初二数学 直角三角形练习题.pdf

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1、一选择题（共一选择题（共 5 5 小题）小题）1已知下列语句：（1）有两个锐角相等的直角三角形全等；（2）一条斜边对应相等的两个直角三角形全等；（3）三个角对应相等的两个三角形全等；（4）两个直角三角形全等其中正确语句的个数为（）A0B1C2D32对于条件：两条直角边对应相等；斜边和一锐角对应相等；斜边和一直角边对应相等； 直角边和一锐角对应相等；以上能断定两直角三角形全等的有（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个3如图，ACB=90，AC=BC，AECE 于 E，BDCE 于 D，AE=5cm，BD=2cm，则 DE 的长是（）A8B5C3D24如图，ABC 中，AB=AC=10，AD

2、平分BAC 交 BC 于点 D，点 E 为 AC 的中点，连接 DE，则 DE 的长为（）A10B6C8D55如图，在ABC 中，CDAB 于点 D，BEAC 于点 E，F 为 BC 的中点，DE=5，BC=8，则DEF 的周长是（）第1 1页（共3535页）A21B18C13D15二填空题（共二填空题（共 1010 小题）小题）6如图，点A 和动点 P 在直线 l 上，点P 关于点 A 的对称点为 Q，以AQ 为边作RtABQ，使BAQ=90，AQ：AB=3：4直线 l 上有一点 C 在点 P 右侧，PC=4cm，过点 C 作射线 CDl，点 F 为射线 CD 上的一个动点，连结 AF当AF

3、C 与ABQ全等时，AQ=cm7如图，CAAB，垂足为点 A，AB=8，AC=4，射线 BMAB，垂足为点 B，一动点 E 从 A 点出发以 2/秒的速度沿射线 AN 运动，点D 为射线 BM 上一动点，随着 E 点运动而运动，且始终保持 ED=CB，当点 E 运动秒时，DEB 与BCA全等8如图，ACB=90，AC=BC，BECE 于 E，ADCE 于 D，下面四个结论：ABE=BAD；CEBADC；AB=CE；ADBE=DE正确的是（将你认为正确的答案序号都写上） 第2 2页（共3535页）9如图，在ABC 中，C=90，B=30，AB 的垂直平分线 ED 交 AB 于点 E，交 BC 于

4、点 D，若 CD=3，则 BD 的长为10如图，在ABC 中，ACB=90，B=30，BC=6，CD 为 AB 边上的高，点 P为射线 CD 上一动点， 当点 P 运动到使ABP 为等腰三角形时， BP 的长度为11如图，在直角ABC 中，已知ACB=90，AB 边的垂直平分线交 AB 于点 E，交 BC 于点 D，且ADC=30，BD=18cm，则 AC 的长是cm12如图，在ABC 中，AD 为CAB 平分线，BEAD 于 E，EFAB 于 F，DBE=C=15，AF=2，则 BF=13如图，四边形 ABCD 中，A=C=90，ABC=60，AD=4，CD=10，则 BD的长等于第3 3页

5、（共3535页）14如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 定点 A、B 在 y 轴、x 轴上，当B 在 x 轴上运动时，A 随之在 y 轴运动，矩形 ABCD 的形状保持不变，其中 AB=2，BC=1，运动过程中，点 D 到点 O 的最大距离为15如图，在ABC 中，AB=AC=7，BC=5，AFBC 于 F，BEAC 于 E，D 是 AB的中点，则DEF 的周长是三解答题（共三解答题（共 1111 小题）小题）16如图，在ABC 中，AB=AC，DE 是过点 A 的直线，BDDE 于 D，CEDE 于点 E；（1）若 B、C 在 DE 的同侧（如图所示）且 AD=CE求证：ABAC；（

6、2）若 B、C 在 DE 的两侧（如图所示） ，其他条件不变，AB 与 AC 仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由第4 4页（共3535页）17如图1，OA=2，OB=4，以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰 RtABC（1）求 C 点的坐标；（2）如图2，P 为 y 轴负半轴上一个动点，当P 点向 y 轴负半轴向下运动时，以P 为顶点，PA为腰作等腰 RtAPD，过 D 作 DEx 轴于 E 点，求 OPDE 的值18如图，已知在ABC 中，AB=AC，BAC=90，分别过 B、C 向过 A 的直线作垂线，垂足分别为 E、F（1）如图过 A 的直线与斜边 BC 不相交时，求证：

7、EF=BE+CF；（2）如图过 A 的直线与斜边 BC 相交时，其他条件不变，若 BE=10，CF=3，求：FE 长19如图，ABC 中，A=30，C=90，BE 平分ABC，AC=9cm，求 CE 的长第5 5页（共3535页）20如图所示，AB=AC，A=120，点 E 在 AB 边上，EF 垂直平分 AB，交 BC 于F，EGBC，垂足为 G，若 GF=4，求 CF 的长21已知MAN，AC 平分MAN（1）在图 1 中，若MAN=120，ABC=ADC=90，求证：AB+AD=AC；（2）在图 2 中，若MAN=120，ABC+ADC=180，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给

8、出证明；若不成立，请说明理由22如图，在ABC 中，B=90，BC=12 厘米，AB 的值是等式 x31=215 中的 x的值点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 B 点以 1.5 厘米秒的速度移动，点 Q 从点 B开始沿 BC 边向 C 点以 2 厘米秒的速度移动求 AB 的长度厘米如果 P、Q 分别从 A、B 两点同时出发，问几秒钟后，PBQ 是等腰三角形并求出此时这个三角形的面积23 已知： 如图， BAC=BDC=90， 点 E 在 BC 上， 点 F 在 AD 上， BE=EC， AF=FD 求证：EFAD第6 6页（共3535页）24如图，ABC 中，CD、BE 分别是 AB、AC

9、 边上的高，M、N 分别是线段 BC、DE 的中点（1）求证：MNDE；（2）连结 DM，ME，猜想A 与DME 之间的关系，并写出推理过程；（3）若将锐角ABC 变为钝角ABC，如图，上述（1） （2）中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由25如图，ABC 中，CFAB，垂足为 F，M 为 BC 的中点，E 为 AC 上一点，且ME=MF（1）求证：BEAC；（2）若A=50，求FME 的度数26如图，在 RtABC 中，ABC=90，点 D 是 AC 的中点，作ADB 的角平分线 DE 交 AB 于点 E，（1）求证：DEBC；（2）若AE=3，AD=5

10、，点P 为线段 BC 上的一动点，当BP 为何值时，DEP 为等腰三角形请求出所有 BP 的值第7 7页（共3535页）第8 8页（共3535页）20172017 年年 0202 月月 1616 日精锐教育日精锐教育 4 4 的初中数学组卷的初中数学组卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一选择题（共一选择题（共 5 5 小题）小题）1 （2016 秋东宝区校级期中）已知下列语句：（1）有两个锐角相等的直角三角形全等；（2）一条斜边对应相等的两个直角三角形全等；（3）三个角对应相等的两个三角形全等；（4）两个直角三角形全等其中正确语句的个数为（）A0B1C2D3【分析】根据全等三角形的判定定理

11、 HL、SAS、AAS、ASA 分别进行分析即可【解答】解： （1）有两个锐角相等的直角三角形全等，说法错误；（2）一条斜边对应相等的两个直角三角形全等，说法错误；（3）三个角对应相等的两个三角形全等，说法错误；（4）两个直角三角形全等，说法错误故选：A【点评】 此题主要考查了直角三角形的判定， 关键是掌握三角形全等的判定定理2 （2015 秋武汉校级期中）对于条件：两条直角边对应相等；斜边和一锐角对应相等；斜边和一直角边对应相等；直角边和一锐角对应相等；以上能断定两直角三角形全等的有（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】根据直角三角形的判定定理进行选择即可【解答】解：两条直角边对

12、应相等，根据“SAS”，正确；斜边和一锐角对应相等，根据“AAS”，正确；斜边和一直角边对应相等，根据“HL”，正确；直角边和一锐角对应相等，根据“ASA”或“AAS”，正确；第9 9页（共3535页）故选 D【点评】本题考查了直角三角形的判定定理，除 HL 外，一般三角形的全等有四种方法，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证3 （2014 春栖霞市期末）如图，ACB=90，AC=BC，AECE 于 E，BDCE 于D，AE=5cm，BD=2cm，则 DE 的长是（）A8B5C3D2【分析】 根据已知条件， 观察图形得CAE+ACD=ACD+BCD， CAE=BCD，然后证AECCDB

13、 后求解【解答】解：ACB=90，AC=BC，AECE 于 E，BDCE 于 D，CAE+ACD=ACD+BCD，CAE=BCD，又AEC=CDB=90，AC=BC，AECCDBCE=BD=2，CD=AE=5，ED=CDCE=52=3（cm） 故选 C【点评】 本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目利用全等三角形的判定和性质求解，发现并利用CAE+ACD=ACD+BCD，CAE=BCD，是解题的关键4 （2016 春罗湖区期末）如图，ABC 中，AB=AC=10，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，点 E 为 AC 的中点，连接 DE，则 DE 的长为（）第1010页（共3535页）A10

14、B6C8D5【分析】 由等腰三角形的性质证得 BD=DC， 根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求得结论【解答】解：AB=AC=10，AD 平分BAC，BD=DC，E 为 AC 的中点，DE=AB=10=5，故选 D【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的中位线，熟练掌握三角形的中位线是解决问题的关键5 （2016 秋苏州期中）如图，在ABC 中，CDAB 于点 D，BEAC 于点 E，F为 BC 的中点，DE=5，BC=8，则DEF 的周长是（）A21B18C13D15【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出 DF、EF，再根据三角形的周长的定义解答【解答】解：CDAB，

15、F 为 BC 的中点，DF=BC=8=4，BEAC，F 为 BC 的中点，EF=BC=8=4，DEF 的周长=DE+EF+DF=5+4+4=13故选 C【点评】 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质， 是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键第1111页（共3535页）二填空题（共二填空题（共 1010 小题）小题）6 （2016 秋瑞安市校级期中）如图，点 A 和动点 P 在直线 l 上，点 P 关于点 A的对称点为 Q，以 AQ 为边作 RtABQ，使BAQ=90，AQ：AB=3：4直线 l 上有一点 C 在点 P 右侧，PC=4cm，过点 C 作射线 CDl，点 F 为射

16、线 CD 上的一个动点，连结 AF当AFC 与ABQ 全等时，AQ=cm【分析】根据直角三角形的全等的判定解答即可【解答】解：要使AFC 与ABQ 全等，则应满足，AQ：AB=3：4，AQ=AP，PC=4cm，AQ=故答案为：【点评】此题考查直角三角形的全等问题，关键是根据 SAS 证明三角形的全等7 （2015 秋沛县校级月考）如图，CAAB，垂足为点 A，AB=8，AC=4，射线BMAB，垂足为点B，一动点E 从 A 点出发以 2/秒的速度沿射线 AN 运动，点D为射线 BM 上一动点， 随着 E 点运动而运动， 且始终保持 ED=CB， 当点 E 运动0，2，6，8秒时，DEB 与BCA

17、 全等【分析】此题要分两种情况：当 E 在线段 AB 上时，当 E 在 BN 上，再分别分成两种情况 AC=BE，AC=BE 进行计算即可第1212页（共3535页）【解答】解：当 E 在线段 AB 上，AC=BE 时，ACBBED，AC=4，BE=4，AE=84=4，点 E 的运动时间为 42=2（秒） ；当 E 在 BN 上，AC=BE 时，AC=4，BE=4，AE=8+4=12，点 E 的运动时间为 122=6（秒） ；当 E 在线段 AB 上，AB=EB 时，ACBBDE，这时 E 在 A 点未动，因此时间为 0 秒；当 E 在 BN 上，AB=EB 时，ACBBDE，AE=8+8=1

18、6，点 E 的运动时间为 162=8（秒） ，故答案为：0，2，6，8【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角8 （2009 秋大港区期末）如图，ACB=90，AC=BC，BECE 于 E，ADCE 于D，下面四个结论：ABE=BAD；CEBADC；AB=CE；ADBE=DE正确的是（将你认为正确的答案序号都写上） 第1313页（共3535页）【分析】首先由AEF 与ADF 中分别有两个直角及对顶角得到是

19、正确的，利用等腰三角形的性质及其它条件，证明CEBADC，则其他结论易求，而无法证明是正确的【解答】解：BEF=ADF=90，BFE=AFDABE=BAD正确1+2=902+CAD=901=CAD又E=ADC=90，AC=BCCEBADC正确CE=AD，BE=CDADBE=DE正确而不能证明，故答案为、故填、【点评】 本题考查了直角三角形全等的判定及等腰三角形的判定与性质；要充分利用全等三角形的性质来找到结论， 利用相等线段的等量代换是正确解答本题的关键；9 （2016黔南州）如图，在ABC 中，C=90，B=30，AB 的垂直平分线 ED交 AB 于点 E，交 BC 于点 D，若 CD=3，

20、则 BD 的长为6第1414页（共3535页）【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等可得 AD=BD，可得DAE=30，易得ADC=60，CAD=30，则 AD 为BAC 的角平分线，由角平分线的性质得 DE=CD=3，再根据直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半可得 BD=2DE，得结果【解答】解：DE 是 AB 的垂直平分线，AD=BD，DAE=B=30，ADC=60，CAD=30，AD 为BAC 的角平分线，C=90，DEAB，DE=CD=3，B=30，BD=2DE=6，故答案为：6【点评】 本题主要考查了垂直平分线的性质， 角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角

21、三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键10 （2016贵阳模拟）如图，在ABC 中，ACB=90，B=30，BC=6，CD 为AB 边上的高， 点 P 为射线 CD 上一动点， 当点 P 运动到使ABP 为等腰三角形时，BP 的长度为4或 6第1515页（共3535页）【分析】根据直角三角形的性质得到ACD=ABC=30，根据含 30的角的直角三角形的性质得到 AD=AC=，根据等腰三角形的性质即可得到结论【解答】解：ACB=90，CDAB，ADAB，ACD=ABC=30，AC=BC=2，时，=3BC=3，=6，或 6，AD=AC=当 AP=AB=4PD=BD=

22、PB=当 PB=AB=4综上所述：PB=4故答案为：4或 6【点评】本题考查了含 30的角的直角三角形的性质，勾股定理等腰三角形的性质，熟练掌握含 30的角的直角三角形的性质是解题的关键11 （2016 秋罗庄区期末）如图，在直角ABC 中，已知ACB=90，AB 边的垂直平分线交 AB 于点 E，交 BC 于点 D，且ADC=30，BD=18cm，则 AC 的长是9第1616页（共3535页）cm【分析】利用垂直平分线的性质可得 AD=BD，根据含 30 度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半可得 AC 的长【解答】解：AB 边的垂直平分线交 AB 于点 E

23、，BD=18cm，AD=BD=18cm，在直角ABC 中，已知ACB=90，ADC=30，AC=AD=9cm故答案为：9【点评】本题主要考查了垂直平分线的性质和含 30直角三角形的性质，综合运用各性质定理是解答此题的关键12 （2016 秋江阴市期中）如图，在ABC 中，AD 为CAB 平分线，BEAD 于E，EFAB 于 F，DBE=C=15，AF=2，则 BF=6【分析】先由垂直的定义及三角形内角和定理得出BDA=75，根据三角形外角的性质得出DAC=60，再由角平分线定义求得BAD=60，则FEA=30，根据在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半，得到EF=2FBE=30，进而

24、得出 BF=EF=6，再求出【解答】解：DBE=15，BED=90，BDA=75，BDA=DAC+C，而C=15，DAC=60，AD 为CAB 平分线，第1717页（共3535页）BAD=DAC=60，EFAB 于 F，FEA=30，AF=2，EF=2，FEB=60，FBE=30，BF=EF=6故答案为 6【点评】本题考查了垂直的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线定义，直角三角形的性质，综合性较强，难度适中13 （2016 春绍兴校级期中）如图，四边形 ABCD 中，A=C=90，ABC=60，AD=4，CD=10，则 BD 的长等于4【分析】延长 BA、CD 交于 E，求出E

25、，求出 DE、CE 长，在 RtCBE 中，求出BC，在 RtCBD 中，根据勾股定理求出 BD 即可【解答】解：延长 BA、CD 交于 E，C=90，ABC=60，E=1809060=30，第1818页（共3535页）DE=2AD=8，CE=10+8=18，tanABC=tan60=BC=6，=4，在 RtBCD 中，由勾股定理得：BD=故答案为：4【点评】本题考查了三角形的内角和定理，含 30 度角的直角三角形，勾股定理的应用，主要考查学生运用定理进行计算的能力，题目具有一定的代表性，难度适中14 （2016郑州校级模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 定点 A、B 在 y

26、轴、x 轴上，当B 在 x 轴上运动时，A 随之在 y 轴运动，矩形ABCD 的形状保持不变， 其中 AB=2， BC=1， 运动过程中， 点 D 到点 O 的最大距离为+1【分析】取 AB 的中点 E，连接 OD、OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 OE=AB，利用勾股定理列式求出 DE，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得 OD 过点 E 时最大【解答】解：如图，取 AB 的中点 E，连接 OD、OE、DE，MON=90，AB=2，第1919页（共3535页）OE=AE=AB=1，BC=1，四边形 ABCD 是矩形，AD=BC=1，DE=，根据三角形的三边关系，O

27、DOE+DE，当 OD 过点 E 是最大，最大值为故答案为：+1+1【点评】 本题考查了矩形的性质， 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，勾股定理，确定出 OD 过 AB 的中点时值最大是解题的关键15 （2016 秋江阴市期中）如图，在ABC 中，AB=AC=7，BC=5，AFBC 于 F，BEAC 于 E，D 是 AB 的中点，则DEF 的周长是【分析】 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=DF=AB，EF=BC，然后代入数据计算即可得解【解答】解：AB=AC=7，BC=5，AFBC 于 F，BEAC 于 E，D 是 AB 的中点，BCE 是直角三角

28、形，EF 是 RtBCE 的中线，EF=BF=FC=BC=，又点 D 是 AB 的中点，DF 是 RtAFB 的中线，也是 RtAEB 的中线，DE=DF=AC=，三角形 DEF 的周长=DE+DF+EF=+=，第2020页（共3535页）故答案为【点评】 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键三解答题（共三解答题（共 1111 小题）小题）16 （2016 秋临沂期末）如图，在ABC 中，AB=AC，DE 是过点 A 的直线，BDDE 于 D，CEDE 于点 E；（1）若 B、C 在 DE 的同侧（如图所示）且 AD=CE求证：

29、ABAC；（2）若 B、C 在 DE 的两侧（如图所示） ，其他条件不变，AB 与 AC 仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由【分析】 （1）由已知条件，证明 ABDACE，再利用角与角之间的关系求证BAD+CAE=90，即可证明 ABAC；（2） 同 （1） ， 先证 ABDACE， 再利用角与角之间的关系求证BAD+CAE=90，即可证明 ABAC【解答】 （1）证明：BDDE，CEDE，ADB=AEC=90，在 RtABD 和 RtACE 中，RtABDRtCAE第2121页（共3535页）DAB=ECA，DBA=ACEDAB+DBA=90，EAC+ACE=90，BAD+CAE=

30、90BAC=180（BAD+CAE）=90ABAC（2）ABAC理由如下：同（1）一样可证得 RtABDRtACEDAB=ECA，DBA=EAC，CAE+ECA=90，CAE+BAD=90，即BAC=90，ABAC【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，借助全等三角形的性质得到相等的角，然后证明垂直是经常使用的方法，注意掌握、应用17 （2009 秋澄海区校级期中）如图1，OA=2，OB=4，以 A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰 RtABC（1）求 C 点的坐标；（2）如图2，P 为 y 轴负半轴上一个动点，当P 点向 y 轴负半轴向下运动时，以P 为顶点

31、，PA为腰作等腰 RtAPD，过 D 作 DEx 轴于 E 点，求 OPDE 的值第2222页（共3535页）【分析】如图 1，过 C 作 CMx 轴于 M 点，则可以求出MACOBA，可得 CM=OA=2，MA=OB=4，故点 C 的坐标为（6，2） 如图 2，过 D 作 DQOP 于 Q 点，则 DE=OQ利用三角形全等的判定定理可得AOPPQD（AAS）进一步可得 PQ=OA=2，即 OPDE=2【解答】解： （1）如图 1，过 C 作 CMx 轴于 M 点，MAC+OAB=90，OAB+OBA=90，则MAC=OBA，在MAC 和OBA 中MACOBA（AAS） ，CM=OA=2，MA

32、=OB=4，OM=OA+AM=2+4=6，点 C 的坐标为（6，2） （2）如图 2，过 D 作 DQOP 于 Q 点，则 DE=OQOPDE=OPOQ=PQ，APO+QPD=90，APO+OAP=90，QPD=OAP，在AOP 和PQD 中，第2323页（共3535页）AOPPQD（AAS） PQ=OA=2即 OPDE=2【点评】 本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即 AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用 HL 定理，关键还要巧妙作出辅助线，再结合坐标轴才能解出，本题难度较大18 （2008 秋上饶期末）如图，已知在ABC 中，AB=AC，BAC=

33、90，分别过B、C 向过 A 的直线作垂线，垂足分别为 E、F（1）如图过 A 的直线与斜边 BC 不相交时，求证：EF=BE+CF；（2）如图过 A 的直线与斜边 BC 相交时，其他条件不变，若 BE=10，CF=3，求：FE 长【分析】 （1）此题根据已知条件容易证明BEAAFC，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论；（2）根据（1）知道BEAAFC 仍然成立，再根据对应边相等就可以求出 EF了【解答】 （1）证明：BEEA，CFAF，BAC=BEA=CFE=90，EAB+CAF=90，EBA+EAB=90，第2424页（共3535页）CAF=EBA，在ABE 和AFC 中，BEA=AF

34、C=90，EBA=CAF，AB=AC，BEAAFCEA=FC，BE=AFEF=EB+CF（2）解：BEEA，CFAF，BAC=BEA=CFE=90，EAB+CAF=90，ABE+EAB=90，CAF=ABE，在ABE 和AFC 中，BEA=AFC=90，EBA=CAF，AB=AC，BEAAFCEA=FC=3，BE=AF=10EF=AFCF=103=7【点评】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用它们解决问题，经常用全等来证线段和的问题19 （2012 秋巫山县期末）如图，ABC 中，A=30，C=90，BE 平分ABC，AC=9cm，求 CE 的长【分析】在三角形 ABC 中，由 A 和

35、C 的度数，利用三角形的内角和定理求出ABC 的度数，再由 BE 平分ABC，可得出EBA=A=CBE=30，利用等角对等边得到 BE=AE，设CE=x，由ACCE 及 AC 的长表示出 AE，可表示出BE，在三角形 BCE 中，由=CBE=30，利用直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半，可得出 CE 为 BE 的一半，列出关于 x 的方程，求出方程的解得到 x 的值，第2525页（共3535页）即为 CE 的长【解答】解：ABC 中，A=30，C=90，ABC=60，又 BE 平分ABC，CBE=ABE=ABC=30，ABE=A=30，EB=EA，又 AC=9cm，设 EC=xcm

36、，则 AE=BE=ACCE=（9x）cm，在 RtBCE 中，CBE=30，CE=BE，即 x=（9x） ，解得：x=3，则 CE=3【点评】此题考查了含 30角直角三角形的性质，等腰三角形的判定，以及角平分线的性质，利用了方程的思想，熟练掌握性质及判定是解本题的关键20 （2010 秋本溪期中）如图所示，AB=AC，A=120，点 E 在 AB 边上，EF 垂直平分 AB，交 BC 于 F，EGBC，垂足为 G，若 GF=4，求 CF 的长【分析】连接 AF，由 AB=AC，且BAC=120，利用等边对等角及三角形的内角和定理求出B 与C 的度数为 30，再由 EF 垂直于 AB，EG 垂直

37、于 BC，得到两对角互余， 利用同角的余角相等得到GEF 的度数为 30，在直角三角形 EFG 中，利用 30所对的直角边等于斜边的一半，由 GF 的长求出 EF 的长，在直角三角形EFB 中，再利用 30所对的直角边等于斜边的一半，由 EF 的长求出 BF 的长，即为 AF 的长，由BACBAF 求出FAC 为直角，利用 30所对的直角边等于斜边的一半，由 AF 的长即可求出 FC 的长【解答】解：连接 AFAB=AC，BAC=120，B=C=30，第2626页（共3535页）EFAB，EGBF，BEG+GEF=90，又B+BEG=90，GEF=B=30，GF=4，在 RtGEF 中，EF=

38、2GF=8，在 RtBEF 中，BF=2EF=16，EF 垂直平分 AB，AF=BF=16，BAF=B=30，FAC=12030=90，又C=30，FC=2AF=32【点评】此题考查了含 30直角三角形的性质，线段垂直平分线定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键21 （2009 秋崇明县期末）已知MAN，AC 平分MAN（1）在图 1 中，若MAN=120，ABC=ADC=90，求证：AB+AD=AC；（2）在图 2 中，若MAN=120，ABC+ADC=180，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由【分析】 （1）根据含 30角的直角三角

39、形的性质进行证明；（2）作 CEAM、CFAN 于 E、F根据角平分线的性质，得 CE=CF，根据等角的补角相等，得CDE=ABC，再根据AAS 得到CDECBF，则DE=BF再由MAN=120，AC 平分MAN，得到ECA=FCA=30，从而根据 30所对的直角边等于斜边的一半，得到 AE=AC，AF=AC，等量代换后即可证明 AD+AB=AC第2727页（共3535页）仍成立【解答】 （1）证明：MAN=120，AC 平分MAN，CAD=CAB=60又ABC=ADC=90，AD=AC，AB=AC，AB+AD=AC（2）解：结论仍成立理由如下：作 CEAM、CFAN 于 E、F则CED=CF

40、B=90，AC 平分MAN，CE=CFABC+ADC=180，ADC+CDE=180CDE=ABC，在CDE 和CBF 中，CDECBF（AAS） ，DE=BFMAN=120，AC 平分MAN，MAC=NAC=60，ECA=FCA=30，在 RtACE 与 RtACF 中，则有 AE=AC，AF=AC，则 AD+AB=AD+AF+BF=AD+AF+DE=AE+AF=AC+AC=ACAD+AB=AC【点评】此题综合考查了角平分线的性质、全等三角形的性质和判定及含 30角的直角三角形的知识；作出辅助线是正确解答本题的关键注意：在探索（2）第2828页（共3535页）的结论的时候，能够运用（1）的结

41、论22 （2009 秋荆州区校级期中）如图，在ABC 中，B=90，BC=12 厘米，AB的值是等式 x31=215 中的 x 的值点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 B 点以 1.5 厘米秒的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向 C 点以 2 厘米秒的速度移动求 AB 的长度厘米如果 P、Q 分别从 A、B 两点同时出发，问几秒钟后，PBQ 是等腰三角形并求出此时这个三角形的面积【分析】先计算 x31=215，易求 x=6，即 AB=6，再设经过 x 秒后，PBQ 是等腰三角形，那么有61.5x=2x，易得x=【解答】解： （1）x31=215，x3=216，x=6，故 AB=6

42、cm；，再根据三角形面积公式易求其面积（2）设经过 x 秒后，PBQ 是等腰三角形，那么BP=BQ，即 61.5x=2x，解得 x=，）2=SPBQ=BP2=（答：经过秒钟后，PBQ 是等腰三角形，此时这个三角形的面积是第2929页（共3535页）【点评】本题考查了立方根的计算、三角形的面积计算、等腰三角形的性质解题的关键是先画图，并求出 AB23 （2016 秋青龙县期末）已知：如图，BAC=BDC=90，点 E 在 BC 上，点F 在 AD 上，BE=EC，AF=FD求证：EFAD【分析】 连接 AE， DE， 由直角三角形斜边的中线是斜边的一半易得 AE=DE=，由全等三角形的判定定理可

43、得 AEFDEF，由全等三角形的性质定理可得AFE=DFE=90，即得出结论【解答】解：连接 AE，DE，BAC=BDC=90，BE=EC，AE=，DE=，AE=DE，在AEF 与DEF 中，AEFDEF（SSS） ，AFE=DFE=90，即 EFAD第3030页（共3535页）【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线和全等三角形的判定及性质，作出适当的辅助线是解答此题的关键24 （2016 春广饶县期末）如图，ABC 中，CD、BE 分别是 AB、AC 边上的高，M、N 分别是线段 BC、DE 的中点（1）求证：MNDE；（2）连结 DM，ME，猜想A 与DME 之间的关系，并写出推理过

44、程；（3）若将锐角ABC 变为钝角ABC，如图，上述（1） （2）中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由【分析】 （1）连接DM、ME，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DM=BC，ME=BC，从而得到 DM=ME，再根据等腰三角形三线合一的性质证明；（2）根据三角形的内角和定理可得ABC+ACB=180A，再根据等腰三角形两底角相等表示出BMD+CME，然后根据平角等于 180表示出DME，整理即可得解；（3）根据三角形的内角和定理可得ABC+ACB=180A，再根据等腰三角形两底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出BME+

45、CME，然后根据平角等于 180表示出DME，整理即可得解【解答】解： （1）如图，连接 DM，ME，CD、BE 分别是 AB、AC 边上的高，M 是 BC 的中点，第3131页（共3535页）DM=BC，ME=BC，DM=ME又N 为 DE 中点，MNDE；（2）在ABC 中，ABC+ACB=180A，DM=ME=BM=MC，BMD+CME=（1802ABC）+（1802ACB） ，=3602（ABC+ACB） ，=3602（180A） ，=2A，DME=1802A；（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，理由如下：在ABC 中，ABC+ACB=180A，DM=ME=BM=MC，BME+CM

46、D=2ACB+2ABC，=2（180A） ，=3602A，DME=180（3602A） ，=2A180【点评】 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，整体思想的利用是解题的关键第3232页（共3535页）25 （2016 秋常熟市期中）如图，ABC 中，CFAB，垂足为 F，M 为 BC 的中点，E 为 AC 上一点，且 ME=MF（1）求证：BEAC；（2）若A=50，求FME 的度数【 分 析 】 （ 1 ） 根 据 直 角 三 角 形 斜 边 上 的 中 线 等 于 斜 边 的 一 半 可 得MF=BM=CM=BC，再求出

47、ME=BM=CM=BC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明；（2）根据三角形的内角和定理求出ABC+ACB，再根据等腰三角形两底角相等求出BMF+CME，然后根据平角等于 180列式计算即可得解【解答】 （1）证明：CFAB，垂足为 F，M 为 BC 的中点，MF=BM=CM=BC，ME=MF，ME=BM=CM=BC，BEAC；（2）解：A=50，ABC+ACB=18050=130，ME=MF=BM=CM，BMF+CME=（1802ABC）+（1802ACB）=3602（ABC+ACB）=3602130=100，在MEF 中，FME=180100=80【点评】 本题考查了直角三角形

48、斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角第3333页（共3535页）形的判定与性质，熟记性质是解题的关键，难点在于（2）中整体思想的利用26 （2016 秋锡山区期中）如图，在 RtABC 中，ABC=90，点 D 是 AC 的中点，作ADB 的角平分线 DE 交 AB 于点 E，（1）求证：DEBC；（2）若AE=3，AD=5，点P 为线段 BC 上的一动点，当BP 为何值时，DEP 为等腰三角形请求出所有 BP 的值【分析】 （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 BD=AD=AC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得 DEAB，再根据垂直于同一直线的两直线平行证明；（2）利用

49、勾股定理列式求出DE 的长，根据等腰三角形三线合一的性质求出BE=AE，然后分 DE=EP、DP=EP、DE=DP 三种情况讨论求解【解答】 （1）证明：ABC=90，点 D 是 AC 的中点，BD=AD=AC，DE 是ADB 的角平分线，DEAB，又ABC=90，DEBC；（2）解：AE=3，AD=5，DEAB，DE=4，DEAB，AD=BD，第3434页（共3535页）BE=AE=3，DE=EP 时，BP=，DP=EP 时，BP= DE=4=2，DE=DP 时，过点 D 作 DFBC 于 F，则 DF=BE=3，由勾股定理得，FP=点 P 在 F 下边时，BP=4点 P 在 F 上边时，BP=4+综上所述，BP 的值为=，2，4，4+，【点评】 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定，难点在于（2）要分情况讨论第3535页（共3535页）