复合函数的导数.ppt

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1、3.2.3导数的四则运算导数的四则运算及复合函数的求导法则复合函数的求导法则复习:1.基本初等函数的导数公式11.( ),( )0;2.( ),( );3.( )sin,( )cos;4.( )cos,( )sin;5.( ),( )ln(0);6.( ),( );17.( )log,( )(0,1);ln8.nnxxxxafxcfxfxxfxnxfxxfxxfxxfxxfxafxaa afxefxefxxfxaaxa 公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1( )ln,( );fxxfxx则1. ( )( )( )( )f xg xf xg x2. ( )( )(

2、) ( )( )( )f xg xfx g xf x g x2( )( ) ( )( )( )3. ( ( )0)( )( )f xfx g xf x g xg xg xg x2.导数运算法则 ( ) ( )c f xc f x特殊地：(1) y=(1-sinx)(1+sinx),(1) y=(1-sinx)(1+sinx),求求yy(1 sin ) (1 sin )(1 sin )(1 sin )yxxxx解cos (1 sin )(1 sin )cosxxxx 2sin cossin2xxx (ln )xlnx(x)解lnxlnxyln,xyyx(5) 求(2)(2)的导数。求2)23(,

3、 3xy复合函数的导数复合函数的导数函数函数 ， ， 构成间的关系？构成间的关系？2uy 23 xu2)23( xy可由可由 与与 复合得到复合得到 2uy 23 xu2)23( xy1.复合函数现象1)x y=sin(3e2y=u , u=2x+12 y(21)xln , 2yu ux ln(2)yx sin ,31,xyu uvve象这样的函数就是复合函数.2.复合函数的定义 对于两(多)个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，: ( ).yf g x记作例例1 指出下列函数的复合关系：指出下列函数的

4、复合关系： 32)2(xy （1）2sin xy （2） xy4cos （3）)13sin(ln xy（4）例例2 写出由下列函数复合而成的函数：写出由下列函数复合而成的函数： （1） （2 2）21,cosxuuy xuuyln,ln 复合函数的导数复合函数的导数若若 ， ，求，求 23,2 xuuy)(,xfuyxu 2) 23()( xxf并分析三个函数解析式以及导数之间的关系并分析三个函数解析式以及导数之间的关系新授课新授课 .xuxyyu(1) ( )( ),g( ). yf g xyf u ux那么3.复合函数的求导法则即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中

5、间变量求导等于因变量对中间变量求导, , 乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导. . ( 链式法则链式法则 )例例1 求下列函数的导数求下列函数的导数2(1) (23)yx22(1)(23)23yxyuux 解： 函数可以看作函数和的复合函数。根据复合函数求导法则有2() (23)xuxyyuux224812.uux0.051(2) xye0.051(2) 0.051xuyeyeux 解 函数可以看作函数和的复合函数。根据复合函数求导法则有() ( 0.051)uxuxyyuex0.0510.050.05uxee )(sin()3(均为常数，其中xy(1)sin()sinyxyuu

6、x 解： 函数可以看作函数和的复合函数。 根据复合函数求导法则有(sin ) ()xuxyyuuxcoscos()ux复合函数的导数复合函数的导数例例1 求求 的导数的导数5)12( xy解：设解：设 ， 则则 12,5 xuuyxuxuxxuuyy) 12()(5 444) 12(102) 12( 525 xxu 例例2 求函数求函数 的导数。的导数。13 xy例例3 求函数求函数 的导数。的导数。3)12(xy练习练习3.,exxy 设设求求 y .解解xxxxxxy )e()e(2121 xxxxxx )e ()()e(2121 xxxxx )(e1)e(2121).e1()e(2121

7、xxx 若完全掌握了复合函数求导的链式法则，那么在对若完全掌握了复合函数求导的链式法则，那么在对初等函数求导时，就可以初等函数求导时，就可以“一步到位一步到位”.练习练习1.设设 f (x) = sinx2 ，求，求 f (x).解解22( )cos()xfxxx22 cosxx 练习练习2. ) 1(2xx计算解解xxxxxx21211) 1(222.11222xx解解先用除法的导数公式，遇到复合时，再先用除法的导数公式，遇到复合时，再用复合函数求导法则用复合函数求导法则.2222)1()1(1)(xxxxxy 222112211xxxxx .)1(1)1(1)1(2322222xxxxx

8、练习练习4.,求求 y .21xxy 设设作业：求下列函数的导数作业：求下列函数的导数（1）（2）5) 35 (xy)32sin(xy（3）322xey（4）) 12(log3xy5(1)(21)yx；1(3)31yx；5(5)1xyx；4)cos(12 )yx(；求下列函数的导数.(2)(51)ylnx； （1）运用复合函数求导法则的关键）运用复合函数求导法则的关键在于在于把复合函数分解成基本初等函数或把复合函数分解成基本初等函数或基本初等函数的四则运算。基本初等函数的四则运算。 （2）求导后必须把引进的中间变量）求导后必须把引进的中间变量代换成原来自变量的式子，熟练后可不代换成原来自变量的式子，熟练后可不必写出中间变量，直接：必写出中间变量，直接：“由外向内、由外向内、逐层求导逐层求导”。小结：小结：