学案2任意角的三角函数与诱导公式.ppt
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1、名师伴你行名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行任意角的任意角的三角函数三角函数与诱导公与诱导公式式(1)了解任意角的概念;了解终边相同的角的意义;了了解任意角的概念;了解终边相同的角的意义;了解弧度的意义,并能进行弧度与角度的互化解弧度的意义,并能进行弧度与角度的互化.(2)了解任意三角函数(正弦、余弦、正切)的定)了解任意三角函数(正弦、余弦、正切)的定义;初步了解有向线段的概念,会利用单位圆中的三义;初步了解有向线段的概念,会利用单位圆中的三角函数线表示任意角的正弦、余弦正切角函数线表示任意角的正弦、余弦正切.(3)理解同角三角函数的基本关系式:并会运用它们进理解同角三角函数的基本关系式
2、:并会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.(4)了解正弦、余弦、正切的诱导公式;能运用这)了解正弦、余弦、正切的诱导公式;能运用这些诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数,些诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数,会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明等式证明.名师伴你行 主要作为工具对三角函数进行恒等变换,考查恒主要作为工具对三角函数进行恒等变换,考查恒等变形能力等变形能力.题型主要是三角函数的求值,以及三角函题型主要是三角函数的求值,以及三角函数式的化简数式
3、的化简,为研究函数作基础,是本编的重点内容为研究函数作基础,是本编的重点内容.返回目录返回目录 返回目录返回目录 1.任意角的三角函数 (1)任意角的三角函数定义任意角的三角函数定义 设设是一个任意角是一个任意角,角角的终边上任意一点的终边上任意一点P(x,y),它它与原点的距离为与原点的距离为r(r0),那么角那么角的正弦、余弦、正切分的正弦、余弦、正切分别是:别是:sin= ,cos= ,tan= ,它们都是它们都是以角为以角为 ,以比值为,以比值为 的函数的函数. r ry yr rx xx xy y自变量自变量 函数值函数值 名师伴你行返回目录返回目录 (2)三角函数在各象限内的符号口
4、诀是三角函数在各象限内的符号口诀是: . 2.设角设角的顶点在坐标原点的顶点在坐标原点,始边与始边与x轴正半轴重合轴正半轴重合,终边与单位圆相交于点终边与单位圆相交于点P,过过P作作PM垂直垂直x轴于轴于M,作作PN垂垂直直y轴于点轴于点N,则点则点M,N分别是点分别是点P在在x轴轴,y轴上的轴上的 .由三角函数的定义知由三角函数的定义知,点点P的坐标为的坐标为 ,即即 , 其中其中cos= ,sin= ,单位圆与单位圆与x轴的正半轴交于点轴的正半轴交于点A,单位圆在单位圆在A点的切线与点的切线与的终边或其反向延长线相交于点的终边或其反向延长线相交于点T(T),则则tan= .我们把轴上向量我
5、们把轴上向量OM,ON,AT(或或AT)分别叫做分别叫做的的 、 、 . 二正弦、三正切、四余弦二正弦、三正切、四余弦一全正、一全正、 正射影正射影 (cos,sin)P(cos,sin)OM ON AT 余弦线余弦线 正弦线正弦线正切线正切线名师伴你行3.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系平方关系: .(2)商数关系商数关系: .(3)倒数关系倒数关系:tancot=1( ,kZ).返回目录返回目录 sin2+cos2=1(R)cosacosasinasinatanatana(k+ ,kZ)2 2 k名师伴你行-tan 4.六组诱导公式六组诱导公式组数组数一一二二三三四四五五六六角角2k
6、+2k+(kZ(kZ)+- - +正弦正弦余弦余弦正切正切口诀口诀函数名不变函数名不变符号看象限符号看象限函数名改变函数名改变符号看象限符号看象限返回目录返回目录 2 2 sin -sin -sin sin cos cos cos -cos cos -cos sin -sin sin tan tan -tan 名师伴你行设设为第四象限角,其终边上的一个点是为第四象限角,其终边上的一个点是P(x,- ),且,且cos= x,求,求sin和和tan. 【分析【分析】若能求出问题中的未知数若能求出问题中的未知数x,则由定义,则由定义sin和和tan可求,解题技巧即是设法建立关于可求,解题技巧即是设法
7、建立关于x的一个的一个方程方程.542名师伴你行返回目录返回目录 是第四象限的角,是第四象限的角,x0,又又P点到坐标原点点到坐标原点O的距离的距离r ,由由cos ,得,得 .x= ,r=2 .sin ,tan .2 22 2(-5)(-5)x x 5 5x xx xr rx x2 242x5 5x xx x2 232410225 5- -r ry y31535 5- -x xy y名师伴你行返回目录返回目录 容易出错的地方是得到容易出错的地方是得到x2=3后,不考虑后,不考虑P点点 所在的象所在的象限,限,x的取值分正负两种情况去讨论的取值分正负两种情况去讨论.一般地,在解此类问一般地,在
8、解此类问题时,可以优先注意角题时,可以优先注意角所在的象限,对最终结果作一个合所在的象限,对最终结果作一个合理的预测理的预测.名师伴你行返回目录返回目录 已知角已知角的终边在直线的终边在直线3x+4y=0上上,求求sin,cos,tan的值的值. 角角的终边在直线的终边在直线3x+4y=0上,上,在角在角的终边上任取一点的终边上任取一点P(4t,-3t)(t0),则则x=4t,y=-3t, 当当t0时时,r=5t,|,|,t t| |5 5(-3t)(-3t)(4t)(4t)y yx x r r2 22 22 22 2名师伴你行返回目录返回目录 当当t0时,时,sin= ,cos= ,tan=
9、 ;当当t0,A(0, ),cosA=3sinA.又又sin2A+cos2A=1,sinA= ,cosA= .由由cosB= ,得得sinB= .cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB= .故故cosC=cos-(A+B)=-cos(A+B)=- .212121101010103535410101010返回目录返回目录 本题利用单位圆证明了两角和的余弦公式,同本题利用单位圆证明了两角和的余弦公式,同时考查了诱导公式,同角三角函数的关系等基础知时考查了诱导公式,同角三角函数的关系等基础知识及运算能力识及运算能力.名师伴你行返回目录返回目录 已知已知01; (2)sinOP,cos+
10、sin1.(2)连结连结PA,则则SOPA S扇形扇形OPA SOTA,即即 OAMP OA OAAT,即即sintan.212121名师伴你行返回目录返回目录 已知已知 x0,sinx+cosx= .(1)求求sinx-cosx的值;的值;(2)求求 的值的值. (1)由由sinx+cosx= 及及sin2x+cos2x=1可可求出求出sinx,cosx的值的值,从而求出从而求出 sinx-cosx 的值的值;另外另外 ,由由 x0,可求出可求出sinx0,从而判定从而判定sinx-cosx的的符号符号,只需求只需求(sinx-cosx)2即可即可.2 51x xsinsin- -x xco
11、scos2 22 21512 名师伴你行返回目录返回目录 (1)解法一解法一:联立方程联立方程: sinx+cosx= , sin2x+cos2x=1, 由由得得sinx= -cosx,将其代入将其代入,整理得整理得25cos2x-5cosx-12=0. sinx=- cosx= ,(2)由由(1)可求出可求出tanx,而而想法使分子、分母都出现想法使分子、分母都出现tanx即可即可.2 x xsinsin- -x xcoscosx xsinsinx xcoscosx xsinsin- -x xcoscos2 22 22 22 22 22 2151515354 x0,57sinx-cosx=-
12、 .名师伴你行返回目录返回目录 解法二解法二:sinx+cosx= ,(sinx+cosx)2= ,即即1+2sinxcosx= ,2sinxcosx=- .(sinx-cosx)2=sin2x-2sinxcosx+cos2x=1-2sinxcosx=1+ = . 又又 x0,sinx0,sinx-cosx0. 由由可知,可知,sinx-cosx=- .512)51(2512524252425292 57名师伴你行返回目录返回目录 (2)由已知条件及由已知条件及(1)可知可知 sinx+cosx= sinx=- sinx-cosx=- , cosx= ,tanx=- .5157535443解得
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