12基本不等式(1).ppt

《12基本不等式(1).ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《12基本不等式(1).ppt（24页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2022年6月11日星期六Friday, October 10, Friday, October 10, 20082008修远中学修远中学 陈永和陈永和2022年6月11日星期六,.,.,:,.?aab 把一个物体放在天平的一个盘子上 在另一个盘子上放砝码使天平平衡 称得物体的质量为如果天平制造得不精确 天平的两臂长略有不同 其他因素不计那么 并非实际质量 不过我们可作第二次测量 把物体调换到天平的另一个盘上 此时称得物体的质量为那么如何合理地表示物体的质量呢问题问题2:2:问题问题1:1:谁能很快求出谁能很快求出 函数的最小值函数的最小值? ?221yxx=+今天要学习的今天要学习的, ,正

2、是简洁处理这些问题的一种新的思想方法正是简洁处理这些问题的一种新的思想方法. .2022年6月11日星期六?.,这这样样的的做做法法合合理理吗吗表表示示物物体体的的质质量量以以一一下下平平均均把把两两次次称称得得物物体体的的质质量量简简单单的的做做法法是是2baA 12121,alMlMll根根据据力力学学原原理理有有物物体体实实际际质质量量为为设设天天平平的的两两臂臂长长分分别别为为 212. alMl 是是可可以以得得到到相相乘乘再再除除以以ababMll.,2121.,方方式式平平均均的的一一种种它它也也是是正正数数物物体体的的实实际际质质量量ba2022年6月11日星期六与与 大小关系

3、大小关系.,的几何平均数称为均数的算术平称为我们把对于正数一般地baabbababa2,?a b两个正数的算术平均数和几何平均数之间具有怎样的大小关系定义定义观察猜想观察猜想 2abab2abab4 23 1.7322abab2abab2ababab142.5=31222222022年6月11日星期六.,.确的确的下面证明上述结论是正下面证明上述结论是正时两者相等时两者相等当两数相等当两数相等的算术平均数的算术平均数几何平均数不大于它们几何平均数不大于它们两个正数的两个正数的也就是说也就是说计算结果表明计算结果表明2baabbabaabba2212122证法,0212ba.,号取时即当且仅当b

4、aba2022年6月11日星期六,22baab要证证法,baab2只要证,baba20只要证.20ba 只要证,成立所以立因为最后一个不等式成2baab.号时取当且仅当ba,203baba有对于正数证法abba20abba2.abba22022年6月11日星期六证法证法4 4： 22()()2aba b abba2 即即： abba2当且仅当当且仅当a=b时时abba22022年6月11日星期六)(,号时取当且仅当那么是正数如果babaabba2.,这个不等式仍然成立时当00ba.),(称为基本不等式称为基本不等式我们把不等式我们把不等式002babaab?,有其他证法吗有其他证法吗还还式式等

5、等不不个个这这吗吗释释几何解几何解的的式式等等出不出不你能给你能给根据右图根据右图思考思考2baababab2022年6月11日星期六证法五证法五：连接连接ACAC，BCBC，OCOC，则，则2abOCCDababa+b2ba ODCBA当当ab时时，OCCD，即即2abab当当a=b时时，OC=CD，即即2abab2022年6月11日星期六现在现在谁能很快求出谁能很快求出 函数的最小值函数的最小值? ?221yxx=+22222222221,211212,1,1axbyababxxxxxxxx 法 ：令当且当 x即时，取“”。222222221,0,02211212,12axbxababab

6、ababxxxxxxxy 法2：令则当且当，取“”。的最小值是2022年6月11日星期六 .;:,212211aabaabba证明下列不等式证明下列不等式为正数为正数设设例例 由基本也是正数所以为正数因为证,baabba1得不等式,.,故原不等式成立22baabbaab 得由基本不等式均为正数因为,aa12.,故原不等式成立2121aaaa., 同号此式便成立同号此式便成立只需只需ba2022年6月11日星期六解：（解：（1 1）设矩形菜园的长为）设矩形菜园的长为x mx m，宽为，宽为y my m， 2xyxy+2 3612,xy+=2()24xy+等号当且仅当等号当且仅当x=yx=y时成立

7、，此时时成立，此时x=y=6.x=y=6. 因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为6m6m时，所用的时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是篱笆最短，最短的篱笆是24m.24m. 则面积为则面积为xyxy=36m=36m2 2 ，篱笆的长为，篱笆的长为2 2（x+yx+y）m.m. 练习练习（1 1）用篱笆围一个面积为）用篱笆围一个面积为36 36 m m2 2 的的矩形菜园，如何设计篱笆的长和宽，能使矩形菜园，如何设计篱笆的长和宽，能使所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？2022年6月11日星期六练习练习（2 2）一段长为）一段长为36 36 m m的篱笆围

8、成一个矩的篱笆围成一个矩形菜园，如何设计篱笆的长和宽，菜园的面形菜园，如何设计篱笆的长和宽，菜园的面积最大？最大面积是多少积最大？最大面积是多少? ?解：解：设矩形菜园的长为设矩形菜园的长为x m,x m,宽为宽为y my m , , 18922xyxy+=81xy当且仅当当且仅当x=y,x=y,即即x=y=9x=y=9时时等号成立。等号成立。 则则2(x+y)=36,x+y=18, 2(x+y)=36,x+y=18, 矩形菜园的面积为矩形菜园的面积为xyxy m . m . 因此，这个矩形的长、宽为都因此，这个矩形的长、宽为都9m9m时，菜园的时，菜园的面积最大，最大面积是面积最大，最大面积

9、是81m 81m 22022年6月11日星期六( ,):x y重要结论都是正数_;_,_,) 1 (值有最和时则当且仅当是定值若积yxPxy._,_,) 2(值有最积时则当且仅当是定值若和xySyx2022年6月11日星期六 下面几道题的解答可能下面几道题的解答可能有错有错，如果，如果错错了了，那么，那么错错在哪里？在哪里？已知函数已知函数 ，求函数，求函数的最小值和此时的最小值和此时x的取值的取值xxxf1)(.2112121)(:取到最小值时函数即当且仅当解xxxxxxxxf 运用均值不等式的过程中，忽略了运用均值不等式的过程中，忽略了“正数正数”这个条件这个条件2022年6月11日星期六

10、。函数的最小值为解：4, 4sin4sin2sin4siny用均值不等式求最值用均值不等式求最值, ,必须注意必须注意 “相等相等” 的条件的条件. .如果取等的条件不成立如果取等的条件不成立, ,则不能取到该最值则不能取到该最值. .42 . sin0sin2y求函 其中（，的最小值。数数2022年6月11日星期六3 3已知函数已知函数，求函数的最小值求函数的最小值)2(23)(xxxxf。的最小值是时，函数即当且仅当解：6323223223)(xxxxxxxxxf 用均值不等式求最值，必须满足用均值不等式求最值，必须满足“定值定值”这这个条件个条件2022年6月11日星期六( ,):x y

11、重要结论都是正数应用应用 求最值时求最值时, ,注意验证：一注意验证：一正正 、二二定定 、三三相等相等( ,)2abab a bR2022年6月11日星期六.,求此函数的最小值求此函数的最小值已知函数已知函数例例22162xxxy,由基本不等式所以因为解022xx22162216xxxx得,6221622xx.,号取时即当且仅当22162xxx.,62函数有最小值时当因此x2022年6月11日星期六;112) 1 (baab.22)2(22baba_).,(2211222bababaabbaR+例例3. 3. 均为正数均为正数, ,证明以下不等式证明以下不等式: :, a b重要结论重要结论

12、32022年6月11日星期六个数的算术平均数叫做这nnaaan21个数的几何平均数叫做这naaann21naaan21 nnaaa21niRaNni1 ,*推广推广2022年6月11日星期六.221,11,2121:;1,21)2(22222xxxxxxxxx有最小值时即当且仅当解的最小值求时已知.,2,4.4,4424:.4,3)3(等号成立时即当且仅当原式有最小值解的最小值求已知xxxxxxxxxx练习练习判断以下解题过程的正误判断以下解题过程的正误:.2,2121:;1,0)1(原式有最小值解的最值求已知xxxxxxx2022年6月11日星期六:_2. 1的是下列函数的最小值为练xxyA1.)20(sin1sin.xxxyB212.22xxyC)20(tan1tan.xxxyD:. 2求以下问题中的最值练_;94 ,_, 0) 1 (有最小值时则当若aaaa_;lglg,20,)2(的最大值满足正数yxyxyx2022年6月11日星期六._, 22,)3(的最大值是且都为正数xyyxyx:. 2求以下问题中的最值例_;141, 1) 1 (的最小值是设xxx._14, 1).1 (的最小值是设变式xxx_;)1 (, 10)2(的最大值是则函数设xxyx._)21 (,210).2(最大值是设变式xxyx