垂径定理（1）[1].ppt

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1、问题问题 ：你知道赵州桥吗：你知道赵州桥吗? ?它是它是13001300多年前我国隋代建造的石多年前我国隋代建造的石拱桥拱桥, , 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形形, ,它的跨度它的跨度( (弧所对的弦的长弧所对的弦的长) )为为37.437.4m m, , 拱高拱高( (弧的中点到弧的中点到弦的距离弦的距离) )为为7.27.2m m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少赵州桥主桥拱的半径是多少？ 实践探究实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重

2、复几次，你发现了什么？由此你能得到重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？什么结论？可以发现：可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴它的对称轴如图，如图，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为E（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？OABCDE活活 动动 二二（1）是轴对称图形直径）是轴对称图形直径CD所在的所在的直线是它的对称轴直线是它

3、的对称轴（2） 线段：线段： AE=BE弧弧：,ACBC ADBD把圆沿着直径把圆沿着直径CD折叠时，折叠时，CD两侧的两个半两侧的两个半圆重合，点圆重合，点A与点与点B重合，重合，AE与与BE重重合，合， ， 分别与分别与 、 重重合合ACADBCBDABCDOP直径直径CD垂直于弦垂直于弦AB.猜想猜想AD=BD,AC=BC AP=BPOABCDEAEBE， ，ACBCADBD即直径即直径CD平分弦平分弦AB，并且平分并且平分及及ABACB垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧弦，并且平分弦所对的两条弧平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦

4、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧所对的两条弧ABCDOPAP = BP，AC = BC ，AD = BD 求证：求证：在在 O中，中，CD是直径，是直径，AB是是弦，弦，CDAB，垂足为，垂足为P。已知：已知： 连接连接OA,OB,OA,OB,则则OA=OB.OA=OB，OP，AP=BP.点点A和点和点B关于关于CD对称对称. O关于直径关于直径CD对称对称,当圆沿着直径当圆沿着直径CD对折时对折时,点点A与点与点B重合重合,AC和和BC重合重合,AD和和BD重合重合. AC =BC,AD =BD.证证:AP = BP，AC = BC ，AD = BD 求证：求证：在在

5、 O中，中，CD是直径，是直径，AB是是弦，弦，CDAB，垂足为，垂足为P。已知：已知：垂直于弦的直径垂直于弦的直径平分平分这条弦，这条弦，并且并且平分平分弦所对的两条弧。弦所对的两条弧。ABCDOP几何语言几何语言：AP=BPAD=BDAC=BC垂径定理垂径定理：AP=BPAD=BDAC=BCABCDOP 如果如果交换垂径定理的交换垂径定理的题设题设和和结论结论的部分语句的部分语句，会有一些什么样的结论呢？会有一些什么样的结论呢？直线直线CD过圆心过圆心O AP=BPAD=BDAC=BC?直线直线CD过圆心过圆心O AP=BPAD=BDAC=BC条件条件结论结论垂径定理的推论：垂径定理的推论

6、：平分弦平分弦（不是直径不是直径）的）的直径直径垂直垂直于弦，并且于弦，并且平平分分弦所对的两条弧。弦所对的两条弧。 ABCDOP几何语言几何语言:解得：解得：R279（m）BODACR解决求赵州桥拱半径的问题解决求赵州桥拱半径的问题在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即 R2=18.72+（R7.2）2赵州桥的主桥拱半径约为赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2,7.184.372121ABADAB=37.4，CD=7.2，OD=OCCD=R7.2在图中在图中如图，用如图，用 表示主桥拱，设表示主桥拱，设 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O O，半径为半径为R

7、R经过圆心经过圆心O O 作弦作弦AB AB 的垂线的垂线OCOC，D D为垂足，为垂足，OCOC与与AB AB 相交于点相交于点D D，根据前面的结论，根据前面的结论，D D 是是AB AB 的中的中点，点，C C是是 的中点，的中点，CD CD 就是拱高就是拱高ABABAB1如图，在如图，在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求，求 O的半径的半径OABE练习练习解：解：OEABRtAOE在中222AOOEAE2222= 3 +4 =5cmAOOEAE答：答： O的半径为的半径为5cm.活活 动动 三三118422AEAB 2如图，在如图，在

8、 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的为互相垂直且相等的两条弦，两条弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证四边形，求证四边形ADOE是正方形是正方形DOABCE证明：证明： OEAC ODAB ABAC90 90 90OEAEADODA四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又又AC=AB11 22AEACADAB， AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形.判断下列说法的正误判断下列说法的正误 平分弧的直径必平分弧所对的弦平分弧的直径必平分弧所对的弦 平分弦的直线必垂直弦平分弦的直线必垂直弦 垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦 平分弦的直径垂直于这条弦平分弦的直径垂直于

9、这条弦 弦的垂直平分线是圆的直径弦的垂直平分线是圆的直径 平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧必平分此弦所对的弧 分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对的两条弧分别三等分的两条弧分别三等分 OAB60在直径是在直径是20cm的的中，中，的度数是的度数是，那么弦，那么弦AB的弦心距是的弦心距是. D A B O5 3cm弓形的弦长为弓形的弦长为6cm，弓形的高为，弓形的高为2cm，则，则这弓形所在的圆的半径为这弓形所在的圆的半径

10、为. D C A B O134cmOO3cm已知已知P为为内一点，且内一点，且OP2cm，如果，如果的半径是的半径是，那么过，那么过P点的最短点的最短的弦等于的弦等于. E D C B A P O2 5cmEDCOABOBCADDOBCAOBACDOBAC1.本节课我们主要学习了圆的轴对称性 和垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧 2.垂径定理的证明，是通过“实验观察猜想证明”实现的，体现了实践的观点、运动变化的观点和先猜想后证明的观点，定理的引入还应用了从特殊到一般的思想方法 3.有关弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为解直角三角形的问题 今日作业今日作业1、教材、教材88页习题页习题24.1 7、8、9；2、学习目标、学习目标