312复数的几何意义（WJ).ppt

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1、 在几何在几何上，我们用上，我们用什么来表示什么来表示实数实数?实数可以用实数可以用数轴数轴上的点来表示上的点来表示.数轴数轴上的点上的点 实数实数 (数数)一一对应一一对应 (形形)想一想想一想类比类比实数的几何意义，复实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？数的几何意义是什么呢？回忆回忆复数的复数的一般形一般形式式？Z=a+bi(a, bR)实部实部虚部虚部一个复数一个复数由什么确由什么确定？定？3.1.2oabz=a+biZ(a,b)xyaZ(a,b)z=a+biboxy复数的实质是什么？复数的实质是什么？探究探究 任何一个复数任何一个复数z=a+bi，都可以由一，都可以由一个有序实数对

2、个有序实数对(a,b)唯一确定唯一确定.由于有序实由于有序实数对数对(a,b)与平面直角坐标系中的点与平面直角坐标系中的点一一一一对应对应，因此复数集与平面直角坐标系中，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立的点集之间可以建立一一对应一一对应.复数复数z=a+bi有序实数对有序实数对(a,b)直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b)一一对应一一对应可用下图表示出他们彼此的关系可用下图表示出他们彼此的关系.aZ(a,b)z=a+biboxyz=a+biz=a+bi用点用点Z(a,b)表示表示. 建立了平面直角建立了平面直角坐标系来表示复数的坐标系来表示复数的平面平面-复数平面复数平面

3、 (简称简称复平面复平面)x轴轴-实轴实轴y轴轴-虚轴虚轴观观 察察实轴上的点都表示实数；虚实轴上的点都表示实数；虚轴上的点都表示纯虚数，轴上的点都表示纯虚数，除原点除原点外，因为原点表示实数外，因为原点表示实数0.z=a+bi用点用点Z(a,b)表示表示.复平面内的点复平面内的点Z的坐标是的坐标是(a,b),而而不是不是(a, bi),即复平面内的纵坐标即复平面内的纵坐标轴上的单位长度是轴上的单位长度是1，而不是，而不是i.实数实数0实数实数2纯虚数纯虚数-i复数复数-2+3i 依照这种表示方法，依照这种表示方法，每一个每一个复数，有复平面内唯一的一个点复数，有复平面内唯一的一个点和它对应和

4、它对应；反过来，；反过来，复平面内的复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和每一个点，有唯一的一个复数和它对应它对应.记住！记住！ 由此可知，复数集由此可知，复数集C和复平面内所和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的有的点所成的集合是一一对应的.z=a+bi复平面内复平面内的点的点Z(a,b) 在平面直角坐标系中，每一个在平面直角坐标系中，每一个平面向量平面向量都可以用都可以用一个有序实数对一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是来表示，而有序实数对与复数是一一一对应一对应的的.这样，我们还可以用这样，我们还可以用平面平面向量向量来表示来表示复数复数.可用下图表示出他们彼此的关系可用下图表示

5、出他们彼此的关系.复数复数z=a+bi一一对应一一对应平面向量平面向量OZ直角坐标系中直角坐标系中的点的点Z(a,b)一一对应一一对应一一对应Z(a,b)aobyxz=a+bi复数复数z=a+bi平面向量平面向量OZ注意注意向量向量 的模的模r叫做复数叫做复数z=a+bi的模，记作的模，记作|z|或或|a+bi|.如果如果b=0，那么，那么z=a+bi是一个实数是一个实数a,它的模等于它的模等于|a|(就是就是a的绝对值的绝对值).由模的定义可由模的定义可知：知： |z|= |a+bi|=r= (r 0, ). OZ22a +b r rR R为了方便起见，我们常把为了方便起见，我们常把复数复数

6、z=a+bi说说成点成点Z或说成向量或说成向量 且规定且规定相等的向量相等的向量表示同一个复数表示同一个复数 OZ 任何一个复数任何一个复数z=a+bi与复平面内的一点与复平面内的一点 Z(a，b)对应，对应，复平面内任意一点复平面内任意一点Z(a，b)又可又可以与以原点为起点，点以与以原点为起点，点Z(a，b)为终点的量为终点的量 对应对应.这些对应都是一一对应，即这些对应都是一一对应，即 OZ OZz=a+biZ(a,b)例题1画一画画一画找出与下列复数对应的点的位置找出与下列复数对应的点的位置,且在复且在复平面内画出这些复数对应的向量：平面内画出这些复数对应的向量：（1）i; （2）2-

7、2i; （3）(2+i) i; （4）i-1； yxO24-24i2-2i(2+i) ii-1(2+i) i 转化为转化为 -1+2i2i =-1（1）i; （2）2-2i; （3）(2+i) i; （4）i-1； yxO24-24Z1:iZ2:2-2iZ3:(2+i) iZ4:i-1例题2 已知某个平行四边形的三个顶已知某个平行四边形的三个顶点所对应的复数分别为点所对应的复数分别为2，4+2i， -2+4i，求第四个顶点对应的复数求第四个顶点对应的复数.yxO24-24答案：答案：6i或或-4+2i或或8-2i扩展题 求下列复数的模：求下列复数的模：(1)z1=-5i (2)z2=-3+4i

8、(3)z3=5-5i( 5 )( 5 )(5 2)1.复数的实质是复数的实质是一对有序实数对一对有序实数对；2.用平面直角坐标系表示用平面直角坐标系表示复平面复平面，其，其中中x轴叫做轴叫做实轴实轴，y轴叫做轴叫做虚轴虚轴；3.实轴上的点都表示实轴上的点都表示实数实数；除了原点外除了原点外，虚轴上的点都表示虚轴上的点都表示纯虚数纯虚数；z=a+bi用点用点Z(a,b)表示表示.复平面复平面内的点内的点Z的坐标是的坐标是(a,b),而不是而不是(a, bi)；5.复数的两个复数的两个几何意义几何意义z=a+bi复平面内的点复平面内的点Z(a,b)z=a+bi平面向量平面向量OZ复数的模复数的模向

9、量的模向量的模6.复平面内任意一点复平面内任意一点 Z(a,b)可以可以与与以原点为起点，点以原点为起点，点 Z(a,b) 为终为终点的向量点的向量 对应；对应； OZ-5，-35(1)下列命题中的假命题是（下列命题中的假命题是（ ）(A)在复平面内，对应于实数的点都在实在复平面内，对应于实数的点都在实轴上轴上(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上虚轴上(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数数都是实数(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数数都是纯虚数D（2）“a=0”是是

10、“复数复数a+bi (a , bR)所对应的所对应的点在虚轴上点在虚轴上”的（的（ ） （A）必要不充分条件必要不充分条件 （B）充分不必要条件充分不必要条件 （C）充要条件充要条件 （D）不充分不必要条件不充分不必要条件C 1.m=-2或或m=1提示提示 复数复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对在复平面内所对应的点的坐标是应的点的坐标是( )，此，此点在直线上，代入直线方程求点在直线上，代入直线方程求m即可即可. 1.2.已知复数已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数内所对应的点位于第二象限，求实数m允许允许的取值范围的取值范围. 提示提示表示复数的点所表示复数的点所在象限的问题在象限的问题(几何问题几何问题)转化转化复数的实部与虚部所满复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题足的不等式组的问题(代数问题代数问题)22m +m-6 0解解：由由-3 m 2m 1得得或或m(-3,-2)(1,2) 一种重要的数学一种重要的数学思想：思想：数形结合思想数形结合思想注意注意2.已知复数已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数内所对应的点位于第二象限，求实数m允许允许的取值范围的取值范围. 12Zx5yi,Zx5yi,(x,yR),12| ZZ | 6,