12应用举例(1)-必修五正余弦定理应用.ppt

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1、回顾：回顾：1.正弦定理：正弦定理：2.余弦定理：余弦定理：为外接圆半径RRCcBbAa2sinsinsinCabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222bcacbA2cos222acbcaB2cos222abcbaC2cos222斜三角形的解法斜三角形的解法已知条件已知条件定理选用定理选用一般解法一般解法用正弦定理求出另一对角用正弦定理求出另一对角,再由再由A+B+C=180，得出第三角，得出第三角,然然后用正弦定理求出第三边。后用正弦定理求出第三边。正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理由由A+B+C=180,求出另一角，求出另一角

2、，再用正弦定理求出两边。再用正弦定理求出两边。用余弦定理求第三边，再用余弦用余弦定理求第三边，再用余弦定理求出一角，再由定理求出一角，再由A+B+C=180得出第三角。得出第三角。用余弦定理求出两角，再由用余弦定理求出两角，再由A+B+C=180得出第三角。得出第三角。一边和两角一边和两角(ASA或或AAS)两边和夹角两边和夹角(SAS)三边三边(SSS)两边和其中一两边和其中一边的对角边的对角(SSA)几个概念：几个概念： 仰角：目标视线在水平线上方的叫仰角; 俯角：目标视线在水平线下方的叫俯角； 方位角：北方向线顺时针方向到目标方向线的夹角。N方位角方位角60度目标方向线目标方向线水平线水

3、平线视线视线仰角仰角俯角俯角例例1、设、设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点的同测，在所在的河岸边选定一点C，测出测出AC的距离是的距离是55cm，BAC51o， ACB75o，求求A、B两点间的距离（精确到两点间的距离（精确到0.1m）解：根据正弦定理，得解：根据正弦定理，得ABCACACBABsinsin)(7 .6554sin75sin55)7551180sin(75sin55sinsin55sinsinmABCACBABCACBACAB答：答：A,B两点间的距离为两点间的距离为65.7米。米

4、。C CA AB B例例2. 如图，如图，A、B两点都在河的对岸两点都在河的对岸(不可到达不可到达)，设计，设计一种测量一种测量A、B两点间距离的方法两点间距离的方法.A AB B解：测量者可以在河岸边选定两点解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得，测得CD=a,并并且在且在C、D两点分别测得两点分别测得BCA=, ACD=, CDB=, BDA=.在在ADC和和BDC中，应用正弦定理得中，应用正弦定理得)sin()sin()(180sin)sin(aaAC)sin(sin)(180sinsinaaBC计算出计算出AC和和BC后，再在后，再在ABC中，应用余弦定理计中，应用余弦定理计算出算

5、出AB两点间的距离两点间的距离cos222BCACBCACAB例例3 3：如图，要测底部不能到达的烟囱的高：如图，要测底部不能到达的烟囱的高ABAB。2135082490m12.11m52. 1从与烟囱底部在同一水平直线上的从与烟囱底部在同一水平直线上的C C，D D两处，测得烟囱两处，测得烟囱的仰角分别是的仰角分别是=35=351212和和=49=492828，CDCD间的距离间的距离是是11.12m11.12m已知测角仪器高已知测角仪器高1.52m1.52m，求烟囱的高，求烟囱的高 ,2135,01111 DBCDBC已知已知中中在在B1AA1C1DDC2135082490m52. 1m1

6、2.11BA1求求:解解,231301800011 BDCBDCBCBDCDC1111111sinsin 根根据据正正弦弦定定理理得得,30.346114sin23130sin12.11001 BC6114011 BDC,11中中在在BCARt ,77.192135sin011 BCBA.29.21m故故烟烟囱囱的的高高度度为为例例4： 在山顶铁塔上在山顶铁塔上B处测得地面上一点处测得地面上一点A的俯角的俯角5440，在塔底，在塔底C处测得处测得A处的俯角处的俯角501。已知铁塔已知铁塔BC部分的高为部分的高为27.3m，求出山高，求出山高CD(精确到精确到1m)解：在解：在ABC中，中，BC

7、A=90+, ABC=90-, BAC=-, BAD=.根据根据正弦定理，正弦定理，)90sin()sin(ABBC)(177)1504054sin(4054sin150cos3 .27)sin(sincossin,mBCBADABBDABDRt得解CD=BD-BC177-27.3=150(m)答：山的高度约为答：山的高度约为150米。米。)sin(cos)sin()90sin(BCBCAB所以，练习：如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄练习：如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB绕绕C点旋转时，点旋转时，通过连杆通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄在的传递，活塞作直线往复运动，当

8、曲柄在CB0位置时，位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在在A0处，设连杆处，设连杆AB长为长为340mm，由柄，由柄CB长为长为85mm，曲柄自，曲柄自CB按顺时针方向旋转按顺时针方向旋转80，求活塞移动的距离（即连杆的端点求活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距离）（精确到移动的距离）（精确到1mm） 已知已知ABC中，中， BC85mm，AB34mm，C80，求求AC 解：（如图）在解：（如图）在ABC中，中， 由正弦定理可得：由正弦定理可得：2462. 034080sin85sinsin ABCBCA因为因为BCAB，所以，所以A为锐角为锐角 ，

9、A1415 B180（AC）8545 又由正弦定理：又由正弦定理：)(3 .3449848. 05485sin340sinsinmm CBABAC)(817 .803 .344)85340()(00mm ACBCABACCAAA答：活塞移动的距离为答：活塞移动的距离为81mm 练习练习1、一艘船以、一艘船以32.2n mile / hr的速度向正北航的速度向正北航行。在行。在A处看灯塔处看灯塔S在船的北偏东在船的北偏东20o的方向，的方向，30min后航行到后航行到B处，在处，在B处看灯塔在船的北偏东处看灯塔在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外

10、的海以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？航行吗？北方向航行答：此船可以继续沿正向航行此船可以继续沿正北方则的距离为到直线设点，由正弦定理得，中，解：在milenhmilenSBhhABSmilenABSBSSBAASB5.6)(06.765sin,)(787.745sin20sin1.1645sin20sin45115练习练习2自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是的长度已知车厢的最大仰角是60，油泵顶点，油泵顶点B与车厢支点与车厢

11、支点A之间的距离为之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为与水平线之间的夹角为62020，AC长为长为1.40m，计算计算BC的长（精确到的长（精确到0.010.01m m） （1 1）什么是最大仰角？）什么是最大仰角？ （2 2）例题中涉及一个怎样的）例题中涉及一个怎样的三角形？三角形？CAB已知已知ABC中中AB1.95m，AC1.40m，夹角夹角CAB6620，求求BC解：由余弦定理，得解：由余弦定理，得571. 3 0266cos40. 195. 1240. 195. 1 cos2 22222AACABACABBC)(89. 1m BC答：顶杆答：顶杆BCBC约长约长1.89m

12、。 CAB课堂小结课堂小结解斜三角形应用题的一般步骤：解斜三角形应用题的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出分析：理解题意，分清已知与未知，画出 示意图示意图.(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知建模：根据已知条件与求解目标，把已知 量与求解量尽量集中在有关的三角量与求解量尽量集中在有关的三角 形中，建立一个解斜三角形的数学形中，建立一个解斜三角形的数学 模型模型.(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解 出三角形，求得数学模型的解出三角形，求得数学模型的解.(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意检验：检验上述所求的解是否符合实际意 义，从而得出实际问题的解义，从而得出实际问题的解.实际问题实际问题抽象概括抽象概括示意图示意图数学模型数学模型推理推理演算演算数学模型的解数学模型的解实际问题的解实际问题的解还原说明还原说明