12、单调性与最大（小）值第2课时函数的最大值、最小值.ppt

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1、第2课时 函数的最大值、最小值 喷泉喷出的抛物线型水柱到达喷泉喷出的抛物线型水柱到达“最高点最高点”后便下落，后便下落，经历了先经历了先“增增”后后“减减”的过程，从中我们发现单的过程，从中我们发现单调性与函数的最值之间似乎有着某种调性与函数的最值之间似乎有着某种“联系联系”，让，让我们来研究我们来研究函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值. .观察下列两个函数的图象：观察下列两个函数的图象： yxox0图图2MB探究点探究点1 1 函数的最大值函数的最大值函数最大值定义函数最大值定义：一般地，设函数：一般地，设函数y=f(xy=f(x) )的定义的定义域为域为I I，如果存在实数，如果存在

2、实数M M满足：满足：（1 1）对于任意的）对于任意的xIxI，都有，都有_；（2 2）存在）存在x x0 0II，使得，使得_。那么，我们称那么，我们称M M是函数是函数y=f(xy=f(x) )的最大值的最大值. .请同学们仿此给请同学们仿此给出函数最小值的出函数最小值的定义定义f(x)Mf(x)Mf(xf(x0 0)=M)=M图图1yox0 xmxyox0图图2m观察下列两个函数的图象：观察下列两个函数的图象：探究点探究点2 2 函数的最小值函数的最小值函数最小值的定义：函数最小值的定义：一般地，设函数一般地，设函数y=f(xy=f(x) )的定的定义域为义域为I I，如果存在实数，如果

3、存在实数N N满足：满足：（1 1）对任意的）对任意的 ，都有，都有_；（2 2）存在）存在 ，使得，使得_._.那么，我们就称那么，我们就称N N是函数是函数y=f(xy=f(x) )的最小值的最小值. .xI0 xIf(x)f(x)N Nf(xf(x0 0)=N)=N对函数最值的理解对函数最值的理解1.1.函数最大值首先应该是某一个函数值，即存在函数最大值首先应该是某一个函数值，即存在 使得使得 . .并不是所有满足并不是所有满足 的函数都有的函数都有最大值最大值M.M.如函数如函数 , ,虽然对定义域上虽然对定义域上的任意自变量都有的任意自变量都有 ，但，但1 1不是函数的最大值不是函数

4、的最大值. .0,xI0f xM( ) f xM( ),( 1,1) f xx x( )1f x2.2.函数的最值是函数在定义域上的整体性质，即这个函函数的最值是函数在定义域上的整体性质，即这个函数值是函数在数值是函数在整个定义域整个定义域上的上的最大的函数值或者是最小最大的函数值或者是最小的函数值的函数值. .例例3.“3.“菊花菊花”烟花是最壮观的烟花之一烟花是最壮观的烟花之一. .制造时一般制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂是期望在它达到最高点时爆裂. .如果烟花距地面的高如果烟花距地面的高度度h mh m与时间与时间t st s之间的关系为之间的关系为h(th(t)=-4.9t)=-

5、4.9t2 2+14.7t+18+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到距地面的高度是多少（精确到1 m1 m）？）？分析：分析：烟花的高度烟花的高度h h是时间是时间t t的二次函数，根据题的二次函数，根据题意就是求出这个二次函数在什么时刻达到最大值，意就是求出这个二次函数在什么时刻达到最大值，以及这个最大值是多少以及这个最大值是多少. .显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时

6、刻，纵坐标就是这时距地面的高度就是这时距地面的高度. .解：解：画出这个函数画出这个函数h(th(t)=-4.9t)=-4.9t2 2+14.7t+18+14.7t+18的图象的图象. . 由二次函数的知识，对于函数由二次函数的知识，对于函数 我们有：我们有： 2( )4.914.718 h ttt214.71.52 ( 4.9)4 ( 4.9) 18 14.729.4 ( 4.9)th 当当时时，函函数数有有最最大大值值于是，烟花冲出后于是，烟花冲出后1.5s1.5s是它爆裂的最佳时刻，是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为这时距地面的高度约为29m.29m.例例4.4.已知函数已知函数

7、，求函数的最大，求函数的最大值和最小值。值和最小值。2( )(2,6)1f xxx解：解：设设x x1 1,x,x2 2是区间是区间2,62,6上的任意两个实数，且上的任意两个实数，且x x1 1xx2 2 12122121121222()()112(1)(1)2().(1)(1)(1)(1)fxfxxxxxxxxxxx则则单调性求单调性求最值最值12211226,0,(1 (1)0,xxxxxx由由得得）1212()()0,()().f xf xf xf x于于是是即即所以，函数所以，函数 是区间是区间2,62,6上的减函数上的减函数. .因此，函数因此，函数 在区间在区间2,62,6的两个

8、端点上分的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在别取得最大值与最小值，即在x=2x=2时取得最大值，最时取得最大值，最大值是大值是2 2，在，在x=6x=6时取得最小值，最小值是时取得最小值，最小值是0.4.0.4.2fx =x-1（ ）2fx =x-1（ ）【提升总结【提升总结】函数在定义域上是减函数必需进行证明，函数在定义域上是减函数必需进行证明，然后再根据这个单调性确定函数取得最值的点然后再根据这个单调性确定函数取得最值的点. .因此因此解题过程分为两个部分，先证明函数在解题过程分为两个部分，先证明函数在22，66上是减上是减函数，再求这个函数的最大值和最小值函数，再求这个函数的最大值和

9、最小值. .的最值。并求最大值求例)(),()(,1, 56)(. 12agagxfaaxxxxf ).(2012)(. 22agaxxxf最小值最小值上的上的，在在求函数求函数例例 对二次函数轴变区间定求最值，可以结合对二次函数轴变区间定求最值，可以结合二次函数图像，对轴进行讨论！二次函数图像，对轴进行讨论！1.1.函数函数y=xy=x2 2,x,x-1-1，2 2的最大值为的最大值为_._.【解析【解析】函数函数y=xy=x2 2在在-1,0-1,0上为减函数，在上为减函数，在0,20,2上为增函数上为增函数. . 当当x=-1x=-1时，时，y=1y=1；当；当x=2x=2时，时，y=4

10、y=4，所以函，所以函数数y=xy=x2 2在在xx-1,2-1,2上的最大值为上的最大值为4.4.42 2设二次函数设二次函数f(f(x)=)=x2 2+4+4x-3-3，函数值，函数值f(2),f(1),f(2),f(1),f(-1),f(5)f(-1),f(5)中，最小的一个是中，最小的一个是( )( )A.f(2) B.f(1) C.f(-1) D.f(5)A.f(2) B.f(1) C.f(-1) D.f(5)【解析【解析】由题意知抛物线的对称轴为由题意知抛物线的对称轴为x=-2=-2，函数函数f(xf(x)=)=x2 2+4+4x-3-3在在-2,+)-2,+)上是增函数，有上是增

11、函数，有f(-1)f(-1)f(1)f(1)f(2)f(2)f(5).f(5).C C3. 3. 函数函数f(x)=xf(x)=x2 2+4ax+2+4ax+2在区间在区间 (-(-，66内递减，内递减，则则a a的取值范围是的取值范围是( )( )A.a3 B.a3A.a3 B.a3C.a-3 D.a-3C.a-3 D.a-3D D【解析【解析】二次函数的对称轴为二次函数的对称轴为x=-2ax=-2a 故只需故只需-2a6,-2a6,即即a-3a-34.4.在实数运算中，定义新运算在实数运算中，定义新运算“”如下：当如下：当abab时，时，abab=a=a； 当当a ab b时，时，abab

12、=b=b2则函数则函数f f（x x）= =（1x1x）+ +（2x2x）（其中）（其中x-2x-2，33）的最大值是）的最大值是（）（）（“+”+”仍为通常的加法）仍为通常的加法） A A3 3 B B8 8 C C9 9 D D1818D D解题提示：解题提示：根据新函数的定义，需要通过比较两个数的根据新函数的定义，需要通过比较两个数的大小来取函数值，结合大小来取函数值，结合f f（x x）的解析式可知，需将）的解析式可知，需将x x与与1 1，2 2比较，进而将函数转化为分段函数，再分段求最大值比较，进而将函数转化为分段函数，再分段求最大值比较出此函数的最大值即可比较出此函数的最大值即可

13、. .5.5.已知函数已知函数f f（x x）=-x=-x2 2+6x+9+6x+9在区间在区间aa，bb，（，（a ab b3 3）上有最大值）上有最大值9 9，最小值，最小值-7-7，求实数，求实数a a，b b的值的值 【解析【解析】因为因为y=-y=-（x-3x-3）2 2+18+18因为因为a ab b3 3，所以当，所以当x=ax=a时，函数取得最小值时，函数取得最小值y yminmin= =-7-7；当当x=bx=b时，函数取得最大值时，函数取得最大值y ymaxmax=9=9； 即即解得：解得：a=8a=8或或-2-2；b=0b=0或或6 6又因为又因为ab3ab3，所以所以a

14、=-2a=-2；b=0b=022a6a97,b6b99,1.1.函数的最值是函数在其定义域上的函数的最值是函数在其定义域上的整体整体性质性质. .2.2.根据函数的单调性确定函数最值时，如果是一般根据函数的单调性确定函数最值时，如果是一般的函数要证明这个函数的单调性，若是基本的函数的函数要证明这个函数的单调性，若是基本的函数可以直接使用函数的单调性可以直接使用函数的单调性. .3.3.含有字母系数的函数，在求其最值时要注意分情含有字母系数的函数，在求其最值时要注意分情况讨论，画出函数的图象有利于问题的解决况讨论，画出函数的图象有利于问题的解决. .在科学上进步而道义上落后的人，不是前进，而是后退。亚里士多德