初二数学竞赛试题及答案.pdf

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1、数学竞赛初二试题（五）数学竞赛初二试题（五）1将 1，2，3，4，5 这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（）（A）2 种（B）3 种（C）4 种（D）5 种2小王沿街匀速行走，发现每隔 6 分钟从背后驶过一辆 18 路公交车，每隔 3 分钟从迎面驶来一辆 18 路公交车假设每辆 18 路公交车行驶速度相同，而且 18 路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是分钟3如图，在ABC中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD是BAC的平分线，MFAD，则FC的长为1 1 2 2 29294已知 0

2、a0，那么就可以交换b，c的位置，这称为一次操作.（1）若圆周上依次放着数 1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的 4 个数a，b，c，d，都有(a d)(b c)0？请说明理由.（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着 2003 个正整数 1，2，2003，问：是否能经过有限次操作后， 对圆周上任意依次相连的 4 个数a，b，c，d， 都有(ad)(bc)0？请说明理由.解：（1）（2）12已知x462153bab，为互质的正整数（即a，b是正整数，且它们的最大公约数为 1），a且a8，2 1 x 3 1（）试写出一个满足条件的x；（）求所有满足条件的x

3、13、如下图已知ABC内，P、Q分别在BC，CA上，并且AP、BQ分别是BAC、ABC的平分线。（1）若BAC=60，ACB=40，求证：BQ+AQ=AB+BP；（2）若ACB=时，其他条件不变，直接写出BAC=（）时，仍有BQ+AQ=AB+BP。14、用任意的方式,给平面上的每一点染上黑色或白色.求证:一定存在一个边长为 1 或3的正三角形,它的三个顶点是同色的.15. 将1, 2, 3, ，10这十个数按着某一顺序排成一行, 使得每相邻三个数的和都不超出n. 问:( 1)当n= 10时, 能否排成, 请说明理由;( 2)当能够排成时,n的最小值是多少?16. 已知实数a，b，c满足：a+b

4、+c=2，abc=4.（1）求a，b，c中的最大者的最小值；（2）求abc的最小值.17（本题4分）在等腰三角形ABC中，AB=AC,延长边AB到点D,延长边CA到点E,连结DE,恰有AD=BC=CE=DE.求BAC的度数。参考答案参考答案、法一：设a1，a2，a3，a4，a5是 1，2，3，4，5 的一个满足要求的排列D DB BC CE EA A首先，对于a1，a2，a3，a4，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾又如果ai（1i3）是偶数，ai+1 是奇数，则ai+2 是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数所以a

5、1，a2，a3，a4，a5只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下 5 种情形满足条件：2，1，3，4，5；2，3，5，4，1；2，5，1，4，3；4，3，1，2，5；4，5，3，2，1法二：第一位是 2，后面两位奇数任意：21345、23145、21543、25143、23541、25341第一位是 4，后面两位奇数不能是 1、5 或 5、1：41325、43125、43521、45321排除：23145、21543、25341、41325、43521还剩：21345、25143、23541、43125、45321所以共有 5 种排法故选：D、设 18 路公交车的速度是x米/分，小王行走的速度是y

6、米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s米每隔 6 分钟从背后开过一辆 18 路公交车，则 6x6y=s每隔 3 分钟从迎面驶来一辆 18 路公交车，则 3x+3y=s由，可得s=4x，所以s=4x即 18 路公交车总站发车间隔的时间是 4 分钟故选B、解：过点B作BGAD交CA延长线于GAD平分BACBADCADBGADABGBAD，GCADABGGAGAB7CGAG+AC7+1118MFADMFBGM是BC的中点MF是三角形CBG的中位线FCCG/29、解：因为0a 1 1 2 2 29291 12 22929 a a 2 2，所以a ，a ，a 等3030303030303030303030

7、30于 0 或 1由题设知，其中有 18 个等于 1，所以1 1 2 2 1111121213132929=0，=1，a a a a a a 303030303030303030303030111112122 1 1，1a 303030301919故 1830a19，于是 610 a，所以1010a=63 3所以0 0 a 、282500 解：设原来电话号码的六位数为abcdef，则经过两次升位后电话号码的八位数为2 2a8 8bcdef根据题意，有 81abcdef=2 2a8 8bcdef记x b10104 4 c10103 3 d 10102 2 e1010 f，于是8181a10105

8、 5 8181x 20820810105 5 a10106 6 x，解得x=1250(20871a) 因为 0 x10105 5，所以 01250(20871a)10105 5，故128128208208 a71717171因为a为整数，所以a=2于是x=1250(208712)=82500所以，小明家原来的电话号码为 282500A A、在平面上有 7 个点，其中任意 3 个点都不在同一条直线上，连接其中任意两个点，最多能画 6+5+4+3+2+1=21 条线段以这些线段为边，最多能构成7(71)(72)6=35 个三角形答：最多可以得到 21 条线段；以这些线段为边，最多能构成 35 个三

9、角形故答案为：21，35E EB BF FL LH HK KG GC CD D、a2b2=bc,即a2=b(b+c),b2c2=ca,即ca = (b+c)(bc),两式相除得：a/c=b/(bc),即abac=bc,c(a+b)=ab.（*）a2b2=bc,b2c2=ca,两式相加得：a2c2=c(a+b),将（*）代入上式得：a2c2=ab.、欲证四边形是正方形，只须证：(1)四边形是平行四边形；(2)=；(3)1(1)如图7，连结C、，延长交AC于点K，延长D交AB于点则由EFAC，2GH=AC图7令EFHG，EF=HG 因此，四边形EFGH是平行四边形(2)只须BD=AC 由已知条件得

10、BLC=900，ADL=45012LA=LD，BL=LC所以，LBDLCABD=AC再证(3)成立由(2)的结果得LBD=LCA，立得DKC=90 ，即BKAC从而，GHHE由此知四边形EFGH是正方形9、解：（1）如图 1 所示，作DEy轴于E点，作PFy轴于F点，可得DEA=AFP=90，DAP为等腰直角三角形，AD=AP，DAP=90，EAD+DAB=90，DAB+BAP=90，EAD=BAP，ABPF，BAP=FPA，EAD=FPA，在ADE和PAF中，DEA=AFP=90EAD=FPA0AD=AP，ADEPAF（AAS），AE=PF=8，OE=OA+AE=14，设点D的横坐标为x，由

11、 14=2x+6，得x=4，点D的坐标是（4，14）；（2）存在点D，使APD是等腰直角三角形，理由为：直线y=2x+6 向右平移 6 个单位后的解析式为y=2（x6）+6=2x6，如图 2 所示，当ADP=90时，AD=PD，易得D点坐标（4，2）；如图 3 所示，当APD=90时，AP=PD，设点P的坐标为（8，m），则D点坐标为（14m，m+8），由m+8=2（14m）6，得m=D点坐标（ ,）如图 4 所示，当ADP=90时，AD=PD时，同理可求得D点坐标（ ,），综上，符合条件的点D存在，坐标分别为（4，2），（ ,）（ ,）、设x1，x2，x2008中有q个 0，r个1，s个 1

12、，t个 2（2 分）则r+s+2t200r+s+4t2008（5 分）两式相加得s+3t=1104故 0t368（10 分）由x13+x23+x20083=r+s+8t=6t+200，（12 分）得 200 x13+x23+x200836368+200=2408（15 分）由方程组知：当t=0，s=1104，r=904 时，x13+x23+x20083取最小值 200；（17 分）当t=368，s=0，r=536 时，x13+x23+x20083取最大值 2408（20 分）、（1）答：能具体操作如下：（2）答：能理由：设这 2003 个数的相邻两数乘积之和为P开始时，P0=12+23+34+

13、20022003+20031，经过k（k0）次操作后，这 2003 个数的相邻两数乘积之和为Pk，此时若圆周上依次相连的 4 个数a，b，c，d满足不等式（ad）（bc）0，即ab+cdac+bd，交换b，c的位置后，这 2003 个数的相邻两数乘积之和为Pk+1，有Pk+1Pk=（ac+cb+bd）（ab+bc+cd）=ac+bdabcd0所以Pk+1Pk1，即每一次操作，相邻两数乘积的和至少减少 1，由于相邻两数乘积总大于 0，故经过有限次操作后，对任意依次相连的 4 个数a，b，c，d，一定有（ad）（bc）0、解：（1）x （2）因为x 1 1满足条件5 分2 2b，a，为互质的正整数

14、，且a8，所以ab2 2 1 1 3 3 1 1，即( 2 2 1 1)a b ( 3 3 1 1)aa当a=1 时，( 2 2 1 1)1 1 b ( 3 3 1 1)1 1，这样的正整数b不存在1 12 22 2当a=3 时，( 2 2 1 1)3 3 b ( 3 3 1 1)3 3，故b=2，此时x 3 3当a=2 时，( 2 2 1 1)2 2 b ( 3 3 1 1)2 2，故b=1，此时x 当a=4 时，( 2 2 1 1)4 4 b ( 3 3 1 1)4 4，与a互质的正整数b不存在当a=5 时，( 2 2 1 1)5 5 b ( 3 3 1 1)5 5，故b=3，此时x 3

15、35 5当a=6 时，( 2 2 1 1)6 6 b ( 3 3 1 1)6 6，与a互质的正整数b不存在当a=7 时，( 2 2 1 1)7 7 b ( 3 3 1 1)7 7，故b=3，4，5 此时x 当a=8 时，( 2 2 1 1)8 8 b ( 3 3 1 1)8 8，故b=5，此时x 所以，满足条件的所有分数为、解：（1）BAC=60，ACB=40，ABC=180BACACB=1806040=80，BQ平分ABC，CBQ= ABC= 80=40，CBQ=ACB，BQ=CQ，BQ+AQ=CQ+AQ=AC，过点P作PDBQ交CQ于点D，则CPD=CBQ=40，CPD=ACB=40， P

16、D=CD，ADP=CPD+ACB=40+40=80，ABC=80， ABC=ADP，AP平分BAC，BAP=CAP，在ABP与ADP中，5 58 83 34 45 5，7 77 77 71 12 23 33 34 45 55 5，15 分2 23 35 57 77 77 78 8，ABPADP（AAS），AB=AD，BP=PD，AB+BP=AD+PD=AD+CD=AC，由可得，BQ+AQ=AB+BP；（2）2、证明:(1)若平面上存在距离为 2 的两个点A,B异色,设O为它们的中点,不妨设A,O同色.考虑以AO为一边的正三角形AOC,AOD,若C,D中有一个与A,O同色,则该三角形满足题意.否

17、则BCD为边长3的同色正三角形.(2)否则平面上任两个距离为 2 的点均同色,考虑任意两个距离为 1 的点,以他们连线为底,2为腰长作等腰三角形,则任一腰的两顶点同色.所以三个顶点同色,即任两个距离为 1 的点同色.所以平面上任意一个边长为 1 的正三角形三个顶点同色.证毕、解：( 1)假设n = 10 时已经排出. 则后九个数之和小于或等于30. 从而, 第一个数不小于25, 矛盾. 故不能排出.( 2)与( 1)的考虑方式相同.当n= 11, 12, 13, 14时, 均不能排出.当n= 15时, 由前九个数之和小于或等于45, 推出第十个数排10;又从后面九个数之和小于或等于45, 推出

18、第一个数排10. 然而, 只有一个10, 故也不能排出.当n= 16时, 可以排出. 如10, 5, 1, 7, 6, 2, 8,3, 4, 9或9, 4, 3, 7, 2, 6, 8, 1, 5, 10.据此知可排出时,n的最小值是16.、(1)设a最大,由题意必有a0，b+c=2a,bc=4/a,于是b,c是方程x2(2a)x+4/a=0 的两实根则=(a2)24*4/a0去分母得a34a2+4a160,(a4)(a2+4)0所以a4又当a=4，b=c=1即a，b，c中最大者的最小值为 4（2）因为abc=40，a+b+c=20所以a，b，c可能全为正，或一正二负当a，b，c全为正时，由（

19、1）知a，b，c中最大者的最小值为 4，这与a+b+a=2 矛盾当a，b，c一正二负时，设a0，b0，c0则|a|+|b|+|c|=abc=a（b+c）=a（2a）=2a2由（1）知a4所以 2a26所以|a|+|b|+|c|的最小值就是 6、过D做BC的平行线,过C做AB的平行线,两线交于一点F,连接EF设ABC=x度BC/DF,CF/DB；四边形BDFC为平行四边形.BCF=FDB=ABC=x度EAD=ACF=2x度又AB=AC,BC=AD=DE=CE.AE=BD=CF；DF=BC=DE.在ADE和EFC中CF=AECE=DEECF=EAD=2xADEEFCEF=AD,EFD为等边三角形EDF=EDA+ADF=(18022x)+x=60 x=40BAC=180240=100 度.