34_基本不等式(第二课时).ppt

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1、( (第二课时第二课时) )1. 掌握掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”的定理的定理.了解它的变式：了解它的变式：(1)a2+b22ab(a，bR)； (2) (a，bR+)；(3) (ab0)； (4) (a，bR).以上各式当且仅当以上各式当且仅当ab时取等号，并注意各式中字母的取时取等号，并注意各式中字母的取值要求值要求. abba22baab22222baba2.理解四个理解四个“平均数平均数”的大小关系；的大小关系；a，bR+，则，则 其中当且仅当其中当且仅当ab时取等号时取等号.2222babaabbaab2复习复习: 变式

2、变式 x 0 , 所以2121xxxx 当且仅当 时, 即x =1时取等号, 所以当 x =1时, 的值最小, 最小值为2.xx1xx1 练习练习 1. x0 , 当当 x 取什么值时取什么值时, 的值的值最小最小?最小值是多少最小值是多少?xx1解解: 因为因为 x 0. 11()()2()()2xxxx 当且仅当当且仅当 时时, 即即 x = - 1时取等号时取等号, 所以当所以当 x = - 1时时, 的值最大的值最大, 最大值为最大值为 - 2.1xx 1xx11 ()()2xxxx 故 变式变式 x 0 , 当 x 取什么值时, 的值最大? 最大值是多少?xx1已知x,y都是正数,

3、求证:(1)如果积 xy 是定值P,那么当x =y时,和 x+y有最小值(2)如果和 x+y是定值S,那么当x =y时,积 xy 有最大值; 2 P.412S证明:x, y都是正数, .2xyyx(1)积xy为定值P时, 有.2 ,2PyxPyx上式当x=y时取”=”号, 因此,当x=y时,和x+y有最小值; 2 P(2)和x+y为定值S时, 有.41 ,22Sxyyxxy上式当x=y时取”=”号, 因此,当x=y时,积xy有最大值.412S极值定理极值定理:( (1 1) )如如果果积积x xy y是是定定值值P P, ,那那么么当当x xy y时时, ,和和x xy y有有最最小小值值2

4、2 P P; ; 2 2( (2 2) )如如果果和和x xy y是是定定值值S S, ,那那么么当当x xy y时时, ,1 1积积x xy y有有最最大大值值S S . .4 4 注意：用均值不等式求最值的条件注意：用均值不等式求最值的条件: 一正二定三相等一正二定三相等用均值不等式求最值的规则用均值不等式求最值的规则: 和定积最和定积最大大,积定和最积定和最小小例例1:2 22 28181. . 已已知知x0,x0,求求x x的的最最小小值值. .x x解解:, 0 x,81,22Rxx1881281,2222xxxx得由平均不等式,3,8122时当且仅当xxx.188122的最小值为x

5、x 如果给定条件为如果给定条件为X X4 4结论有变化吗结论有变化吗? ? 的是下列函数中，最小值为 4xxxfA4)(.xxxfBsin4sin)(.xxxfC343)(. ( )lg4log 10 xD f xxC,E练习练习:1. ( )(2)2E f xxxx225. ( )1xF f xx极值定理可以理解为极值定理可以理解为:;22)(,) 1 (minPxyyxyxyxPxyyx有最小值和时且是定值的积与当两个正数.41)2()(,)2(22maxSyxxyxyyxSyxyx有最大值积时且为定值的和当两个正数用极值定理求最值的三个必要条件用极值定理求最值的三个必要条件 :一一“正正

6、”、二、二“定定”、三、三“相等相等”.,最大值定值相加最小值定值相乘2 2a ab b( (1 1) ) 已已知知a a, ,b b, ,x x, ,y yR R 且且1 1, ,x xy y求求证证：x xy y( ( a ab b) ). . 解解:ybxxaybaybxayxyxyx)(1)(2)(2bayxbxayba2min)()( ,bayxbayxyxbxay时即当且仅当例例2:,21,1132 2,x yRxyxy(2)已知且求证：并指出等号成立的条件。练习练习1:.)21 (,210的最大值求函数已知xxyx解解:,210 x2x,12x0,2x,12x0,)21 (221

7、xxy.81)2212(212xx.,41,212等号成立时当且仅当xxx.81,41函数的最大值为时当 x练习练习2:40,2 3.xxx已知求的最大值是_证明证明,4,3, 0Rxxx, 3443243xxxx, 342)43(2432xxxx. 342432 ,332,43的最大值是时当且仅当xxxxx,3_.a bababab2.若均为正数，且，则的取值范围是, , ,()()_.acbda b c dbdac1.若均为正数，则的最小值为4ab92220,0,1,21babaab3.设求的最大值。练习练习3:D例例3:其容积体无盖贮水池某工厂要建造一个长方,?,1201,1501,3,

8、4800223最低总造价是多少造价最低问怎样设计水池能使总元的造价为池壁每元的造价为如果池底每深为为mmmm解解:,34800,元水池总造价为则另一边的长为为设水池底面一边的长度ymxxm)348003232(12034800150 xxxxy得依题意,)1600(720240000 xx.29760016002720240000 xx.297600,40,1600有最小值时即当且仅当yxxx.297600,40,元最低总造价为水池的总造价最低的正方形时当水池的底面是边长为因此mAAAAAB练习练习3:一段长为一段长为Lm的篱笆围成一个一边靠墙的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园的矩形菜园,问这个

9、矩形的长问这个矩形的长,宽各为多少时宽各为多少时,菜菜园的面积最大园的面积最大,最大面积是多少最大面积是多少?xxl2解解:,)2(,mxlxm则另一边为设矩形靠墙一边的长为)2(xlxS依题意矩形的面积为)2(221)2(xlxxlxS.81)22(412122lxlx.,4,22矩形的面积最大时当且仅当lxxlx练习练习4:.21,:2dd这个正方形的面积等于大的为正方形面积最的圆的内接矩形中在直径为求证dx22,xdx则另一边长为设矩形的一边长为如图证明一证明一)(22222xdxxdxS面积2222221)2(dxdx.22,222时等号成立当且仅当dxxdx.21,2d其最大面积为时

10、即当这个矩形为正方形练习练习:.21,:2dd这个正方形的面积等于大的为正方形面积最的圆的内接矩形中在直径为求证证明二证明二dcossin,dd和则矩形的两边分别为角为设矩形一边与直径的夹如图cossinddS矩形的面积,2sin21cossin22122dd2max21,4, 12sindS时当且仅当.21,2d其最大面积为时即当这个矩形为正方形练习练习:.21,:2dd这个正方形的面积等于大的为正方形面积最的圆的内接矩形中在直径为求证.,222xySdyxyx面积则设矩形的边长为如图证明三证明三2max21,dSyx 时当且仅当.21,2d其最大面积为时即当这个矩形为正方形dxy,222xyyx222212dyxxyS算术平均数与几何平均数算术平均数与几何平均数 个数的算术平均数叫做这nnaaan21个数的几何平均数叫做这naaann21 n个正数的算术平均数个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数不小于它们的几何平均数 2 23 3求求函函数数y y2 2x x, ,( (x x0 0) ) 的的最最小小值值. .x x 如如:3322243212321232xxxxxxxxy解解:3min43y(错解错解:原因是取不到等号原因是取不到等号)正解正解:33322236232932323232323232xxxxxxxxy.3623,23,2323min2yxxx时当且仅当