§21导数的概念10111.ppt

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1、往届期末考试真题往届期末考试真题0 x1212)(11 xxxf1 1、 点点是函数是函数的（的（ ）间断点。）间断点。0 xxcos1 2sin2xa a2 2、当、当时，时，和和是等价无穷小，则是等价无穷小，则 。 )32(lim)2( nnnn3、求下列函数的极限：、求下列函数的极限：xxx20)sin1(lim)1( .12arcsin)11ln(lim )3(3231 xxx xxxsin2031lim)5( 12112lim)4( xxxxx.21lim )6( nnnnn. sinsinlim 4 xxxxx、bxxaxx )1(lim25 5、已知、已知，则则（ ）。2/1,

2、1 ba(B)2/1, 1 ba(C)0 ba(D)2/1, 1 ba(A) , 0,)1(, 0, 2, 0,1sin)(1xbxxxxxaxfx)(xf),( 6 6、设函数、设函数问问a, b为何值时为何值时，是是上的连续函数上的连续函数。xexgxxxxf )(,1| , 11| , 01| , 1)( )(xgf7 7、设、设，则，则 ；重点重点及几何解释及几何解释导数与微分导数与微分四则运算法则四则运算法则难点难点导数的实质，用定义求导，链式法则导数的实质，用定义求导，链式法则第二章第二章 导数与微分导数与微分基本要求基本要求准确叙述导数定义并深刻理解它的实质准确叙述导数定义并深刻

3、理解它的实质会用定义求导数会用定义求导数熟记求导基本公式熟记求导基本公式牢固掌握链式法则牢固掌握链式法则掌握隐函数和参量函数求导法掌握隐函数和参量函数求导法理解高阶导数，掌握求高阶导数的方法理解高阶导数，掌握求高阶导数的方法弄清微分与导数的联系与区别，理解并会运用弄清微分与导数的联系与区别，理解并会运用一阶微分的形式不变性一阶微分的形式不变性一、问题的提出一、问题的提出1. 变速直线运动的瞬时速度问题变速直线运动的瞬时速度问题2.1 导数的概念导数的概念 物体在时刻物体在时刻 t0 的瞬时速度定义为的瞬时速度定义为tsvtvtt 000limlim)( ttsttst )()(lim000 2

4、.切线问题切线问题Toxy)(xfy CNM 0 xx切线切线MT的斜率为的斜率为:.)()(lim000 xxfxxfkx 二、导数的定义二、导数的定义 定义定义: 设函数设函数 y=f (x)在点在点x0的某邻域内有定义的某邻域内有定义, 当当自变量自变量x在在x0处取得增量处取得增量 x(点点x0+ x仍在该邻域内仍在该邻域内)时时, 相应地相应地函数取得增量函数取得增量 y = f (x0+ x) f (x0); 如果当如果当存在存在, 则称则称函数函数 y=f (x)在在点点x0处可导处可导, 此极限值称为此极限值称为函数函数y=f (x)在点在点x0处的导数处的导数, 并记为并记为

5、f (x0), 即即xxfxxfxyxfxx )()(limlim)( 00000 也可记作也可记作:.)(,| 000 xxxxxxdxxdfdxdyy 导数的其它定义形式导数的其它定义形式:.)()(lim)(0000hxfhxfxfh .)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx 若上述极限不存在若上述极限不存在 ,在点在点 不可导不可导. 0 x若若,lim0 xyx也称也称)(xf在在0 x就说就说函数函数的导数为无穷大的导数为无穷大 . 如果函数如果函数 y=f (x)在开区间在开区间 I 内的每一点处都内的每一点处都可导可导, 就称就称. 如果对任一如果对任一x I, 都对

6、应着都对应着f (x)的一个确定的导数值的一个确定的导数值 f (x), 如此形如此形成的成的函数函数 f (x)称为称为. 记作记作.)(),(,dxxdfdxdyxfy或或 xxfxxfyx )()(lim0 .)()(lim)(0hxfhxfxfh 即即或或)(0 xf 0)(xxxfxxfd)(d0 导函数导函数f (x)简称为简称为导数导数, 而而f (x0)称为称为函数函数 f (x)在在点点x0处的导数处的导数或或导数导数f (x)在点在点x0处的值处的值. 1. 左导数左导数:xxfxxfxxxfxfxfxxx )()(lim)()(lim)(00000002. 右导数右导数:

7、xxfxxfxxxfxfxfxxx )()(lim)()(lim)(0000000 . 如果函数如果函数y=f (x)在开区间在开区间(a, b)内可导内可导, 且且f+(a)和和 f-(b)都存在都存在, 就说就说. 例例1: 讨论函数讨论函数 f (x) =| x |在在 x = 0 处的可导性处的可导性.三、用定义求导数三、用定义求导数(三步法三步法)步骤步骤:);()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 求比值求比值.lim)3(0 xyyx 求极限求极限例例2: 求函数求函数 f (x) = C (C为常数为常数)的导数的导数. 0)( C.cos)(s

8、inxx .|)(sin4 xx例例3 3: 求函数求函数 y = sin x 的导数和的导数和.sin)(cosxx 例例4: 求函数求函数 y = xn 的导数的导数 (n为正整数为正整数).)(1 nnnxx)(.)(1Rxx 例如，例如，)( x)(21 x2121xx21 x1)(1x11x21x 例例5: 求函数求函数 y = a x 的导数的导数( a0, a 1).ln)(aaaxx .)(xxee 例例6: 求函数求函数 y = loga x 的导数的导数( a0, a 1).axxaln1)(log .1)(lnxx 例例7.7. 设设)(0 xf 存在存在, 求极限求极限

9、.2)()(lim000hhxfhxfh四、导数的几何意义四、导数的几何意义oxy)(xfy 0 xT M f (x0)表示曲线表示曲线y= f (x)在点在点M(x0, f (x0)处的切线的斜率处的切线的斜率, 即即f (x0)=tan ( 为倾角为倾角)2 ,21(1在点在点xy 率率, 并写出曲线在该点处的切线方程和法线方程并写出曲线在该点处的切线方程和法线方程.例例8 8: 求等边双曲线求等边双曲线处的切线的斜处的切线的斜五、可导与连续的关系五、可导与连续的关系 定理定理: 若函数若函数 f (x)在点在点x0处可导处可导, 则则f (x)在点在点x0处处连续连续.连续函数不一定可导

10、举例连续函数不一定可导举例2)若若 f(x)在在x0点不连续，则点不连续，则 f(x)在在x0点必不可导。点必不可导。注意注意: :1)1)定理的逆定理不成立定理的逆定理不成立, ,即连续函数不一定可导即连续函数不一定可导. .例如例如,0,0,)(2 xxxxxf.0处连续，但不可导处连续，但不可导在在 xxy2xy 0 xy 例例9 9: 讨论函数讨论函数 0001sin)(xxxxxf在在x=0处的连续性与可导性处的连续性与可导性.)(xfy 例例1010: 设函数设函数0,0,sin)(xxaxxxf, 问问 a 取何值时取何值时,)(xf 在在),(都存在都存在 , 并求出并求出.

11、)(xf 六、小结六、小结1. 导数的实质导数的实质: 增量比的极限增量比的极限;3. 导数的几何意义导数的几何意义: 切线的斜率切线的斜率;4. ;5. 求导数最基本的方法求导数最基本的方法: ;6. 判断可导性判断可导性不连续不连续, 一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.2. f (x0) = a f-(x0) = f+(x0) = a.思考与练习思考与练习1. 函数函数 在某点在某点 处的导数处的导数)(xf0 x)(0 xf )(xf 区别区别:)(xf 是函数是函数 ,)(0 xf 是数值是数值;联系联系:0)(xxx

12、f)(0 xf 注意注意:有什么区别与联系有什么区别与联系 ? )()(00 xfxf？与导函数与导函数2. 设设)(0 xf 存在存在 , 则则._)()(lim000hxfhxfh3. 已知已知,)0(,0)0(0kff则则._)(lim0 xxfx)(0 xf 0k4. 若若),(x时时, 恒有恒有,)(2xxf问问)(xf是否在是否在0 x可导可导?解解:由题设由题设)0(f00)0()(xfxfx0由夹逼准则由夹逼准则0)0()(lim0 xfxfx0故故)(xf在在0 x可导可导, 且且0)0( f5. 设设0,0,sin)(xxaxxxf, 问问 a 取何值时取何值时,)(xf

13、在在),(都存在都存在 , 并求出并求出. )(xf 解解:)0(f00sinlim0 xxx1)0(f00lim0 xxaxa故故1a时时,1)0( f此时此时)(xf 在在),(都存在都存在, )(xf0,cosxx0,1x显然该函数在显然该函数在 x = 0 可导可导 .备用题备用题 解解: 因为1. 设)(xf 存在, 且, 12)1 () 1 (lim0 xxffx求).1 (f xxffx2)1 () 1 (lim0所以. 2) 1 ( fxfxfx2) 1 ()1 (lim0)() 1 ()(1 (lim210 xfxfx1) 1 (21f)(xf在 0 x处连续, 且xxfx)(lim0存在， 证明:)(xf在0 x处可导.证证：因为xxfx)(lim0存在， 则有0)(lim0 xfx又)(xf在0 x处连续,0)0(f所以xxfx)(lim0即)(xf在0 x处可导.2. 设xfxfx)0()(lim0)0(f 故