宏观经济学分析方法系列：变分法、欧拉方程、极值路径与动态经济模型分析(共13页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业=附录：附录：宏观经济学分析方法：宏观经济学分析方法：变分法、极值路径与动态最优化变分法、极值路径与动态最优化（0808、0909、1010、1111 硕已讲，精细订正版）硕已讲，精细订正版）一、动态最优化一、动态最优化在在静态最优化问题静态最优化问题中，我们寻找在一个特定的时间点或区间上中，我们寻找在一个特定的时间点或区间上，使一个给定的函数最大化和最小化的一个点或一些点使一个给定的函数最大化和最小化的一个点或一些点： 给定一个函数给定一个函数)(xyy ，最优点，最优点x的一阶条件是的一阶条件是0)(xy. .在在动态最优化问题动态最优化问题中中，

2、 我们要寻找使一个给定的积分最大化或最我们要寻找使一个给定的积分最大化或最小化的小化的曲线曲线)(tx 这个最大化的积分定义为独立变量这个最大化的积分定义为独立变量t、 函数函数)(tx及它及它的导数的导数dtdx/的函数的函数F下的下的面积面积。简言之，假设时间区域从简言之，假设时间区域从00t到到Tt 1，且用，且用x 表示表示dtdx/，我们，我们寻找最大化或最小化寻找最大化或最小化TdttxtxtF0)(),(,（20.120.1）这里假定这里假定F对对t、)(tx、)(tx 是连续的，且具有对是连续的，且具有对x和和x 的连续偏导数的连续偏导数将形如将形如(20(20 1)1)， 对

3、每一个函数对每一个函数)(tx对应着一个数值的积分称为对应着一个数值的积分称为 “泛泛函函” 一个使泛函达到最大或最小值的曲线称为一个使泛函达到最大或最小值的曲线称为“极值曲线极值曲线” 精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业极值可接受的极值可接受的“候选候选”极值曲线极值曲线是在定义域上连续可微是在定义域上连续可微，且特别且特别地满足一些固定端点条件的函数类地满足一些固定端点条件的函数类)(tx（讲（讲！ ）例例 1 1一家公司当希望获得从时间一家公司当希望获得从时间0t到到Tt 的最大利润时发现，产的最大利润时发现，产品的需求不仅依赖于产品的价格品的需求不仅依赖于产品的价格p， 而且也

4、依赖于价格关于时间的变而且也依赖于价格关于时间的变化率如化率如dtdp/。 假设成本是固定的假设成本是固定的， 并且每个并且每个p和和dtdp/是时间的函数是时间的函数，p 代表代表dtdp/，公司的目标可以作如下数学表示，公司的目标可以作如下数学表示TdttptptMax0)(),(,另一家公司发现它的总成本依赖于生产水平另一家公司发现它的总成本依赖于生产水平)(tx和生产的变化和生产的变化率率xdtdx/ 假设这个公司希望最小化成本假设这个公司希望最小化成本， 且且x和和x 是时间是时间t的函数的函数，公司的目标可以写成公司的目标可以写成10)(),(,minttdttxtxtC满足满足1

5、100)(,)(xtxxtx且这些初始和终值约束称为这些初始和终值约束称为端点条件端点条件精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业例例 2 2RamseyRamsey 经济：消费最优化问题经济：消费最优化问题从家庭终生效用函数的集约形式从家庭终生效用函数的集约形式)(cUU 出发，在消费预算约束出发，在消费预算约束的集约形式下求解家庭终生效用最大化问题，就是所谓的集约形式下求解家庭终生效用最大化问题，就是所谓“RamseyRamsey 问问题题”找出一条消费路径找出一条消费路径)(tc，使家庭终生效用函数，使家庭终生效用函数)(cUU 最大化最大化：0)()(1)(max0)()(010dt

6、etctkdttceBtRtgntc二、欧拉方程：动态最优化的必要条件（三种形式）二、欧拉方程：动态最优化的必要条件（三种形式）定理（泛函极值曲线即最优化定理（泛函极值曲线即最优化) )的必要条件的必要条件） ：对于一个对于一个泛函泛函10)(),(,ttdttxtxtF连接点连接点),(00 xt和和),(11xt的曲线的曲线)(txx是一个是一个极值曲线极值曲线( (即最优化即最优化) )的的必必要条件要条件是是xFdtdxF(20(202a)2a)称之为称之为欧拉方程欧拉方程尽管该定理等价于静态最优化的一阶必要条件尽管该定理等价于静态最优化的一阶必要条件， 但是由式中稍微但是由式中稍微不

7、同的记号可以容易了解，欧拉方程实际上是一个二阶微分方程不同的记号可以容易了解，欧拉方程实际上是一个二阶微分方程用下标表示偏导数，并列出其自变用下标表示偏导数，并列出其自变“量量” ，它们本身也可能是函，它们本身也可能是函精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业数数(20(202a)2a)的的欧拉方程欧拉方程表示为表示为),(),(xxtFdtdxxtFxx(20(202b)2b)然后，用然后，用链式法则链式法则求求xF关于关于t的导数，并且省略自变的导数，并且省略自变“量量” ，得，得)()(xFxFFFxxxxt xx (20(202c)2c)这里，这里，22/dtxdx 下面给出下面给出

8、欧拉方程欧拉方程是是极值曲线的必要条件极值曲线的必要条件的证明。的证明。)(tx1tmhxX0txt图图 20-220-2证明证明： （重点！重点！0909、1010、1111 硕，已讲硕，已讲）设设)(txx是图是图 20-220-2 中连接点中连接点),(00 xt和和),(11xt的曲线，并且它使的曲线，并且它使下面泛函取得最大值下面泛函取得最大值精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业10)(),(,ttdttxtxtF(20(203)3)即即)(txx为为极值曲线极值曲线，欧拉方程欧拉方程(20(202a)2a)是是)(txx为为极值曲线极值曲线的的一个一个必要条件必要条件取取)(

9、)(tmhtxX是是)(txx的相邻曲线的相邻曲线， 这里这里m是是任意常数任意常数，)(th是一个是一个任意函数任意函数为了使曲线为了使曲线X也通过点也通过点),(00 xt和和),(11xt，则，则X也满也满足足端点条件：端点条件：0)(0)(10thth(20(204)4)一旦取定一旦取定)(tx和和)(th之后，因之后，因)(tx和和)(th固定，则积分值固定，则积分值10)(),(,ttdttxtxtF仅为仅为m的函数，不妨改写成的函数，不妨改写成10)()(,)()(,)(ttdtthmtxtmhtxtFmg(20(205)5)由于由于)(tx使使(20(203)3)中的泛函中的泛

10、函10)(),(,ttdttxtxtF实现最优化，所以实现最优化，所以(20(20 5)5) 中 的 函 数中 的 函 数)(mg仅 当仅 当0m时 （时 （ 因 为因 为0m时 的时 的10)()(,)()(,)(ttdtthmtxtmhtxtFmg才能还原为才能还原为10)(),(,ttdttxtxtF） 实现实现最优化，即有最优化，即有00mdmdg(20(206)6)对对(20(205)5)即即10)()(,)()(,)(ttdtthmtxtmhtxtFmg用用链式法则链式法则求求mF /由于由于F是是x和和x 的函数的函数，依次又是依次又是m的函数的函数，代入代入(20(207)7)

11、得得dtmhmxxFmmhxxFdmdgtt10)()(精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业由于由于hmmhx)(且且hmhmx)(，用条件，用条件(20(206)6)即即00mdmdg，有，有0)()(100dtthxFthxFdmdgttm(20(208)8)方括号中的第一项不动，第二项的积分用方括号中的第一项不动，第二项的积分用分部积分分部积分，（注：注：分部积分公式即分部积分公式即)(),(tvvtuuudvvuvdubtatbtatba令令)(,thuxFFvx所以，所以，dtxFdtddtdtdFdtdtdvdvx)(dtthdtdtdudu)(）1010100)()()(0

12、ttttttmdtthxFdtdthxFdtthxFdmdg由由(20(204)4)知知，0)()(10thth，从而从而0)()(10thth，于是上式中第二项于是上式中第二项去掉，合并其余两项，有去掉，合并其余两项，有100)(0ttmdtthxFdtdxFdmdg（20209)9)由于由于)(th是不必为零的是不必为零的任意函数任意函数，因此推出因此推出，对于对于极值曲线的必要条极值曲线的必要条件件为方括号中式子为零，即为方括号中式子为零，即0 xFdtdxF或或xFdtdxF这就是这就是欧拉方程欧拉方程定理证毕。定理证毕。精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业三、求候选极值曲线三、

13、求候选极值曲线在动态最优化问题中在动态最优化问题中， 求满足固定端点条件的求满足固定端点条件的、 使一个给定积分使一个给定积分最大化或最小化的候选极值曲线，最大化或最小化的候选极值曲线，由如下五步来完成：由如下五步来完成：1 1、设被积函数为、设被积函数为F，即，即),(xxtFF2 2、求、求F对对x和和x 的偏导数，记的偏导数，记xxFxFFxF /,/3 3、代入、代入欧拉方程欧拉方程(20(202a)2a)或或(20(202b)2b)4 4、求求xF关于关于t的导数的导数由于由于xF是是t，xx和的函数的函数，且且xx和又是又是t的函数的函数，因此，需要用因此，需要用链式法则链式法则5

14、 5、如果没有导数项、如果没有导数项( (xx 和) )，立即解出，立即解出x；如果有；如果有xx 和项，直到作出项，直到作出所有导数的积分，然后求出所有导数的积分，然后求出x。在例在例 3 3，例，例 4 4 中，给出了这个方法的例子中，给出了这个方法的例子例例 3 3设设Ttdtx tex032)46(，试用试用(20.(20. 4)4)中所列程序及中所列程序及(20(202a)2a)的记号的记号，最优化这个泛函如下：最优化这个泛函如下：1 1、设、设x texFt4632精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业2 2、则、则txFxexFt4,1233 3、代入、代入欧拉方程欧拉方程(

15、20(202a)2a)，有，有)4(123tdtdxet4 4、但、但4/ )4(dttd，代入上式，代入上式，4123txe5 5、由于没有、由于没有x 和和x 项，所以可直接求出项，所以可直接求出x，将这个解表成，将这个解表成)(tx，tetx331)(这个解满足动态最优化的这个解满足动态最优化的必要条件必要条件，只能说明它是一个，只能说明它是一个候选极值曲候选极值曲线线所以有必要使用所以有必要使用充分条件检验。充分条件检验。见下一节见下一节例例 4 4泛函泛函202)5124(dttxtx 满足满足4)2(1)0(xx求上述泛函的求上述泛函的候选极值曲线候选极值曲线，现在用，现在用(20

16、(202b)2b)的记号的记号1 1、设、设txtxF512422 2、则、则xFtFxx812且3 3、代入、代入欧拉方程欧拉方程(20(202b)2b)，xdtdt812 4 4、记、记dtdxx ，且，且xdtxddtdxdtd 22，xt 812 精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业5 5、由于有、由于有x ，对这个方程两边进行两次积分，积分的每一步仅有一，对这个方程两边进行两次积分，积分的每一步仅有一个常数个常数xctdtxtdt 8681212再积分，再积分，xctctdtxdtct828)6(21312 解出解出x，8841)(212ctcttx代入代入边值条件边值条件，8

17、8)0(22ccx441)2(81)2(41)2(112ccx代入式中，得解：代入式中，得解：12141)(3tttx四、变分法的充分条件四、变分法的充分条件假设对于极值曲线，必要条件是满足的假设对于极值曲线，必要条件是满足的1 1、如果泛函如果泛函)(),(,txtxtF在在xtx),(是是联合凹联合凹的的，则对于最大值情况则对于最大值情况，必必要条件是充分的。要条件是充分的。2 2、如果泛函如果泛函)(),(,txtxtF在在xtx),(是是联合凸联合凸的的，则对于最小值情况则对于最小值情况，必必精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业要条件是充分的要条件是充分的联合凹性和联合凸性联合凹

18、性和联合凸性， 由泛函的二阶导数的二次型的符号很容易由泛函的二阶导数的二次型的符号很容易确定给定判别式：确定给定判别式：xxxxxxxxFFFFD 1 1、(a)(a)如果，如果，01xxFD，且，且02 DD，D是是负定负定的，的，F是是严格凹严格凹的的，得到一个得到一个全局最大全局最大的极值曲线的极值曲线(b)(b)如果如果，01xxFD，且且02 DD，检验变量所有可能的次序检验变量所有可能的次序，D是是半负定半负定的，的，F是是简单凹简单凹的，则得到的，则得到局部最大局部最大的极值曲线的极值曲线2 2、(a)(a)如果如果01xxFD，且且02 DD，D是是正定正定的的，F是是严格凸严

19、格凸的的，从从而得到一个而得到一个全局最小全局最小的极值曲线的极值曲线(b)(b)如果如果01xxFD，且且02 DD，检验变量所有可能的次序检验变量所有可能的次序，D是是半正定半正定的，的，F是是简单凸简单凸的，则得到的，则得到局部最小局部最小的极值曲线的极值曲线例例 5 5下面是例下面是例 3 3 的充分条件的例子，这里泛函是的充分条件的例子，这里泛函是x texFt4632，txxeF312，tFx40012000121231131DeDeFFFFDttxxxxxxxx 精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业1D不符合对于全局最优的正定准则，但可以证明，如果这个判别式不符合对于全局最

20、优的正定准则，但可以证明，如果这个判别式对于变量的倒序也是半正定时，则对于局部最小，它是半正定的对于变量的倒序也是半正定时，则对于局部最小，它是半正定的0012000222132DDeFFFFDtxxxxxxxx 对每个变量的两种可能的顺序，对每个变量的两种可能的顺序，DDD, 0, 021是半正定是半正定的，泛函达到局部最小的，是充分条件的，泛函达到局部最小的，是充分条件用完全的相似的方式，可检验出例用完全的相似的方式，可检验出例 4 4 的充分条件的充分条件五、泛函约束的动态优化（已讲）五、泛函约束的动态优化（已讲）求一个极值曲线使最大或最小化一个给定积分求一个极值曲线使最大或最小化一个给

21、定积分TdtxtxtF0),(,(20(2010)10)满足积分约束满足积分约束kdtxtxtGT0),(,(20(2011)11)这里这里，k是一个常数是一个常数，利用拉格朗日乘子方法利用拉格朗日乘子方法，将约束将约束(20(2011)11)乘以乘以，然后与目标函数相加，形成拉格朗日函数：，然后与目标函数相加，形成拉格朗日函数：TdtGF0)(20(2012)12)精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业对于动态最优化对于动态最优化， 下面欧拉方程是有极值曲线的必要条件下面欧拉方程是有极值曲线的必要条件， 而非充分而非充分条件条件GFHxHdtdxH这里(20(2013)13)例例 6 6

22、泛函约束优化通常用于确定一条曲线泛函约束优化通常用于确定一条曲线， 使之满足给定的周长且使之满足给定的周长且所围的面积最大所围的面积最大 这样的问题称为这样的问题称为等周问题等周问题， 且通常将泛函记为且通常将泛函记为)(ty，而不是而不是)(tx 调整这个记号调整这个记号， 求包含最大区域求包含最大区域A的给定长度的给定长度k的曲线的曲线Y，这里这里dxyyxA)(21曲线的长度是曲线的长度是kdxyxx1021像像 20206 6 节解释的，建立节解释的，建立拉格朗日函数拉格朗日函数dxyyyxxx1021)(21(20(2014)14)设设H等于等于(20(2014)14)的被积函数，则

23、的被积函数，则欧拉方程欧拉方程是是yHdxdyH从从(20(2014)14)，212121yyxyHyH且精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业代入代入欧拉方程欧拉方程，222111212112121yydxdyydxdyyxdxd两边直接积分，然后整理，两边直接积分，然后整理，)(112cxyy 方程的两边平方，解出方程的两边平方，解出y ，21221212212212212222122)()()()()()()1 ()(cxcxycxcxycxycxyycxy两边积分得两边积分得2122)(cxcy两边平方，然后整理，可以表示成一个圆两边平方，然后整理，可以表示成一个圆22221)()(cycx这里，这里，1c，2c和和由由0 x，1x和和k决定。决定。