 ABC，求证： A+ B+ C=180.【答案】 （1） APB= A+ B（2） 1；PE；BD； EPB； APB= B - 1（3）证明：过点 A 作 MN BC B= 1 C= 2 BAC+ 1+ 2=180 BAC+ B+ C=180【解析】【解答】解：(1)如图：由平行线的性质可得： 1= A, 2= B, 1+ 2= A+ B即 APB= A+ B解：过点 P 作 PE AC. A= 1 AC BD PE BD B= EPB APB= BPE- EPA APB= B - 1【分析】根据图形做出平行辅助线，探究角度关系。此类做辅助线的方法变式多，是考试热点问题。8综合题（1）

20、问题引入如图，在 ABC 中，点 O 是 ABC 和 ACB 平分线的交点，若 A，则 BOC_（用 表示）；拓展研究如图， CBO ABC， BCO ACB， A，试求 BOC 的度数_（用 表示）.归纳猜想若 BO、CO 分别是 ABC 的 ABC、 ACB 的 n 等分线，它们交于点 O， CBO ABC ， BCO ACB ， A，则 BOC_（用 表示）.（2）类比探索特例思考如图， CBO DBC， BCO ECB， A，求 BOC 的度数_（用 表示）.一般猜想若 BO、CO 分别是 ABC 的外角 DBC、 ECB 的 n 等分线，它们交于点 O， CBO DBC， BCO E

21、CB， A，请猜想 BOC_（用 表示）.【答案】 （1）90 ；120 ；（2）120 ； .【解析】【解答】（1）90 ；如图， CBO ABC， BCO ACB， A， BOC180（ ABC ACB）180（180 A）180（180 ）18060 120 ；（ 2 ）如图， CBO DBC ， BCO ECB ， A， BOC180（ DBC ECB）180 360（ ABC ACB）180 360（180 A）180（180 ）18060 120 .； .【分析】（1）根据角平分线的定义，可得出 CBO= ABC， OCB= ACB，可得出 CBO+ OCB= （180- A），再

22、在 COB 中，利用三角形内角和定理得出BOC=180（CBO+OCB），即可得出结果；根据 CBO= ABC， OCB= ACB，可得出 CBO+ OCB= （180- A），再在 COB 中，利用三角形内角和定理得出BOC=180（CBO+OCB），即可得出结果；根据 CBO= ABC， OCB= ACB，可得出 CBO+ OCB= （180- A），再在 COB 中，利用三角形内角和定理得出BOC=180（CBO+OCB），即可得出结果。（2） 根 据 CBO= DBC ， OCB= ECB ， 可 得 出 CBO+ OCB=180-（ DBC+ ECB），再根据平角的定义BOC=180

23、360（ABC+ACB）】，化简即可得出结果；根 据 CBO= DBC ， OCB= ECB ， 可 得 出 CBO+ OCB=180-（ DBC+ ECB），再根据平角的定义BOC=180360（ABC+ACB）】，化简即可得出结果。9在直角坐标系中，已知点 A（a，0），B（b，c），C（d，0），a 是-8 的立方根，方程2x3b-5-3y2b-2c+5=1 是关于 x，y 的二元一次方程，d 为不等式组的最大整数解（1）求点 A、B、C 的坐标；（2）如图 1，若 D 为 y 轴负半轴上的一个动点，当 AD BC 时， ADO 与 BCA 的平分线交于 M 点，求 M 的度数；（3）如

24、图 2，若 D 为 y 轴负半轴上的一个动点，连 BD 交 x 轴于点 E，问是否存在点 D，使 S ADES BCE？若存在，请求出 D 的纵坐标 yD的取值范围；若不存在，请说明理由【答案】 （1）解：-8 的立方根是-2， a=-2，方程 2x3b-5-3y2b-2c+5=1 是关于 x，y 的二元一次方程，解得，不等式组，的最大整数解是 5，则 A（-2，0）、B（2，4）、C（5，0）（2）解：作 MH AD， AD BC， MH BC， AOD=90， ADO+ OAD=90， AD BC， BCA= OAD， ADO+ BCA=90， ADO 与 BCA 的平分线交于 M 点，

25、ADM= ADO， BCM= BCA， ADM+ BCM=45， MH AD，MH BC， NMD= ADM， HMC= BCM， M= NMD+ HMC= ADM+ BCM=45；（3）解：存在，连 AB 交 y 轴于 F，设点 D 的纵坐标为 yD， S ADES BCE， S ADE+S ABES BCE+S ABE， 即 S ABDS ABC， A（-2，0），B（2，4），C（5，0）， S ABC=14，点 F 的坐标为（0，2），S ABD= （2-yD）2+ （2-yD）2=4-2y，由题意得，4-2yD14，解得，yD-5， D 在 y 轴负半轴上， yD0， D 的纵坐标

26、yD的取值范围是-5yD0【解析】【分析】（1）根据立方根的概念、二元一次方程组的定义、一元一次不等式组的解法分别求出 a、b、c、d，得到点 A、B、C 的坐标；（2）作 MH AD，根据平行线的性质 得 到 BCA= OAD ， 得 到 ADO+ BCA=90 ， 根 据 角 平 分 线 的 定 义 得 到 ADM+ BCM=45，根据平行线的性质计算即可；（3）连 AB 交 y 轴于 F，根据题意求出点 F 的坐标，根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可10如图，已知 AB CD， A40点 P 是射线 AB 上一动点(与点 A 不重合)，CE、CF 分别平分 ACP 和 DCP 交射

27、线 AB 于点 E、F（1）求 ECF 的度数；（2）随着点 P 的运动， APC 与 AFC 之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由；（3）当 AEC ACF 时，求 APC 的度数【答案】 （1）解： AB CD ， A+ ACD=180， ACD=18040=140 CE 平分 ACP ， CF 平分 DCP ， ACP=2 ECP ， DCP=2 PCF ECF= ACD=70（2）解：不变.数量关系为： APC=2 AFC AB CD ， AFC= DCF ， APC= DCP CF 平分 DCP ， DCP=2 DCF ， APC=2 AFC（3）解

28、： AB CD ， AEC= ECD当 AEC= ACF 时，则有 ECD= ACF ， ACE= DCF PCD= ACD=70 APC= PCD=70【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质，得出 ACD=120，再根据 CE、CF 分别平分 ACP 和 DCP，即可得出 ECF 的度数；（ 2）根据平行线的性质得出 APC= PCD， AFC= FCD，再根据 CF 平分 PCD，即可得到 PCD=2 FCD 进而得出 APC=2 AFC；（3）根据 AEC= ECD， AEC= ACF，得出 ECD= ACF，进而得到 ACE= FCD，根据 ECF=70， ACD=140，可求得 A

29、PC 的度数11如图(1)，AB CD，在 AB、CD 内有一条折线 EPF.（1）求证： AEP+ CFP= EPF.（2）如图(2)，已知 BEP 的平分线与 DFP 的平分线相交于点 Q，试探索 EPF 与 EQF之间的关系.（3）如图(3)，已知 BEQ= BEP， DFQ= DFP，则 P 与 Q 有什么关系，说明理由.（4）已知 BEQ= BEP， DFQ= DFP，则 P 与 Q 有什么关系.(直接写结论)【答案】 （1）证明：如图 1,过点 P 作 PG AB, AB CD， PG CD， AEP= 1， CFP= 2，又 1+ 2= EPF， AEP+ CFP= EPF（2）

30、解：如图 2由(1)，可得 EPF= AEP+CFP， EQF= BEQ+ DFQ， BEP 的平分线与 DFP 的平分线相交于点 Q， EQF= BEQ+ DFQ（3）解：如图 3,，由(1)，可得 P= AEP+CFP， Q= BEQ+ DFQ， Q= BEQ+ DFQ（4）解：由(1)，可得 P= AEP+CFP， Q= BEQ+ DFQ， Q= BEQ+ DFQ【解析】【分析】（1）如图 1,过点 P 作 PG AB,根据两直线平行，内错角相等，可得 AEP= 1， CFP= 2，从而可得 AEP+ CFP= EPF.（2）由(1)，可得 EPF= AEP+CFP， EQF= BEQ+

31、 DFQ，利用角平分线的定义 ， 可 得 EQF= BEQ+ DFQ=（ BEP+ DFP ） ， 利 用 平 角 定 义 ， 可 得 BEP+ DFP=360-（ AEP+ CFP）=360- EPF，从而可得 EPF+2 EQF=360.（3）同（2）方法，即可得出 P+3 Q=360.（4）同（2）方法，即可得出结论.12将一副直角三角板按如图 1 摆放在直线 AD 上直角三角板 OBC 和直角三角板 MON，的速度顺时针方向旋转t 秒，保持三角板 OBC 不动，将三角板 MON 绕点 O 以每秒（1）如图 2， _度用含 t 的式子表示；？若存在，请求出 t 的值；（2）在旋转的过程中

32、，是否存在 t 的值，使若不存在，请说明理由.（3）直线 AD 的位置不变，若在三角板 MON 开始顺时针旋转的同时，另一个三角板 OBC也绕点 O 以每秒的速度顺时针旋转.当 _秒时，与；的数量关系_关系式中不能含 .请直接写出在旋转过程中，【答案】 （1）时，根据题意得：（2）解：当 MO 在 BOC 内部时，即 t908t=4（458t）解得：t；当 MO 在 BOC 外部时，即 t908t=4（8t45）解得：t综上所述：t .或 t时，根据题意得：（3）5 或 10；3 NOD+4 BOM=270.【解析】【解答】（1） NOD 一开始为 90，然后每秒减少 8，因此 NOD=908

33、t.故答案为 908t.（ 3 ）当 MO 在 BOC 内部时，即 t8t2t=30解得：t=5；当 MO 在 BOC 外部时，即 t8t2t=60解得：t=10.故答案为 5 或 10. NOD=908t， BOM=6t， 3 NOD+4 BOM=3（908t）+46t=270.即 3 NOD+4 BOM=270.【分析】（1）把旋转前 NOD 的大小减去旋转的度数就是旋转后的 NOD 的大小.（2）相对 MO 与 CO 的位置有两种情况，所以要分类讨论，然后根据 NOD=4 COM 建立关于 t的方程即可.（3）其实是一个追赶问题，分MO 没有追上 CO 与 MO 超过 CO 两种情况，然

34、后分别列方程即可.分别用 t 的代数式表示 NOD 和 BOM，然后消去 t 即可得出它们的关系.时，根据题意得：时，根据题意得：13如图，P 是定长线段 AB 上一点，C、D 两点分别从 P、B 出发以 1cm/s、2cm/s 的速度沿直线 AB 向左运动（C 在线段 AP 上，D 在线段 BP 上）（1）若 C、D 运动到任一时刻时，总有PD2AC，请说明 P 点在线段 AB 上的位置：（2）在（1）的条件下，Q 是直线 AB 上一点，且 AQBQPQ，求的值.（3）在（1）的条件下，若 C、D 运动 5 秒后，恰好有，此时 C 点停止运动，D点继续运动（D 点在线段 PB 上），M、N

35、分别是 CD、PD 的中点，下列结论：PMPN的值不变；求值.【答案】 （1）解：由题意：BD=2PC PD=2AC， BD+PD=2（PC+AC），即 PB=2AP. 点 P 在线段 AB 上的处的值不变，可以说明，只有一个结论是正确的，请你找出正确的结论并（2）解：如图： AQ-BQ=PQ， AQ=PQ+BQ， AQ=AP+PQ， AP=BQ， PQ= AB，（3）解：的值不变.理由：如图，当点 C 停止运动时，有 CD= AB， CM= AB， PM=CM-CP= AB-5， PD= AB-10， PN= AB-10）= AB-5， MN=PN-PM= AB，当点 C 停止运动，D 点继

36、续运动时，MN 的值不变，所以【解析】【分析】（1）根据 C、D 的运动速度知 BD=2PC，再由已知条件 PD=2AC 求得PB=2AP，所以点 P 在线段 AB 上的处；（2）由题设画出图示，根据 AQ-BQ=PQ 求得AQ=PQ+BQ；然后求得 AP=BQ，从而求得 PQ 与 AB 的关系；（3）当点 C 停止运动时，有CD AB，从而求得 CM 与 AB 的数量关系；然后求得以 AB 表示的 PM 与 PN 的值，所以MNPNPM AB.14问题情景：如图 1，AB/CD， PAB=130， PCD=120，求 APC 的度数小明的思路是：过点 P 作 PE/AB， PAB+ APE=

37、180 PAB=130， APE=50 AB/CD，PE/AB， PE/CD， PCD+ CPE=180 PCD=120， CPE=60 APC= APE+ CPE=110问题迁移：如果 AB 与 CD 平行关系不变，动点 P 在直线 AB、CD 所夹区域内部运动时， PAB， PCD 的度数会跟着发生变化（1）如图 3，当动点 P 运动到直线 AC 右侧时，请写出 PAB， PCD 和 APC 之间的数量关系？并说明理由（2）如图 4，AQ，CQ 分别平分 PAB， PCD，请直接写出 AQC 和 APC 的数量关系_（3）如图 5，点 P 在直线 AC 的左侧时，AQ，CQ 仍然平分 PA

38、B， PCD，请直接写出 AQC 和角 APC 的数量关系_【答案】 （1） PAB+ PCD= APC理由：如图 3，过点 P 作 PF AB， PAB= APF， AB CD，PF AB， PF CD， PCD= CPF， PAB+ PCD= APF+ CPF= APC，即 PAB+ PCD= APC故答案为： PAB+ PCD= APC（2）（3）2 AQC+ APC=360【解析】【解答】（2）理由：如图 4， AQ，CQ 分别平分 PAB， PCD， QAB= PAB， QCD= PCD， QAB+ QCD= PAB+ PCD= ( PAB+ PCD)，由（1），可得 PAB+ PC

39、D= APC， QAB+ QCD= AQC AQC= APC故答案为： AQC= APC；（3）2 AQC+ APC=360理由：如图 5，过点 P 作 PG AB ， PAB+ APG=180， AB CD，PG AB， PG/CD， PCD+ CPG=180， PAB+ APG+ PCD+ CPG=360， PAB+ PCD+ APC=360， AQ，CQ 分别平分 PAB， PCD， QAB= PAB， QCD= PCD， QAB+ QCD= PAB+ PCD= ( PAB+PCD)由（1）知， QAB+ QCD= AQC， AQC= ( PAB+ PCD)2 AQC= PAB+ PCD

40、， PAB+ PCD+ APC=360， 2 AQC+ APC=360【分析】（ 1）过点 P 作 PF AB，可得 PAB= APF，根据 AB CD，PF AB，可得 PCD= CPF，所以 PAB+ PCD= APF+ CPF= APC，即可证得 PAB+ PCD= APC；（2）已知 AQ，CQ 分别平分 PAB， PCD，根据角平分线性质，可得 QAB= PAB， QCD= PCD， QAB+ QCD= PAB+ PCD= ( PAB+ PCD)，再根据（1）结论，即 可 证 明 AQC= APC （ 3 ） 过 点 P 作 PG AB ， 根 据 平 行 线 的 性 质 可 得 P

41、AB+ APG=180 ， 由 已 知 可 得PG/CD ， PCD+ CPG=180 ， 证 明 得 PAB+ PCD+ APC=360 ， ， 再 根 据AQ ， CQ分 别 平 分 PAB ， PCD ， 可 得 QAB+ QCD= PAB+ PCD= ( PAB+ PCD) ， 即 可 证 明 得 出 结 论2 AQC+ APC=36015（探索新知）如图 1，点 C 将线段 AB 分成 AC 和 BC 两部分，若 BCAC，则称点 C 是线段 AB 的圆周率点，线段 AC、BC 称作互为圆周率伴侣线段（1）若 AC3，则 AB_；（2）若点 D 也是图 1 中线段 AB 的圆周率点（

42、不同于C 点），则 AC_DB；（3）（深入研究）如图 2，现有一个直径为 1 个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示 1 的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1 周，该点到达点 C 的位置若点 M、N 均为线段 OC 的圆周率点，求线段 MN 的长度（4）图 2 中，若点 D 在射线 OC 上，且线段 CD 与以 O、C、D 中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请直接写出点D 所表示的数【答案】 （1）3+3（2）=（3）解：由题意可知，C 点表示的数是 +1，M、N 均为线段 OC 的圆周率点，不妨设 M 点离 O 点近，且 OM=x，x+x=+1，解得 x=1， MN=+

43、1-1-1=-1（4）解：设点 D 表示的数为 x，如图 3，若 CD=OD，则 +1-x=x，解得 x=1；如图 4，若 OD=CD，则 x=（+1-x），解得 x=；如图 5，若 OC=CD，则 +1=（x-1），解得 x=+ +2；如图 6，若 CD=OC，则 x-（+1）=（+1），解得 x=2+2+1；综上，D 点所表示的数是 1、+ +2、2+2+1【解析】【解答】（1）解： AC=3，BC=AC， BC=3， AB=AC+BC=3+3（ 2 ）解： 点 D、C 都是线段 AB 的圆周率点且不重合， BC=AC，AD=BD， 设 AC=x，BD=y，则 BC=x，AD=y， AB=AC+BC=AD+BD， x+x=y+y， x=y AC=BD【分析】（1）根据线段之间的关系代入解答即可；（2）根据线段的大小比较即可；（3）由题意可知，C 点表示的数是 +1，设 M 点离 O 点近，且 OM=x，根据长度的等量关系列出方程求得 x，进一步得到线段 MN 的长度.