概率论与数理统计教师用教案概率统计教案3章第4节.pdf

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1、 概率论与数理统计教案 第三章第四节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第概率论与数理统计教案 第三章第四节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第 115 页页 题目 与 课时题目 与 课时 第四节 两个随机变量函数的分布课时：2 教学目的 教学目的 (1) 会求两个独立的随机变量简单函数的分布（和、极大、极小） ； (2) 了解有限个独立的正态随机变量的线性组合仍服从正态分布的理论.内容 内容 (1) X + Y、M=max(X, Y)、N=min(X, Y)等的分布；(2) 相互独立的正态随机变量的线性组合. 教学重点 教学重点 解决办法 解决办法 加强两个随机变量和及

2、极大、 极小随机变量 M, N 的分布的逻辑关系的讲评，加大例题讲解力度，布置作业训练巩固.内容 内容 X + Y、M=max(X, Y)、N=min(X, Y)等的概率的计算. 教学难点 教学难点 解决办法 解决办法 讲清两个随机变量和及极大、极小随机变量 M, N 的逻辑关系，加大例题讲解力度.教学辅助 教学辅助 利用多媒体课件，板书配合分析习题布置 习题布置 P79：1、4、8、9. 参考文献 参考文献 1 郑一,王玉敏,冯宝成. 概率论与数理统计. 大连理工大学出版社，2015 年 8 月. 2 郑一,戚云松,王玉敏. 概率论与数理统计学习指导书. 大连理工大学出版社，2015 年 8

3、 月. 3 郑一,戚云松,陈倩华,陈健. 光盘： 概率论与数理统计教案、 作业册与试卷考题及答案、数学实验视频. 大连理工大学出版社，2015 年 8月. 4 王玉敏,郑一,林强. 概率论与数理统计教学实验教材. 中国科学技术出版社，2007 年 7 月. 联系方式： 概率论与数理统计教案 第三章第四节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第概率论与数理统计教案 第三章第四节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第 116 页页 教 学 内 容 教 学 笔 记 教 学 内 容 教 学 笔 记 内容简介内容简介在第二章第五节中已经讨论过一个随机变量函数的分布问题, 本节讨论两个随

4、机变量函数的分布. 两个随机变量函数的分布有许多应用. 我们只就下面几个具体的常用到的函数关系来讨论, 其处理方法具有代表性. 预备知识 预备知识 一个随机变量函数的概率分布问题， 二维随机变量的分布函数与概率密度的关系，事件和的概率加法公式，独立的充分必要条件，反常二重积分计算，卷积公式. 第三章 多维随机变量及其分布 第三章 多维随机变量及其分布 第四节 两个随机变量函数的分布 第四节 两个随机变量函数的分布 在第二章第五节中已经讨论过一个随机变量函数的分布问题, 本节讨论两个随机变量函数的分布. 我们只就下面几个具体的常用到的函数关系来讨论, 其处理方法具有代表性. 一、随机变量和一、随

5、机变量和 Z = X + Y 的分布的分布1. 离散型随机变量情形. 离散型随机变量情形我们通过例题来建立求解离散型随机变量函数的概率分布的方法. 例例 3.4.1 设离散型随机变量(X,Y)的分布律为 Y X 0 1 2 0 4161811 4181121试求 Z=X+Y 的分布律. 解解 Z=X+Y 的可能取值为 0,1,2, 3. 概率论与数理统计教案 第三章第四节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第概率论与数理统计教案 第三章第四节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第 117 页页 PZ=0=PX=0, Y=0=14, PZ=1=PX=1, Y=0+P X=

6、0, Y=1=1156412, PZ=2=PX=2, Y=0+ P X=1, Y=1=111884, PZ=3=PX=2, Y=1=112. 可见，Z=X+Y 仍为离散型随机变量, 其表格形式的分布律为 Z 0 1 2 3 P 14 512 14 112 例例 3.4.2 设 X, Y 是相互独立的随机变量, 其分布律分别为 PX=k=p(k), k=0,1,2, PY=r=q(r), r=0,1,2,. 证明随机变量 Z=X+Y 的分布律为 PZ=i=0( ) (),0,1,2,.ikp k q iki 证 证 随机变量 Z=X+Y 的取值为 0, 1, 2, . 对于非负整数 i, Z=i

7、=X+Y=i可按下列方式分解为若干个两两互不相容的事件之和: Z=i=X+Y=i=X=0, Y=iX=1, Y=i-1X=i, Y=0. 又由 X, Y 的独立性，利用本章第三节(3.1)式知 PX=k, Y=i-k=PX=kPY=i-k=p(k)q(i-k), k=0,1,2, i. 因此 PZ=i=P(0,ikXk Yik ) =0,ikP XkYik 概率论与数理统计教案 第三章第四节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第概率论与数理统计教案 第三章第四节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第 118 页页 =0( ) (),0,1,2,.ikp k q iki需要指

8、出的是, 例 3.4.1 和例 3.4.2 这种解决问题的方法具有一般性. 用类似的方法同样可以求随机变量差 X-Y, 随机变量积 XY, 最大随机变量maxX,Y和最小随机变量 minX,Y等的分布律 2. 连续型随机变量情形. 连续型随机变量情形设(X,Y)的概率密度为 f (x,y), 则 Z = X + Y 的分布函数为(积分区域参见图3-5) 图 3-5 积分区域图 3-5 积分区域 G: x+yz ( )( , )d d( , )d .z yZx yzF zPPf x y x yf x y x dyZzXYz 固定 z 和 y, 对积分( , )dz yf x yx作变量变换, 令

9、 x= u-y, 得 ( , )d(, )dz yzf x yxf uy yu. 于是( )(, )d d(, )d dzzZFzf uy yuyf uy yyu. 由概率密度的定义, 即得Z=X+Y 的概率密度为 ( )(, )dZfzf zy yy. 由 X,Y 的对称性, fZ (z)又可写成 ( )( ,)dZfzf x zxx. 所以得到如下定理：定理 1 设二维随机变量定理 1 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为的概率密度为 f (x,y), 则和函数则和函数 Z = X + Y 仍为连续型随机变量，其概率密度为仍为连续型随机变量，其概率密度为 概率论与数理统计教案 第三章第四节

10、 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第概率论与数理统计教案 第三章第四节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第 119 页页 ( )(, )dZfzf zy yy. (4.1) 或 ( )( ,)dZfzf x zxx. (4.2) 特别地, 当特别地, 当X 和和Y 相互独立时 相互独立时, 设(X,Y)关于 X,Y 的边缘概率密度分别为 fX (x), fY (y), 则(4.1)式和(4.2)式化为 ( )()( )dZXYfzfzy fyy, (4.3) )(zfZ=( )()dXYfx fzxx. (4.4)上述两个公式称为卷积公式卷积公式, 记为 f X * f

11、 Y, 即 *()( )d( )()dXYXYXYfffzy fyyfx fzxx. 证明 证明 利用本章第三节(3.2)式立即得证公式(4.3)和(4.4). 例例 3.4.3 设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量, 它们都服从标准正态分布N(0,1), 其概率密度分别为 221( )e2xXfx, -x+ 和221( )e2yYfy, -y+. 求 Z = X + Y 的概率密度. 解解 建议：可以嘱咐学生自看，有问题问老师；重在分析条件和结论. 由(4.4)式知 ( )( )()dZXYfzfx fzxx=22()221eed2xz xx =22()421eed2zzxx. 概率论与

12、数理统计教案 第三章第四节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第概率论与数理统计教案 第三章第四节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第 120 页页 令tzx2, 得 2222444111( )eedee222zzztZfzt. 即 Z = X + Y 服从正态分布 N (0,2). 定理 2 设定理 2 设 X, Y 相互独立且相互独立且 X N(1,)21,Y N(2,)22, 则则 Z = X + Y 仍服从正态分布, 且有仍服从正态分布, 且有 Z N(1+2,2221). (4.5) 若若 Xi N(i,2i)(i=1,2,n), 且它们相互独立, 则它们的和且

13、它们相互独立, 则它们的和 Z = X1 + X2 + Xn 仍然服从正态分布, 且有 仍然服从正态分布, 且有 ),(2222121nnNZ. (4.6) 有限个相互独立的、 服从正态分布的随机变量的线性组合仍然服从正态分布有限个相互独立的、 服从正态分布的随机变量的线性组合仍然服从正态分布: nininiiiiiiiccNXc11122),(, (4.7) 其中 ci为常数, i=1,2,n. 根据上述结论可知，X1 - X2221212(,)N ，而 2212121223(23,49)XXN. 例例 3.4.4 设二维随机变量(X, Y)的概率密度为 1,01,02 ,( , )0,.x

14、yxf x y其它求：(1) (X, Y)的边缘概率密度( ),( );XYfxfy (2) 函数 Z=2X-Y 的概率密度( )Zfz; (3) 条件概率 PY21|X12. 概率论与数理统计教案 第三章第四节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第概率论与数理统计教案 第三章第四节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版第 121 页页 1200(z)11xZFdxdy解解 (1) 当 0 x1 时, 20( )1 d2xXfxyx,所以2 ,01,( )0,.Xxxfx 其它同理, 当 0y2 时, 1/2( )1 d12Yyyfyx ,所以1,02,( )20,.Yyyf

15、y 其它(2) 先求 Z=2X-Y 的分布函数： 当2z0 时，即 z0 时，2( )00Zx yzFzdxdy. 当 02z1 时，即 0z y) = 1P( X1 y,X2 y,Xn y) = 1 P( X1 y)P(X2 y)P(Xn y) =1-11( )niiF y. (2) 将 Xi的共同分布函数 F(x)代入上式得 FY(y)=1-1-F(y)n. (3) Y 的分布函数仍为上式，概率密度可对上式关于 y 求导得 1( )( )1( )( ).nYYpyFynF yp y (4) 将 E ()的分布函数和概率密度代入问题(2),(3), 得 1 e,0,( )=0,0.n yYn

16、ypyy 可以看出，minX1,X2,Xn仍服从指数分布，参数为 n. 这个结论，我们在第七章第二节例 7.2.3 中会用到. 整理以上结果得到如下定理 3. 定理定理 3 设 设 X1,X2,Xn是是n个相互独立的随机变量. 它们的分布函数分别为个相互独立的随机变量. 它们的分布函数分别为)(iXxFi(i=1,2,n), 则则 M=maxX1 , X2 , Xn及及 N= minX1 , X2 , Xn的分布函数分别为的分布函数分别为 12max( )( )( )( )nXXXFzFz FzFz, (4.8) Fmin(z)=1-)(1 )(1)(1 21zFzFzFnXXX. (4.9)

17、 特别地, 当当 X1,X2 , Xn相互独立且具有相同分布函数相互独立且具有相同分布函数 F(x)时, 有时, 有 Fmax(z)=F(z)n, (4.10) Fmin(z)=1-1-F(z)n. (4.11) 思考题思考题 1. 整理教材中关于随机变量服从正态分布的若干结论， 并注意分析它们适用的条件. 2. 结合例 3.4.4，关于二维随机变量的概率分布，我们会有哪些问题值得 概率论与数理统计教案 第三章第四节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第概率论与数理统计教案 第三章第四节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第 124 页页 研讨？ 3. 结合例 3.4.

18、1 和例 3.4.2， 总结求解二维离散型随机变量的概率分布的方法步骤. 解题参考解题参考 1. (1) 见教材 P57 定理：标准化变换关系服从正态分布的随机变量标准化后服从标准正态分布； (2) 见教材 P63 结论：服从标准正态分布的随机变量的平方服从自由度为1 的 2分布； (3) 见教材 P64 例 2.5.3： 服从正态分布的随机变量的线性函数仍然服从正态分布； (4) 见教材P77例3.1.6： 二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布，并且不依赖于参数 ； (5) 见教材 P87 定理 2：二维正态分布的两个随机变量相互独立的充要条件是参数 =0； (6) 见教材 P93 例

19、 3.4.3、P93 定理 2 和 P64 思考题 2：有限个相互独立的、服从正态分布的随机变量的线性组合仍然服从正态分布， 但是， 对于一般情形，服从正态分布的随机变量的和 X+Y 未必服从正态分布； (7) 见教材 P177：正态分布 N(，2)的参数 ，2分别是随机变量的数学期望和方差； (8) 见教材 P136 定理 1：独立同分布、具有相同期望及方差的随机变量之和的标准化服从标准正态分布，或者独立同分布、具有相同期望及方差的随机变量之和近似服从正态分布； (9) 见教材 P138 定理 3：服从参数为 n,p 的二项分布的随机变量的标准化近似服从标准正态分布； (10) 见教材 P1

20、51 定义 1：独立的、服从标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为 n 的 2分布； (11) 见教材 P157 定理 1：来自正态总体的样本均值与方差的概率分布结论； (12) 见教材 P171 例 7.1.4：正态分布总体所含未知参数 ，2的最大似然估计量与矩估计量相同，且总体均值估计量等于样本均值，总体方差估计量等于样本二阶中心矩. 2. 结合例 3.4.4，关于二维随机变量的概率分布，我们会有哪些问题值得研讨？ 问题(1)：考查通过联合概率密度求解边缘概率密度问题； 问题(2)：考查随机变量线性函数 2XY 的概率密度问题，这要比书本的随机变量函数和 X+Y 的形式更具一般性； 问

21、题(3)：考查随机变量的条件概率计算问题. 3. 结合例 3.4.1 和例 3.4.2， 总结求解二维离散型随机变量的概率分布的方法步骤： (1) 分析与计算(X,Y)的取值； (2) 计算(X,Y)的取值的概率，用概率加法公式，概率乘法公式，或条件概率公式； (3) 写成二维表格的形式； 概率论与数理统计教案 第三章第四节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第概率论与数理统计教案 第三章第四节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工版 第 125 页页 (4) 计算边缘概率分布. 小 结 与 思 考 小 结 与 思 考 本次课主要介绍了： (1) 两个随机变量X,Y的和函数Z=X+Y的分布函数及概率密度问题. (2) 得到两个独立的服从正态分布的随机变量X,Y的和Z=X+Y仍服从正态分布,且 ZN(1+2,2221). (3) 对于极大和极小随机变量 M,N, 考虑了它们独立时的分布函数. (4) 讨论了一些简单函数的分布情况, 实际中遇到的函数是复杂的、多种多样的, 但一般求随机变量函数的分布函数的方法是:对于离散型随机变量, 从其联合分布律着手分析； 对于连续型随机变量, 则从其分布函数或概率密度着手分析. 在学习方法上，要掌握例 4、例 5 的解法. 章教学体会记录 章教学体会记录 章教学问题记录章教学问题记录