2019年天津卷理科数学高考真题及答案解析(word精编) .doc

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1、2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）数学（理工类）本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。第卷1 至 2 页，第卷 3-5 页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2.本卷共 8 小题，每小题 5 分

2、，共 40 分。参考公式：如果事件、互斥，那么.AB()( )( )P ABP AP B如果事件、相互独立，那么.AB()( ) ( )P ABP A P B圆柱的体积公式，其中表示圆柱的底面面积，表示圆柱的高.VShSh棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高.1 3VShSh一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则 1,1,2,3,5,2,3,4,|13ABCxx R()ACB A. B. C. D. 22,31,2,31,2,3,42.设变量满足约束条件则目标函数的最大值为, x y20, 20, 1, 1,xy xy x y 4zxy

3、A.2 B.3 C.5 D.63.设，则“”是“”的xR250xx|1| 1xA.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的值为SA.5 B.8C.24 D.295.已知抛物线的焦点为，准线为 ，若 与双曲线的两条渐近线分别24yxFll22221(0,0)xyabab交于点和点，且（为原点） ，则双曲线的离心率为AB| 4|ABOFOA. B. C. D.23256.已知，则的大小关系为5log 2a 0.5og2 .l0b 0.20.5c , ,a b cA. B. C. D.acbabcbcacab7.已知函数是

4、奇函数，将的图像上所有点的横坐标( )sin()(0,0,|)f xAxA yf x伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且 g x g x2，则24g3 8fA. B. C. D.22228.已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的aR222 ,1,( )ln ,1,xaxaxf xxaxxx( ) 0f x Ra取值范围为A. B. C. D.0,10,20,e 1,e第卷注意事项：1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2.本卷共 12 小题，共 110 分。二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9. 是虚数单位，则

5、的值为 .i5 1i i 10.是展开式中的常数项为 .83128xx11.已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧25棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 .12.设，直线和圆（为参数）相切，则的值为 .aR20axy22cos ,12sinxy a13.设，则的最小值为 .0,0,25xyxy(1)(21)xy xy14.在四边形中，点在线段的延长线上，ABCD,2 3,5,30ADBCABADAECB且，则 .AEBEBD AE 三.解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15

6、.（本小题满分 13 分）在中，内角所对的边分别为.已知，.ABC, ,A B C, ,a b c2bca3 sin4 sincBaC（）求的值；cosB（）求的值.sin 26B16.（本小题满分 13 分）设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不2 3影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（）用表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期XX望；（）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7：30 之前到M校的天数恰好多 2” ，求事件发生的概率.M17.（本小题满分

7、13 分）如图，平面，.AE ABCD,CFAEADBC,1,2ADABABADAEBC（）求证：平面；BFADE（）求直线与平面所成角的正弦值；CEBDE（）若二面角的余弦值为，求线段的长.EBDF1 3CF18.（本小题满分 13 分）设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为 4，离心率为.22221(0)xyababFB5 5（）求椭圆的方程；（）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的PMPBxNy负半轴上.若（为原点） ，且，求直线的斜率.| |ONOFOOPMNPB19.（本小题满分 14 分）设是等差数列，是等比数列.已知. na nb112233

8、4,622,24abbaba，（）求和的通项公式； na nb（）设数列满足其中. nc111,22,2,1,kknk kcncb n *kN（i）求数列的通项公式；221nnac（ii）求.2 *1nii iacnN20.（本小题满分 14 分）设函数为的导函数.( )e cos ,( )xf xxg x f x（）求的单调区间； f x（）当时，证明；,4 2x ( )( )02f xg xx（）设为函数在区间内的零点，其中，证明nx( )( ) 1u xf x2,242mmnN.20022sincosnnnxxe x 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）年普通高等学校招生全

9、国统一考试（天津卷）数学（理工类）参考答案数学（理工类）参考答案一.选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分，满分 40 分.1.D 2.C 3.B 4.B 5.D 6.A 7.A 8.C二.填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分，满分 30 分.9. 10. 11. 12. 13. 14.1328 43 44 31三.解答题15.本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力，满分 13 分.（）解：在中，由正弦定理，得，又由，ABCsinsinbc BCsinsinbCcB3 sin4

10、sincBaC得，即.又因为，得到，.由余弦定理可得3 sin4 sinbCaC34ba2bca4 3ba2 3ca.222222416 199cos22423aaaacbB aa （）解：由（）可得，从而，215sin1 cos4BB15sin22sincos8BBB ，故227cos2cossin8BBB ，153713 57sin 2sin2 coscos2 sin666828216BBB 16.本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分 13 分.（）解：因为甲同学上学期间的三天中到校情况

11、相互独立，且每天 7：30 之前到校的概率均为，2 3故，从而.23,3XB3321(),0,1,2,333kk kP XkCk 所以，随机变量的分布列为XX0123P1 272 94 98 27随机变量的数学期望.X2()323E X （）解：设乙同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数为，则，且Y23,3YB.由题意知事件与互斥，且事件3,12,0MXYXY3,1XY2,0XY与，事件与均相互独立，从而由（）知3X 1Y 2X 0Y ()(3,12,0)(3,1)(2,0)P MPXYXYP XYP XY.824120(3) (1)(2) (0)279927243P XP YP XP

12、 Y17.本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分 13 分.依题意，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角AAB AD AE ，xyz坐标系（如图） ，可得，.设，(0,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,0)ABCD(0,0,2)E(0)CFhh则.1,2,Fh（）证明：依题意，是平面的法向量，又，可得，(1,0,0)AB ADE(0,2, )BFh 0BF AB 又因为直线平面，所以平面.BF ADEBFADE（）解：依题意，.( 1,1

13、,0),( 1,0,2),( 1, 2,2)BDBECE 设为平面的法向量，则即不妨令，( , , )nx y zBDE0,0,n BDn BE 0,20,xyxz 1z 可得.因此有.(2,2,1)n 4cos,9|CE nCE nCEn 所以，直线与平面所成角的正弦值为.CEBDE4 9（）解：设为平面的法向量，则即( , , )mx y zBDF0,0,m BDm BF 0,20,xyyhz 不妨令，可得.1y 21,1,mh由题意，有，解得.经检验，符合题意.224|1cos,|343 2m nhm nm n h 8 7h 所以，线段的长为.CF8 718.本小题主要考查椭圆的标准方程

14、和几何性质、直线方程等基础知识。考查用代数方法研究圆锥曲面的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.满分 13 分.（）解：设椭圆的半焦距为，依题意，又，可得，c524,5cba222abc5a 2,b .1c 所以，椭圆的方程为.22 154xy（）解：由题意，设.设直线的斜率为，又，0 ,0PPpMP xyxM x，PB0k k 0,2B则直线的方程为，与椭圆方程联立整理得，可PB2ykx222,1,54ykxxy2245200kxkx得，代入得，进而直线的斜率.在220 45Pkxk 2ykx228 10 45PkykOP245 10Ppyk xk中，令，得.由题意得，所以

15、直线的斜率为.由2ykx0y 2Mxk 0, 1NMN2k，得，化简得，从而.OPMN2451102kk k 224 5k 2 30 5k 所以，直线的斜率为或.PB2 30 52 30 519.本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前项和公式等基础知识.考查化归与转化思n想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.满分 14 分.（）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为.依题意得解得 nad nbq2662 , 6124 ,qd qd 故.3,2,dq 14(1) 331,6 23 2nn nnannb 所以，的通项公式为的通项公式为. na 31,nnanb3 2nnb （） （i

16、）解：.222113 21 3 219 41nnxnnn nacab 所以，数列的通项公式为.221nnac2219 41nnnac （ii）解：2222 1111211nnniiniiiiii iiiiacaa caac 12212439 412nnn nii 2124 1 43 25 291 4n nnn .211*27 25 212nnnn N20.本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想和化归与转化思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分 14 分.（）解：由已知，有.因此，当时，有( )(cossin )xfxexx

17、52,244xkk()kZ，得，则单调递减；当时，有sincosxx 0fx f x32,244xkk()kZ，得，则单调递增.sincosxx 0fx f x所以，的单调递增区间为的单调递减区间为 f x32,2(),( )44kkkf xZ.52,2()44kkkZ（）证明：记.依题意及（） ，有，从而( )( )( )2h xf xg xx( )(cossin )xg xexx.当时，故( )2sinxg xex ,4 2x 0gx .( )( )( )( )( 1)( )022h xfxg xxg xg xx因此，在区间上单调递减，进而. h x,4 2 ( )022h xhf所以，当时，.,4 2x ( )( )02f xg xx（）证明：依题意，即.记，则， 10nnu xf x cos1nx nex 2nnyxn,4 2ny 且. 22ecosecos2ennyxnn nnnnNfyyxn由及（） ，得.由（）知，当时，所以 2 01n nfyefy0nyy,4 2x 0gx 在上为减函数，因此.又由（）知， g x,4 2 004ng yg yg，故 02nnnfyg yy. 0222200002sincossincosnnnn n ny nneeeefyyg yg yg yyxxey 所以，.20022sincosnnnxxe x