数学建模入门试题极其答案.pdf

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1、.1. 你要在雨中从一处沿直线走到另一处，雨速是常数，方向不变。你是否走得越快，淋雨量越少呢？2. 假设在一所大学中，一位普通教授以每天一本的速度开始从图书馆借出书。再设图书馆平均一周收回借出书的 1/10，若在充分长的时间内，一位普通教授大约借出多少年本书？3. 一人早上 6：00 从山脚 A 上山，晚 18：00 到山顶 B；第二天，早6：00 从 B 下山，晚 18：00 到 A。问是否有一个时刻 t,这两天都在这一时刻到达同一地点？4. 如何将一个不规则的蛋糕 I 平均分成两部分？5. 兄妹二人沿某街分别在离家 3 公里与 2 公里处同向散步回家，家中的狗一直在二人之间来回奔跑。 已知

2、哥哥的速度为3公里/小时，妹妹的速度为 2 公里/小时，狗的速度为 5 公里/小时。分析半小时后，狗在何处？6. 甲乙两人约定中午 12：00 至 13：00 在市中心某地见面，并事先约定先到者在那等待 10 分钟，若另一个人十分钟内没有到达，先到者将离去。用图解法计算，甲乙两人见面的可能性有多大？7. 设有 n 个人参加某一宴会，已知没有人认识所有的人，证明：至少存在两人他们认识的人一样多。8. 一角度为 60 度的圆锥形漏斗装着 10 厘米高的水（如右图） ，其下端小孔的面积为 0.5 平方厘米，求这些水流完需要多少时间？9. 假设在一个刹车交叉口，所有车辆都是由东驶上一个 1/100 的

3、斜.10cm.坡，计算这种情下的刹车距离。如果汽车由西驶来，刹车距离又是多少？10.水管或煤气管经常需要从外部包扎以便对管道起保护作用。 包扎时用很长的带子缠绕在管道外部。为了节省材料，如何进行包扎才能使带子全部包住管道而且带子也没有发生重叠。1解：把人体简化为长方柱，表面积之比为前：侧:顶=1：a:b，选坐标系将人的速度表示为（v,0,0）,即人沿 x 周方向走，v0,而设语雨速为（x,y,z）,行走距离为 L，则淋雨量 Q 的表达式为：Q= Q=|x-a|+a|y|+b|z|*L/v记 q=a|x|+b|z|,则L(Q(v)=L(Q/Lq xv 1),vxq xv+1),vx在 qx 和

4、qx 两种情形下作图Q/Lqx1q/xv0 xxv2.解：由于教授每天借一本书，即一周借七本书，而图书馆平均每周.收回书的 1/10，设教授已借出书的册数是时间 t 的函数小 x(t)的函数，则它应满足（时间 t 以周为单位）X(0)=0其中 初始条件表示开始时教授借出数的册数为0。解该线性方程初始问题得X(t) =701-e-t/1t10由于当t 时， 其极限值为70, 故在充分长的时间内， 一位普通教授大约已借出70本书。3.解：我们从山脚A点为始点记路程，设从A到B路程函数为f（t）,即t时刻走的距离为f（t）;同样设从B点到A点的路程为函数g（t） 。由题意有f(8)=0,f(18)=

5、|AB|，g（8）=|AB| ，g（18）=0；令h（t）=f（t）-g （t） ，则有h(8)=f(8)-g（8）=-|AB|0又注意f（t） ，g（t）都是时刻t的连续函数，因此h（t）也是时刻t的连续函数，由连续函数的介质定理，一定存在某时刻t。使h（t。 ）=0，即f（t。 ）=g（t。 ）所以存在一个时刻 t,这两天都在这一时刻到达同一地点。4.解：设 I 为平面上任一封闭曲线，p 为平面上一点（不妨设 p 在 I内） ，则存在已过点 p 的直线，将 I 所围的面积二等分，如下图.lS2pS1a0设 l 为过点 p 的一条直线，若 S1= S1，则得证，否则设 S1 S2,l与x 轴

6、夹角为 a，让 l 逆时针绕 p 旋转 S2 ，S2，则 S1，S2 随 a 的变化连续的变化，记其面积为 S1a） ，S2（a）,则记 S1（a）= S1, S2（a）= S2,f(a+)0,且 f（a）连续，由连续函数的介值定理知，在（0，）存在使 f（）=0，a=对应的直线即为所求。5解：哥哥与妹妹的速度分别为 3 公里/小时及 2 公里/小时，因此一小时后，哥哥与妹妹都已到家，而狗一直在二者之间，因此狗已到家。6 解： 设甲乙两人分别在 12 点 x 分及 y 分等可能到达到达约定地点，显然 0 x60,0y60，若两人相遇则有|x-y|10，这是一个几何概率问题，其中样本空间为 A=

7、（x，y）|x60,0y60它 构 成 了 空 间 直 角 标 系 中 的 正 方 形 ， 相 遇 空 间 为.y60ag1006010 xG=（x，y）, |x-y|10其图形见上图阴影部分，Sa，Sg 分别表示正方形、阴影部分的面积，从而相遇的概率为 P=Sa/Sg=(60*60-2*1/2*50*50)/(60*60)0.3067. 证明： 设第 i 个人认识的人为 s （i） ， 则 s （i） 0.1.2.3N-1设没有两个人认识的人一样多，则 s（1） ，s（2） ，互不相等，则 s（i）取遍集合0、1、2N-1中的一个值，即至少存在某两个人 k1，k2 使 s（k1）=N-1，s

8、（k2）=0，而对第ki 个人，由于（ki）=N-I，故他必然认识第 k2 人，故 s（k）至少为 1，与 s（k2）=0 矛盾，得证。8解：由水力学定律可知 Q=dv/dt=0.62S2gh，其中0.62 为流量系数 S 为空口横截面，g 为重力加速度，h 为从从空口到水面的高度，故有 dv=0.312ghdt，另一方面，在t 时间内，水面由 h 降至 h+dh（dh0）,则仅有.dv=-r*r*dh=-/3*h*h*dh, 所以有 0.312ghdt=-/3*h*h*dh，再由 h(0)=10,联立求得其解为t=(/3)*(2/5)*1/(0.312g(2.510-2.5h,当水流完时，h

9、=0，解得 t=2/(15*0.312g)*2.5109解：设 t=0 时为开始刹车的时刻，x（t）为从 t=0 到 t 时刻所幸的-uWwg距100离，由刹车时所受的制动力为100*1001-W*1100*1001，其中 W 为车重，故 x（t）满足*d（dt/dt）/dt=-uW错误！未定义书签。-W*1100*1001又由 x（0）=0，dx/dt|t=0=v。解得 x（t）=-1/2（100ug故制动时间为tb=v。/(100ug100*1001100*1001+g100*100 1）t+v。*t2+g100*100 1)因此刹车距离为x(tb)=1/2* v。/(100ug100*1001+g100*100 1)同 理 可 得 汽 车 由 西 驶 来 时 ， 刹 车 距 离 为1/2*v 。/(100ug100*1001+g100*100 1)10.解：假设管道是直的圆的、粗细一样，带子宽度一样。参数宽为 W，圆管周长为 C，缠绕角度为 a,Ca.则 W=C*sina；a=arcsin(w/c)当管道长为 l，按上述方式包扎需要的带孔为 L，此时管道表面积与带子总面积为 L*W，则L*W，则 L*W-l*C=W*即 L= （W*c2W2c2W+l*C）/w2.