学案1平面向量的基本概念及线性运算.ppt

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1、名师伴你行名师伴你行名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行平面向量平面向量的实际背的实际背景及基本景及基本概念概念(1)了解向量的实际背景了解向量的实际背景(2)理解平面向量的概念和两个向量相等的含义理解平面向量的概念和两个向量相等的含义.向量的线向量的线性运算性运算(1)理解向量加法、减法的数乘运算，理解其几理解向量加法、减法的数乘运算，理解其几何意义何意义.理解向量共线定理理解向量共线定理.(2)了解向量线性运算的性质及其几何意义了解向量线性运算的性质及其几何意义.返回目录返回目录 名师伴你行 主要考查向量的有关概念、运算法则、线线平行主要考查向量的有关概念、运算法则、线线平行的条件和基本

2、定理，以选择题和填空题出现的可能性的条件和基本定理，以选择题和填空题出现的可能性较大较大.对用向量解平面几何问题涉及的可能性也较大对用向量解平面几何问题涉及的可能性也较大.返回目录返回目录 1.向量的有关概念 (1)向量向量:既有既有 ,又有又有 的量叫做向量的量叫做向量,向量的大小叫做向量的向量的大小叫做向量的 (或模或模). (2)零向量零向量: 的向量叫做零向量的向量叫做零向量,其方向其方向是是 的的. (3)单位向量单位向量:给定一个非零向量给定一个非零向量a,与与a 且且长度等于长度等于 的向量的向量,叫做向量叫做向量a的单位向量的单位向量.大小大小 方向方向 长度长度 长度为长度为

3、0 任意任意 同方向同方向 1 名师伴你行返回目录返回目录 (4)平行向量平行向量:方向方向 或或 的的 向量向量.平行向量又叫平行向量又叫 ,任一组平行向量都可以任一组平行向量都可以移到同一条直线上移到同一条直线上. 规定规定:0与任一向量与任一向量 . (5)相等向量相等向量:长度长度 且方向且方向 的向量的向量. (6)相反向量相反向量:长度长度 且方向且方向 的向量的向量. 2.向量的加法和减法 (1)加法加法 法则法则:服从三角形法则、平行四边形法则服从三角形法则、平行四边形法则. 运算性质运算性质:相同相同 相反相反 非零非零 共线向量共线向量 平行平行 相等相等 相同相同 相等相

4、等 相反相反 名师伴你行返回目录返回目录 a+b= (交换律交换律);(a+b)+c= (结合律结合律);a+0= = .(2)减法减法减法与加法互为逆运算减法与加法互为逆运算;法则法则:服从三角形法则服从三角形法则.3.实数与向量的积(1)长度与方向规定如下长度与方向规定如下:|a|= ;b+a a+(b+c) 0+a a |a| 名师伴你行返回目录返回目录 当当 时时,a与与a的方向相同的方向相同;当当 时时,a与与a的方向相反的方向相反;当当=0时时,a= . (2)运算律运算律:设设,R,则则 (a)= ;(+)a= ; (a+b)= . 4.平行向量基本定理 向量向量a与与b(b0)

5、平行的充要条件是平行的充要条件是 .有且只有一个实有且只有一个实 0 |b|,则则ab;（2）若向量）若向量|a|=|b|,则则a与与b的长度相等且方向相同或相的长度相等且方向相同或相反；反；（3）对于任意向量）对于任意向量|a|=|b|,且且a与与b的方向相同，则的方向相同，则a=b;（4）由于）由于0方向不确定，故方向不确定，故0不能与任意向量平行；不能与任意向量平行；（5）起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相）起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量等向量.名师伴你行返回目录返回目录 【解析【解析】（1）不正确）不正确.因为向量是不同于数量的一种因为向量是不同于数量的一种量

6、，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故（量不能比较大小，故（1）不正确）不正确.（2）不正确）不正确.由由|a|=|b|只能判断两向量长度相等，不能判只能判断两向量长度相等，不能判断方向断方向.（3）正确）正确.|a|=|b|,且且a与与b同向，由两向量相等的条件同向，由两向量相等的条件可得可得a=b.（4）不正确）不正确.由零向量性质可得由零向量性质可得0与任一向量平行，可知与任一向量平行，可知（4）不正确）不正确.（5）正确）正确.对于一个向量只要不改变其大小与方向对于一个向量只要不改变其大小与方向,是可是可以任意平

7、行移动的以任意平行移动的.名师伴你行返回目录返回目录 利用角平分线的性质可解出利用角平分线的性质可解出AD与与DB的关的关系，再利用向量的线性运算求解系，再利用向量的线性运算求解.名师伴你行2010年高考大纲全国卷年高考大纲全国卷在在ABC中，点中，点D在边在边AB上，上，CD平分平分ACB.若若CB=a,CA=b,|a|=1,|b|=2,则则CD= .返回目录返回目录 名师伴你行 【解析【解析】如图所示如图所示,1=2,CD=CB+BD=a+ (b-a)= a+ b.21DABDCACB)ab(31)CBCA(31BA31BD313132返回目录返回目录 用几个基本向量表示某个向量问题的基本

8、技巧是用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧是:观察各向量的位置观察各向量的位置;寻找相应的三角形或多边形寻找相应的三角形或多边形;运运用法则找关系用法则找关系;化简结果化简结果.名师伴你行返回目录返回目录 如图如图4-1-2，以向量，以向量OA=a,OB=b为边作为边作 OADB,BM= BC,CN= CD,用用a,b表示表示OM,ON,MN.3 31 13 31 1名师伴你行返回目录返回目录 BA=OA-OB=a-b,BM= BA= a- b.OM=OB+BM=b+ a- b= a+ b.又又OD=a+b,ON=OC+ CD= OD+ OD= OD= a+ b.MN=ON-OM= a+

9、b- a- b= a- b.即有即有OM= a+ b,ON= a+ b,MN= a- b.2 21 13 31 16 61 16 61 16 61 16 61 16 61 16 61 16 65 56 61 13 32 23 32 23 32 23 32 23 32 26 61 16 65 52 21 16 61 16 61 16 65 53 32 23 32 22 21 16 61 1名师伴你行返回目录返回目录 设两个非零向量设两个非零向量a与与b不共线不共线.(1)若若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b).求证求证:A,B,D三点共线三点共线;(2)试确定实数试确定实数k,使

10、使ka+b和和a+kb共线共线. 解决点共线或向量共线问题解决点共线或向量共线问题,就要根据两就要根据两向量共线的条件向量共线的条件a=b(b0).名师伴你行返回目录返回目录 (1)证明证明:AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB.AB,BD共线共线,又又它们有公共点它们有公共点B,A,B,D三点共线三点共线.(2)ka+b与与a+kb共线共线,存在实数存在实数,使使ka+b=(a+kb),即即ka+b=a+kb.(k-)a=(k-1)b.a,b是不共线的两个非零向量是不共线的两个非零向量,k

11、-=k-1=0,k2-1=0.k=1.名师伴你行返回目录返回目录 (1)由向量数乘运算的几何意义知非零向量共线是指由向量数乘运算的几何意义知非零向量共线是指存在实数存在实数使两向量能互相表示使两向量能互相表示. (2)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,要注意要注意待定系数法的运用和方程思想待定系数法的运用和方程思想. (3)证明三点共线问题证明三点共线问题,可用向量共线来解决可用向量共线来解决,但应注但应注意向量与三点共线的区别与联系意向量与三点共线的区别与联系

12、,当两向量共线且有公共当两向量共线且有公共点时点时,才能得出三点共线才能得出三点共线.返回目录返回目录 设两个非零向量设两个非零向量e1和和e2不共线不共线.(1)如果如果AB=e1-e2,BC=3e1+2e2,CD=- 8e1-2e2,求求证证:A,C,D三点共线三点共线;(2)如果如果AB=e1+e2,BC=2e1-3e2,CD=2e1-ke2,且且A,C,D三点共线三点共线,求求k的值的值.名师伴你行返回目录返回目录 (1)AB=e1-e2,BC=3e1+2e2,CD=-8e1-2e2,AC=AB+BC=4e1+e2=- (-8e1-2e2)=- CD,AC与与CD共线共线.又又AC与与

13、CD有公共点有公共点C,A,C,D三点共线三点共线.(2)AC=AB+BC=(e1+e2)+(2e1-3e2)=3e1-2e2,A,C,D三点共线三点共线,AC与与CD共线共线,从而存在实数从而存在实数使得使得AC=CD,即即3e1-2e2=(2e1-ke2),由平面向量基本定理由平面向量基本定理,得得 3=2 -2=-k, 解得解得= ,k= . 2 21 12 23 33 34 42 21 1名师伴你行返回目录返回目录 如图如图4-1-3所示所示,在在ABO中中,OC= OA,OD= OB,AD与与BC相交于点相交于点M,设设OA=a,OB=b.试用试用a和和b表示向量表示向量OM.从题设

14、及图中可以看出从题设及图中可以看出,直接寻找直接寻找OM与与a, b之间的关系是很难行得通的之间的关系是很难行得通的.因此可先设因此可先设OM=ma+nb,利用共线向量的知识及待定系数法求出利用共线向量的知识及待定系数法求出m,n即可即可.2 21 14 41 1名师伴你行返回目录返回目录 设设OM=ma+nb,则则AM=OM-OA=ma+nb-a=(m-1)a+nb.AD=OD-OA= OB-OA=-a+ b.又又A,M,D三点共线三点共线,AM与与AD共线共线.存在实数存在实数t,使得使得AM=tAD,即即(m-1)a+nb=t(-a+ )b.(m-1)a+nb=-ta+ tb. m-1=

15、-t n= , 消去消去t得得m-1=-2n. 2 2t t2 21 12 21 12 21 12 21 1名师伴你行返回目录返回目录 即即 m+2n=1. 又又CM=OM-OC=ma+nb- a=(m- )a+nb,CB=OB-OC=b- a=- a+b.又又C,M,B三点共线三点共线,CM与与CB共线共线.存在实数存在实数t1,使得使得CM=t1CB,(m- )a+nb=t1(- a+b), m- =- t1 n=t1,消去消去t1得得4m+n=1. 由由得得m= ,n= ,OM= a+ b.4 41 14 41 14 41 14 41 14 41 14 41 14 41 14 41 17

16、 71 17 71 17 73 37 73 3 名师伴你行返回目录返回目录 在求一个向量用另外两个向量线性表示时在求一个向量用另外两个向量线性表示时,一般有一般有以下几种方法以下几种方法: (1)根据图形根据图形,由加减法的定义由加减法的定义,可直接得出结论可直接得出结论; (2)如果不易找出它们间的关系如果不易找出它们间的关系,可先设该向量可用可先设该向量可用另外两个向量来线性表示另外两个向量来线性表示,再利用共线向量定理再利用共线向量定理,用待定用待定系数法求出它们的系数系数法求出它们的系数,即可得出结论即可得出结论.名师伴你行返回目录返回目录 ).).| |ACAC| |ACAC+ +|

17、 |ABAB| |ABAB( (= =由由，可得，可得AP O是平面上一定点是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点是平面上不共线的三个点,动点动点P满足满足 0,+),则则P点的轨点的轨迹一定通过迹一定通过ABC的的 .(填填“外心外心”“”“内心内心” “重心重心”“”“垂心垂心”中的一个）中的一个） (如图，作向量如图，作向量AP.由向量加法知由向量加法知OP=OA+AP 由已知可得由已知可得 , ,) )| |ACAC| |ACAC+ +| |ABAB| |ABAB( (+ +OAOA= =OPOP答案：内心答案：内心 , ,) )| |ACAC| |ACAC+ +| |ABA

18、B| |ABAB( (+ +OAOA= =OPOP名师伴你行返回目录返回目录 式中式中 都是单位向量，以都是单位向量，以这两个向量为一组邻边作这两个向量为一组邻边作 AB1P1C1，这时这时AB1P1C1是菱形，对角线是菱形，对角线AP1平平分分B1AC1，且，且AB1= ,AC1= . 由由可知可知AP=AP1, | |ACAC| |ACAC, ,| |ABAB| |ABAB再由再由0,+)可知，可知，P点的轨迹是射线点的轨迹是射线AP,所以，所以，P点的轨点的轨迹一定通过迹一定通过ABC的内心的内心.)| |ABAB| |ABAB | |ACAC| |ACAC名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行