632不等式的证明－－综合法.ppt

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1、问题：已知问题：已知x0，求证：，求证：12xx 1、综合法的定义：、综合法的定义： 利用某些已知证明过的不等式（例如均值不等利用某些已知证明过的不等式（例如均值不等 式）式） 和不等和不等式的性质推导出所要证明的不等式，这种式的性质推导出所要证明的不等式，这种 由因导果的证明方法由因导果的证明方法通常叫做综合法通常叫做综合法2、利用综合法证题方法：、利用综合法证题方法： 由已知推出结论，证明的思路为由已知推出结论，证明的思路为“由因导果由因导果”.这里已知可这里已知可以以是已知的重要不等式，也可以是已知的不等式的性质是已知的重要不等式，也可以是已知的不等式的性质.例例1、已知、已知a,b,c

2、,d为不全相等的正数，求证：为不全相等的正数，求证：a(b2+c2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)6abc析：可利用已知的重要不等式推导出结论成立，即采用综合法证明析：可利用已知的重要不等式推导出结论成立，即采用综合法证明.或采用作差法亦可或采用作差法亦可 作为综合法的证明，依据的不等式本身是可以根据不等式的意作为综合法的证明，依据的不等式本身是可以根据不等式的意 义，性质，或比较法证出的，所以用综合法可以获证的不等式往往可义，性质，或比较法证出的，所以用综合法可以获证的不等式往往可以直接根据不等式的意义去证明或比较法来证明以直接根据不等式的意义去证明或比较法来证明.例例2、若、若a,b

3、,c都为正数，求证：都为正数，求证：2222222()abbccaabc 析：本题左右两边都为和式结构，其关键是如何找到析：本题左右两边都为和式结构，其关键是如何找到与（与（a+b）之间的关系，联想基本不等式的变形）之间的关系，联想基本不等式的变形.22ab 本题证明的关键是先证本题证明的关键是先证 这正是已证过的不这正是已证过的不等式等式 的变形，只要熟练掌握重要不等式及其变形的变形，只要熟练掌握重要不等式及其变形才能开阔证明不等式的思路才能开阔证明不等式的思路222()2abab2222abab 例例3、已知、已知a,b,c都为正数，且都为正数，且a+b+c=1，求证，求证:4141412

4、1abc 本例的方法是利用平均值来证明，这里借助了算术平均数本例的方法是利用平均值来证明，这里借助了算术平均数或几何平均数来证明，含有对称式的非严格不严格不等式的一或几何平均数来证明，含有对称式的非严格不严格不等式的一种特殊方法种特殊方法.例例4、已知、已知a,b,c都为正数，且都为正数，且a+b+c=1,求证：求证：1119abc 次题考查了变形应用综合法证明不等式，证明时运用了次题考查了变形应用综合法证明不等式，证明时运用了“凑凑倒数倒数”.这种技巧在很多不等式证明中经常用到，但有时要对代这种技巧在很多不等式证明中经常用到，但有时要对代数式进行适当的变形，以期达到可以数式进行适当的变形，以

5、期达到可以“凑倒数凑倒数”的目的的目的.练习：已知练习：已知a,b,c为不相等的正数，且为不相等的正数，且abc1.求证：求证：111abcabc变式变式1：已知：已知a,b,c为任意实数，且为任意实数，且a+b+c=1，求证：，求证：13abbcca变式变式2：已知：已知a,b,c为任意实数，且为任意实数，且a+b+c=122213abc 1.综合法是证明不等式的基本方法，用综合法证明不等式的逻辑关系是：综合法是证明不等式的基本方法，用综合法证明不等式的逻辑关系是： （A为已证过的不等式或性质，为已证过的不等式或性质，B为要证为要证的不等式，即综合法是的不等式，即综合法是“由因导果由因导果”）12nABBBB2.运用不等式的性质和已证过的不等式时要注意它们各自成立的条件，这样才运用不等式的性质和已证过的不等式时要注意它们各自成立的条件，这样才能能使推理正确，结论无误使推理正确，结论无误.3.用综合法的依据是用综合法的依据是： （1）已知条件和不等式的性质）已知条件和不等式的性质;（2）基本不等式）基本不等式4.能用综合法证明的不等式一般可用比较法证明，用综合法证明不等式的依据是能用综合法证明的不等式一般可用比较法证明，用综合法证明不等式的依据是基本不等式，要注意定理的使用条件和定理中基本不等式，要注意定理的使用条件和定理中“”成立的条件成立的条件