最新 2020年北京中考数学试卷及答案解析.pdf

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1、2012 年北京市高级中等学校招生考试数 学 试 卷（答案）一、选择题（本题共 32 分,每小题 4 分）下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的19的相反数是1A91B9C9D92 首届中国（北京）国际服务贸易交易会（京交会）于 2012 年 6 月 1 日闭幕,本届京交会期间签订的项目成交总金额达 60 110 000 000美元,将 60 110 000 000用科学记数法表示应为A6.011109B60.11109C6.0111010D0.601110113 正十边形的每个外角等于A18C45B36D604 右图是某个几何体的三视图,该几何体是A长方体B正方体C圆柱D三棱柱5班主

2、任王老师将 6 份奖品分别放在 6 个完全相同的不透明礼盒中,准备将它们奖给小英等6 位获 “爱集体标兵”称号的同学这些奖品中 3 份是学习文具,2 份是科普读物,1 份是科技馆通票小英同学从中随机取一份奖品,恰好取到科普读物的概率是A161B3C12D236 如图,直线AB,CD交于点O,射线OM平分AOC,若BOD 76,则BOM等于A38C142B104D1447 某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20 户家庭某月的用电量,如下表所示：用电量（度）12014016061807D180,1802002户数23则这 20 户家庭该月用电量的众数和中位数分别是A180,160B160,1

3、80C160,1608 小翔在如图 1 所示的场地上匀速跑步,他从点A出发,沿箭头所示方向经过点B跑到点C,共用时 30秒他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程设小翔跑步的时间为t（单位：秒）,他与教练的距离为y（单位：米）,表示y与t的函数关系的图象大致如图 2 所示,则这个固定位置可能是图 1 中的A点MB点NC点PD点Q二、填空题（本题共 16 分,每小题 4 分）9 分解因式：mn26mn9m 10若关于x的方程x22x m 0有两个相等的实数根,则m的值是11如图,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与 点

4、B在 同 一 直 线 上 已 知 纸 板 的 两 条 直 角 边DE 40cm,EF 20cm, 测 得 边DF离 地 面 的 高 度AC 1.5m,CD 8m,则树高ABm12在平面直角坐标系xOy中,我们把横 、纵坐标都是整数的点叫做整点已知点A0，4,点B是x轴正半轴上的整点,记AOB内部 （不包括边界） 的整点个数为m当m 3时,点B的横坐标的所有可能值是； 当点B的横坐标为4n（n为正整数）时,m （用含n的代数式表示 ）三、解答题（本题共 30 分,每小题 5 分）113计算： 3 18 2sin 45.8014x 3 x，14解不等式组：x 4 2x 1.15已知ab5a 2b0

5、,求代数式2a 2b的值23a 4b216已知：如图,点E，A，C在同一条直线上,ABCD,AB CE，AC CD求证：BC ED.17如图 ,在平面直角坐标系xOy中,函数y y kx k的图象的交点为Am，2.4x 0的图象与一次函数x（1）求一次函数的解析式；（2）设一次函数y kx k的图象与y轴交于点B,若P是x轴上一点,且满足PAB的面积是 4,直接写出点P的坐标18列方程或方程组解应用题：据林业专家分析,树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物 ,具有滞尘净化空气的作用已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2 倍少 4 毫克,若一年滞尘

6、 1000 毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘 550 毫克所需的国槐树叶的片数相同,求一片国槐树叶一年的平均滞尘量四、解答题（本题共四、解答题（本题共 2020 分分, ,每小题每小题 5 5 分）分）19如图,在四边形ABCD中,对角线AC，BD交于点E,BAC 90，CED 45，DCE 30，DE 2 ，BE 2 2求CD的长和四边形ABCD的面积20 已知： 如图,AB是O的直径,C是O上一点,ODBC于点D,过点C作O的切线,交OD的延长线于点E,连结BE（1）求证：BE与O相切；（2）连结AD并延长交BE于点F,若OB 9，sinABC 的长2,求BF321 近年来,北京市大力发

7、展轨道交通,轨道运营里程大幅增加,2011年北京市又调整修订了2010 至 2020年轨道交通线网的发展规划以下是根据北京市轨道交通指挥中心发布的有关数据制作的统计图表的一部分北京市轨道交通已开通线路相关数据统计表（截至 2010 年底）开通时间197119842003200720082009开通线路1 号线2 号线13 号线八通线5 号线8 号线10 号线机场线4 号线房山线大兴线2010亦庄线昌平线15 号线请根据以上信息解答下列问题：（1）补全条形统计图并在图中标明相应数据；（2）按照 2011 年规划方案,预计 2020 年北京市轨道交通运营里程将达到多少千米？（3）要按时完成截至 2

8、015 年的轨道交通规划任务,从 2011到 2015 这 4 年中,平均每年需新增运营里程多少千米？22操作与探究：运营里程(千米)3123411928525282822222321201（1）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以,再把所得数对应的点向右平移 13个单位,得到点P的对应点P.点A，B在数轴上,对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段AB,其中点A，B的对应点分别为A，B如图 1,若点A表示的数是3,则点A表示的数是；若点B表示的数是 2,则点B表示的数是；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E与点E重合,则点E表示的数是；（2）如图 2,在平面直角坐标

9、系xOy中,对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每 个点的横、纵坐标都乘以同一种实数a,将得到的点先向右平移m个单位,再向上平移n个单位（m 0，n 0）,得到正方形ABCD及其内部的点,其中点A，B的对应点分别为A，B.已知正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F与点F重合,求点F的坐标.五、解答题（本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分）23已知二次函数y (t 1)x2 2(t 2)x 在x 0和x 2时的函数值相等.（1）求二次函数的解析式；（2）若一次函数y kx 6的图象与二次函数的图象都经过点A(3，m),求

10、m和k的值；（3）设二次函数的图象与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧）,将二次函数的图象在点B，C间的部分（含点B和点C） 向左平移n(n 0)个单位后得到的图象记为G,同时将（2）中得到的直线y kx 6向上平移n个单位.请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时,n的取值范围.24在ABC中,BA BC，BAC ,M是AC的中点,P是线段BM上的动点,将线段PA绕点P顺时针旋转2得到线段PQ.（1） 若 且点P与点M重合（如图 1）,线段CQ的延长线交射线BM于点D,请补全图形,并写出CDB的度数；32（2） 在图 2 中,点P不与点B，M重合,线段CQ的延长线与射线BM交于点D,

11、猜想CDB的大小（用含的代数式表示）,并加以证明；（3） 对于适当大小的,当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B,M重合）时,能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D,且PQ QD,请直接写出的范围.25在平面直角坐标系xOy中,对于任意两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)的“非常距离”,给出如下定义：若| x1 x2| y1 y2|,则点P1与点P2的“非常距离”为| x1 x2|；若| x1 x2| y1 y2|,则点P1与点P2的“非常距离”为| y1 y2|.例如：点P为|25| 3,也就2),点P2(3，5),因为|13|25|,所以点P1(1，1与点P2的“非常距离”是图

12、 1 中线段PQ与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线PQ与垂直于x轴的直线11P2Q的交点）.1（1）已知点A(，0),B为y轴上的一个动点,2若点A与点B的“非常距离”为 2,写出一个满足条件的点B的坐标；直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；（2）已知C是直线y 3x3上的一个动点,4如图 2,点D的坐标是（0,1）,求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；如图 3,E是以原点O为圆心,1 为半径的圆上的一个动点,求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标.2012 年北京中考数学试卷分析一、各个知识板块所占分值二、各个知识板块考查的难易程度三

13、、试卷整体难度特点分析三、试卷整体难度特点分析2012 年北京中考数学刚刚结束, 今年试卷整体呈现出 “新颖” 的特点,与近几年中考试题以及今年一模、二模试题有比较大的差异.总体难度与去年持平,但是最难的题目难度并没有去年高.考生做起来会感觉不太顺手,此份试卷对于优秀学生的区分度将会比去年大,而对于中当学生的区分度将不会有太大变化.此份试卷呈现出以下几个特点：1.题目的背景和题型都比较新颖.例如选择题的第 8 题、解答题第 25 题,尤其是 25 题第一次在代数题目中用到了定义新运算,题目很新颖,知识点融合度较高.考察的方式都是平常同学们很少见到的题型.2.填空题第12题试题结构与往年不同,考

14、察观察能力和精确作图能力.本试卷的填空题第12题,需要同学们在试卷上画出比较精确的线段才能很好的发现其中的规律,而所体现的规律本身并不复杂,是一个等差数列问题.3.弱化了对于梯形的考察.解答题第 19 题并没有像之前一样是一道题型的问题,取而代之的是一道四边形的题目.难度并不大.4.与圆有关的题目增多,例如选择题第 8 题、解答题第 20 题.解答题第 24 题第二问也可以通过构造辅助圆来解决.5.考察学生对于知识点的深入理解能力.解答题第 23 题第三小问,重点考察直线与抛物线位置关系的深入理解,难度较大.四、试题重点题目分析四、试题重点题目分析（20122012 年北京中考第年北京中考第

15、2323 题）题）23已知二次函数y (t 1)x2 2(t 2)x在x 0和x 2时的函数值相等.（4）求二次函数的解析式；32（5）若一次函数y kx 6的图象与二次函数的图象都经过点A(3，m),求m和k的值；（6）设二次函数的图象与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧）,将二次函数的图象在点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n(n 0)个单位后得到的图象记为G,同时将（2）中得到的直线y kx 6向上平移n个单位.请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时,n的取值范围.【解析】 由题意可知依二次函数图象的对称轴为x 1则2t 22t 11.3t 213y x2 x 22 因二

16、次函数图象必经过A点132m 33 622又一次函数y kx 6的图象经过A点3k 6 6,k 4 由题意可知,点B，C间的部分图象的解析式为y 则向左平移后得到的图象C的解析式为y n 1 x3 n此时平移后的解析式为y 4x 6 n1x 3x 1,1 x321x 3 nx 1 n2由图象可知,平移后的直线与图象C有公共点,则两个临界的交点为n1，0与3n，0则0 4n16 nn 230 43n6 nn 62n63坐标为（3-n,0）坐标为（-n-1,0）A（-3,-6）此为两个函数的切点【评价】 前两问都比较简单,第三问有一定难度,考察学生对于函数图象平移的理解,以及对于直线与抛物线位置关

17、系的运用.此题的关键在于临界点讨论需要同学们能够表示出临界点的坐标 ,带入直线解析式即可得到 n 的取值范围.（20122012 年北京中考第年北京中考第 2424 题）题）24在ABC中,BA BC，BAC ,M是AC的中点,P是线段BM上的动点,将线段PA绕点P顺时针旋转2得到线段PQ.（1） 若 且点P与点M重合（如图 1）,线段CQ的延长线交射线BM于点D,请补全图形,并写出CDB的度数；（2） 在图 2 中,点P不与点B，M重合,线段CQ的延长线与射线BM交于点D,猜想CDB的大小（用含的代数式表示）,并加以证明；（3） 对于适当大小的,当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B,M

18、重合）时,能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D,且PQ QD,请直接写出的范围.【解析】,CDB 30 连接PC，AD,易证APDCPDAP PCADB CDBPAD PCD又PQ PAPQ PC，ADC 2CDB,PQC PCD PADPADPQD PQC PQD 180APQADC 360PAD PQD180ADC 180APQ 18022CDB 180 2CDB 90 CDB 90，且PQ QDPAD PCQ PQC 2CDB 180 2点P不与点B，M重合BAD PAD MAD2180 245 60【评价】 此题并没有考察常见的动点问题,而是将动点问题和几何变换结合在一起,应用一个

19、点构造 2 倍角.需要同学们注意图形运动过程中的不变量,此题可以用倒角（上述答案的方法）或是构造辅助圆的方法解决.2013 年 24在ABC 中,AB=AC,BAC=（0 60）,将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 60得到线段 BD.图 1图 2（1）如图 1,直接写出ABD 的大小（用含的式子表示） ；（2）如图 2,BCE=150,ABE=60,判断ABE 的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下,连结 DE,若DEC=45,求的值.24 （本小题满分 7 分）解： （1）ABD 30 - .1 分（2）ABE 是等边三角形2 分证明：连结 AD,CD DBC=60,BD=BC, BDC

20、 是等边三角形,BDC=60,BD=DC3 分又 AB=AC,AD=AD, ABDACD ADB=ADC, ADB=1504 分 ABE=DBC=60, ABD=EBC又 BD=BC,ADB=ECB=150, ABDEBC AB=EB ABE 是等边三角形5 分（3）解： BDC 是等边三角形, BCD=60 DCE=BCE-BCD=90又 DEC=45, CE=CD=BC6 分 EBC=15 EBC=ABD=30-2,2=307 分2014 年 24 在正方形 ABCD 外侧作直线 AP,点 B 关于直线 AP 的对称点为 E,连接 BE,DE,其中 DE 交直线 AP 于点 F （1）依题

21、意补全图 1；,求ADF 的度数；（2）若PAB=20PAB 90,用等式表示线段 AB,FE,FD 之间的数量关系,并证明（3）如图 2,若 45解： （1）补全图形如图所示：（20122012 年北京中考第年北京中考第 2525 题）题）25在平面直角坐标系xOy中,对于任意两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)的“非常距离”,给出如下定义：若| x1 x2| y1 y2|,则点P1与点P2的“非常距离”为| x1 x2|；若| x1 x2| y1 y2|,则点P1与点P2的“非常距离”为| y1 y2|.例如：点P2),点P2(3，5),因为|13|25|,所以点P1(1，1与点P2

22、的“非常距离”为|25| 3,也就是图 1 中线段PQ与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线PQ与垂直于x轴的直线11P2Q的交点）.1（1）已知点A(，0),B为y轴上的一个动点,2若点A与点B的“非常距离”为 2,写出一个满足条件的点B的坐标；直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；（2）已知C是直线y 3x3上的一个动点,4如图 2,点D的坐标是（0,1）,求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；如图 3,E是以原点O为圆心,1 为半径的圆上的一个动点,求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标.【解析】 0，2或0，2123 设C坐标x0， x

23、034当x03x0 248此时x0 787815此时C，.77距离为34E，55334 x0 x035458x0 589C，55最小值 1.CQCQCQCQDPPDPPO从第二题第一问的作图中可以发现,过 C 点向 x、 y 轴作垂线， 当 CP 和 CQ 长度相等的时候“非常距离”最短，理由是，如果向下（如左图）或向上（如右图）移动C 点到达 C点，其与点 D 的“非常距离”都会增大.故而 C、D 为正方形相对的两个顶点时有最小的非常距离。发现这一点对于同学们更好的理解题意十分重要。【评价】 此题是第一次在代数题目中用到了定义新运算,题目很新颖.知识点融合度较高.需要同学们有较强的阅读理解题

24、目的能力和数形结合能力.计算并不复杂,关键在于对于几何图形最值问题的探讨.在ABC中,BA BC，BAC ,M是AC的中点,P是线段BM上的动点,将线段PA绕点P顺时针旋转2得到线段PQ.（1） 若 且点P与点M重合（如图 1）,线段CQ的延长线交射线BM于点D,请补全图形,并写出CDB的度数；（2） 在图 2 中,点P不与点B，M重合,线段CQ的延长线与射线BM交于点D,猜想CDB的大小（用含的代数式表示）,并加以证明；（3） 对于适当大小的,当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B,M重合）时,能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D,且PQ QD,请直接写出的范围.在ABC中,BA BC，BAC ,M是AC的中点,P是线段BM上的动点,将线段PA绕点P顺时针旋转2得到线段PQ.（1） 若 且点P与点M重合（如图 1）,线段CQ的延长线交射线BM于点D,请补全图形,并写出CDB的度数；（2） 在图 2 中,点P不与点B，M重合,线段CQ的延长线与射线BM交于点D,猜想CDB的大小（用含的代数式表示）,并加以证明；（3） 对于适当大小的,当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B,M重合）时,能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D,且PQ QD,请直接写出的范围.