经典力学的数学方法.pdf

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1、例 2在矩形域0 x a, 0 y b上求解泊松方程的边值问题u 2ux0 0,uxa 0u 0,uyxb 0y0(0.0.1)解先找泊松方程的一个特解 v显然v x2满足u 2。其实v x2 c1x c2(c1, c2是两个积分常数)也满足u 2。 我们打算选择适当的c1, c2， 使 v 满足齐次边界条件(188)。容易看出，c1 a, c2 0。这样，v(x, y) x(a x)(0.0.2)令u(x, y) v w x(a x) w(x, y)把上式代入 u 的定解问题，就把它转化为w 的边值问题w 0wx0 0, wxa 0(0.0.3)w x(x a), wyxb x(x a)y0

2、仿照 3.1 例 3，满足(0.0.3)的方程和 x 轴上的边界条件的解可表为nnyynaa Bnesinx(0.0.4)w(x, y) Anean1为确定系数An和Bn，以(0.0.4)代入 y 轴上的边界条件，AnBnsinn1nx x(xa)abnbnnaaAneBnesinx x(xa)an1(0.0.5)将(0.0.5)的右边也展为傅里叶正弦级数：x(x a) Cn1nsinnx(0.0.6)a期中2nx4a2ndx 33(1) 1Cnx(x a)sin(0.0.7)a0an将(0.0.6)代入(0.0.5)得aAn Bn CnAne由此解得nba Bnenba CnAnBnenb

3、2aenb 2aenb 2aenb aenb aenb 2aenb 2aenb 2aenb aenb aenb 2aCnCncoshnb 2aeCncoshnb 2anb 2aCn于是代回(0.0.4)成为w(x, y) 1coshn(y b 2) acoshnb 2aCnsinnxa再将 Cn代入上式得w(x,y) 从而原问题的解为8a23(2k 1)1cosh(2k 1)(y b 2) a3cosh(2k 1)b 2aCnsin(2k 1)xa8a2cosh(2k 1)(yb 2) a(2k 1)xu(x,y x(xa)3C sinn1(2k 1)3cosh(2k 1)b 2aa散热片的横

4、截面为矩形。它的一边 y=b 处于较高温度 V，其他三边 b=0，x=0，x=a 则处于冷却介质中因而保持较低的温度v 求解这横截面上的稳定温度分布Ux,y)即定解问题0 x a ; 0 y bux x uy y0) v ,u (a ,y )v0 ybu( 0 ,y (0.0.8)u( x, 0 )v , u (x ,b ) V (x ) 0 xa解这是二维拉普拉斯方程的第一类边界值问题。由于不含初始条件，拉普拉斯方程的边界条件不可能全是齐次的， 因为这种条件下的解只能是零。 但是，尽可能把一些边界条件化为齐次，毕竟会带来一些方便常用的办法是把u(x，y)分解为 v(x，y)和 w(x，y)的

5、线性叠加，u(x, y) v(x, y) w(x, y)(0.0.9)其中 v(x，y)和 w(x，y) 分别满足拉普拉斯方程，并各有一组齐次边界条件，即0 x a; 0 y bvxx vyy 0v(0,y) v, v(a,y) v0 y bv(x,0) 0, v(x,b) 00 x a(0.0.10)0 x a; 0 y bwxx wyy 00 y bw(0,y) 0, w(a, y) 0(0.0.11)0 x aw(x,0) v, w(x,b) V(x)很容易验证，把 v 和 w 的泛定方程叠加起来就是u 的泛定方程，把 v 和 w 的边界条件叠加起来就是 u 的边界条件。于是，问题转化为

6、求解 v 和 w，而 v 和 w 各有两个齐次边界条件可以构成本征值问题，不难分别解出其实，本例还有一个特殊的简便方法，就是令v(x, y) u(x, y) v(0.0.12)则原边值问题化为0 x a; 0 y bvxx vyy 0v(0,y) 0,v(a, y) 00 y bv(x,0) 0, v(x,b) V(x) v0 x a以分离变数形式的试探解(0.0.13)v(x, y X(x)Y(y)(0.0.14)代入(0.0.13)的泛定方程和齐次边界条件，可得YY 0(0.0.15)(S L)XX 0X(0) 0, X(a) 0解（S-L）得得特征值为2 nnan 1,2,相应的特征函数

7、为Xnn(x) sinaxn 1,2,将特征值(0.0.16)代入(0.0.15)解得nYn(y) AneayBnenayn 1,2,其中 An, Bn为任意常数。这样，分离变数形式的解已求出为nvaynynn(x,y)AneBanesinxn1,2,a称为本征解(0.0.13)的一般解 v(x，y)应是这些本征解的叠加nv(x ,y )ynyAnnea Bneas i n xn1aAn, Bn由(0.0.13)的非齐次边界条件来确定，即v(x,0) An Bnsinnx 0n1annv(x,b) Aneab Bneabsinnx V(x) vn1a把右边展开为傅里叶正弦级数。然后比较两边系数，即得(0.0.16)(0.0.17)(0.0.18)(0.0.19)(0.0.20)(0.0.21)An Bn 0a nV(x)sinnnbba0aaA e B eannV(x)sin na0由此解出xdx4xdxvn(n为偶数)(n为奇数)a1nV(x)sin为偶数()nnxdxnbbaeaea0AnBn(0.0.22)a14nV(x)sinx dxv(n为奇数)nbnbnaeaea0