概率统计教案8章第4节.pdf

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1、 概率论与数理统计教案 第七章第五节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 概率论与数理统计教案 第七章第五节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 293 页页 题目 与 课时题目 与 课时 *第四节 总体分布假设检验的2拟合优度检验法 (星号*部分，工科类、经管类选学内容) 课时：1 教学目的 教学目的 *(1) 了解总体分布假设检验的2检验法； *(2) 会应用该方法进行分布拟合优度检验. 内容 内容 2拟合优度检验法的步骤. 教学重点 教学重点 解决办法 解决办法 加强重点例题讲解力度. 内容 内容 2拟合优度检验法的基本思想. 教学难点

2、 教学难点 解决办法 解决办法 结合2拟合优度检验法的步骤深入分析2拟合优度检验法的基本思想. 教学辅助 教学辅助 利用多媒体课件，板书配合分析. 习题布置 习题布置 P225：1、3. 参考文献 参考文献 1 郑一,王玉敏,冯宝成. 概率论与数理统计. 大连理工大学出版社， 2015 年 8 月. 2 郑一,戚云松,王玉敏. 概率论与数理统计学习指导书. 大连理工大 学出版社，2015 年 8 月. 3 郑一,戚云松,陈倩华,陈健. 光盘：概率论与数理统计教案 作业册 与试卷考题及答案、数学实验视频. 大连理工大学出版社，2015 年 8 月. 4 王玉敏,郑一,林强. 概率论与数理统计教学

3、实验教材. 中国科学技术 出版社， 2007 年 7 月. 联系方式： 概率论与数理统计教案 第七章第五节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 概率论与数理统计教案 第七章第五节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 294 页页 教 学 内 容 教学笔记 教 学 内 容 教学笔记 内容简介内容简介 当总体分布类型未知时, 则需要根据样本观察值对总体的分布类型或分布函数表达式进行推断, 最常用的就是皮尔逊(Pearson)2 拟合优度检验法. 预备知识 预备知识 统计量，分位点，矩估计和极大似然估计，直方图等. *第四节第四节 总体分布假设的总

4、体分布假设的2拟合优度检验法拟合优度检验法 教师教学建议： （1） 8.2 节和 8.3 节都是已知正态总体条件下，假设检验这个总体的均值和方差大小问题. （2） 教学问题引入： 当总体分布类型未知时， 如何根据样本观察值对总体的分布类型进行推断呢？ 前面我们讨论了当总体分布形式已知是正态总体时, 对总体中未知参数的假设检验. 而当总体分布类型未知时, 则需要根据样本观察值对总体的分布进行推断. 本书只介绍其中最常用的皮尔逊皮尔逊(Pearson)的2拟合优度检验法拟合优度检验法. 一、 直方图 一、 直方图 建议：这部分在高中已经学过，高考也考试的. 告诉学生自己看看例题. 例例 8.4.1

5、 一台数控车床连续用刀具加工某种零件, 从换上新刀具到损坏为止加工的零件个数称为刀具的寿命. 现记录 100 把刀具的寿命如下: 344 352 340 351 353348353354351355350 345 352 349 355341351355352349353 348 341 346 349350351348353362338 355 352 356 350351349357348358353 346 352 350 352345347354351347346 343 347 343 357349353345350358354 344 349 340 345359348356346

6、357359 349 355 354 344353346351354347352 344 347 363 355342366352350347346 349 350 360 346358350345349355计算刀具寿命的频率分布并作出直方图. 概率论与数理统计教案 第七章第五节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 概率论与数理统计教案 第七章第五节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 295 页页 解 解 这些样本观测值中最小值是 338, 最大值是 366, 所以我们把数据的分布区间定为(336.5, 366.5, 并把这个区间分成 1

7、0 等分, 各组组距为x 3, 得 10 个小区间: (336.5, 339.5, (339.5, 342.5, , (363.5, 366.5. 分别求出各组频数 ni及频率 fi, 列出表 8-1. 表表 8- -1 例例 8.4.1 数据分布频数与频率数据分布频数与频率 组号 寿命区间 频数 ni 频率 fi 1 (336.5, 339.5 1 0.01 2 (339.5, 342.5 5 0.05 3 (342.5, 345.5 11 0.11 4 (345.5, 348.5 18 0.18 5 (348.5, 351.5 24 0.24 6 (351.5, 354.5 20 0.20

8、 7 (354.5, 357.5 12 0.12 8 (357.5, 360.5 6 0.06 9 (360.5, 363.5 2 0.02 10 (363.5, 366.5 1 0.01 合计 合计 100 1.00 绘出直方图如图 8-8 所示. 图图 8-8 例例 8.4.1 数据直方图数据直方图 从图 8-8 中可以看出, 直方图呈现“两头低, 中间高”, 而且比较对称, 大致可以认为刀具寿命服从某个正态分布, 其数学期望大致在 350 附近. 在理论上是否可以推断“刀具寿命服从某个正态分布” ，还需要进行总体分布的假设检验. 关于总体分布的假设检验见下面分析讨论. 二、二、2拟合优度

9、检验法及其拒绝域拟合优度检验法及其拒绝域 设总体X的分布函数F(x)未知, X1, X2, , Xn为来自该总体的样本, 检验假设: 00:( )( ),HF xF x 10:( )( )HF xF x. (4.1) 这里 F0(x)是待接受的总体分布函数. 若总体为离散型, 则需检验假设: H0: 总体 X 的分布律为 PX=xi=pi, i=1, 2, , pi已知. (4.2) 若总体为连续型, 则待检验假设是 概率论与数理统计教案 第七章第五节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 概率论与数理统计教案 第七章第五节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大

10、学出版社出版 第 296 页页 H0: X 的概率密度为 f(x) (f(x)已知) . (4.3) 至于概率密度 f(x)或分布律的具体形式, 可由以往经验或根据样本的观测值利用直方图来推测. 2检验法的基本思想基本思想是: 将随机试验的可能结果的全体分为 k 个互不相容的事件 A1, A2, Ak, 在 H0成立的条件下计算 P(Ai)=pi, i=1, 2, , k. 在n次试验中, 事件Ai出现的频率inn(其中1kiinn)与pi常有差异, 但由伯 努 利 大 数 定 律 可 知 , 如 果 试 验 次 数 很 多 , 在 H0成 立 的 条 件 下 , iiiinnnppnn的值应

11、该比较小. 若该值较大， 应拒绝原假设. 基于此, 皮 尔逊选用统计量 221(),kiiiinnpnp (4.4) 并证明了如下定理18. 定理定理 若若 n 充分大充分大(一般要求一般要求 n50), 则当则当 H0成立时, 不论总体成立时, 不论总体 X 服从何种分布服从何种分布, 统计量统计量(4.4)近似地服从自由度为近似地服从自由度为 k-1 的的2分布. 分布. 在 H0成立时, 利用样本数据可计算(4.4)中2的观测值, 对于给定的显著性水平 , 查表得2(1)k. 于是检验拒绝域为 22(1)k. (4.5) 上述是在 pi完全已知的条件下的结论. 对于诸 pi不完全已知时，

12、此种情况下最常见的情形是诸 pi,(i=1,k）可由 r(rk)个未知参数1,2,r确定，即 12,iirpp , i=1,k. 为对假设(4.1)做检验，首先由样本给出1,2,r的最大似然估计1,2,r, 然后给出诸 pi,i=1,k 的最大似然估计12,iirPP . 费歇耳(Fisher)证明了如下检验统计量 221iikiinn pn p (4.6) 概率论与数理统计教案 第七章第五节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 概率论与数理统计教案 第七章第五节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 297 页页 在 H0成立时近似服从自由度

13、为1kr 的2分布，于是检验拒绝域为 221kr . (4.7) 三、三、2检验法的基本步骤检验法的基本步骤 2检验法实施步骤检验法实施步骤是: (1) 提出原假设 H0: F(x)=F0(x)(或 H0: X 服从某种分布); (2) 将实数轴分为 k 个不相交的区间(a0, a1, (a1, a2, , (ak-1, ak), 其中 a0可取至-, ak可取至+, 一般取 8k15; (3) 计算观测值频数 ni, 即 n 个样本观测值 x1, x2, , xn中落入第 i 个区间(ai-1, ai中的个数 ni(i=1, 2, , k); (4) 在 H0成立的条件下, 计算 X 落入各

14、区间的概率 pi=Pai-1Xai=F0(ai)-F0(ai-1), 进而得到理论频数 npi(i=1, 2, , k); (5) 将 ni, npi代入(4.4)式或(4.6)式求出2的值; (6) 查2分布表得2(1)k或2(1)kr ; (7) 作出推断结论: 若22(1)k或22(1)kr , 则拒绝 H0, 否则接受 H0. 应注意注意的是, 利用2拟合优度检验法时一般要求 npi5(i=1, 2, , k), 否则应适当地将相邻的区间合并, 以满足此要求. 例例 8.4.2 检验例 8.4.1 中刀具寿命是否服从正态分布? 取显著性水平=0.05. 教学建议： （1）此例是例 8.

15、4.1 问题的继续. （2）当时画出直方图，在几何直观上可以看到数据的分布趋势. （3）这里利用2检验法检验问题“刀具寿命是否服从正态分布？” （4）此例也是科技工作、科技论文中常用的方法. 建议学生上网搜索数据，利用此法写写论文，以提高科研能力. 解解 根据频率直方图的分布形状, 我们可以推断总体可能服从正态分布. 以随机变量 X 表示刀具寿命, 需要检验原假设 20:( ,)HXN . 概率论与数理统计教案 第七章第五节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 概率论与数理统计教案 第七章第五节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 298 页

16、页 既然待检验正态总体2( ,)N 中的两个参数 与 2都是未知的, 那么我们先用最大似然法求其估计值 , x 2211() .niixxn 将例 8.4.1 中的样本观测值代入上述公式,计算得到 350.38,x 225.2. 因此，现在需要检验假设 20:(350.38,5.2 ).HXN 将实数轴分为 10 个区间, 第一个区间是(-, 339.5, 最后一个区间为(363.5, +), 其它各区间保持不变. 下面计算落入各区间的概率. 由于 1iiipP aXa 1350.38350.38()(),5.25.2iiaai=1, 2, , 10， 所以1339.5350.38339.5(

17、)( 2.09)0.0183,5.2pP X 2342.5350.38339.5350.38339.5342.5()()5.25.2( 1.52)( 2.09)0.046.pPX 类似地, 计算可得3 p,4 p,10 p的值, 结果见表 8-2. 表表 8-2 例例 8.4.2 频率频率,概率与统计量值概率与统计量值 组号 区间 组号 区间 ni ip nip (ni-nip)2/nip 1 2 (-, 339.5 (339.5, 342.5 15 0.0183 0.046 6.4315 0.0288 3 (342.5, 345.5 11 0.1093 10.93 0.0004 4 (345

18、.5, 348.5 18 0.1858 18.58 0.0181 5 (348.5, 351.5 24 0.2277 22.77 0.0664 6 (351.5, 354.5 20 0.1981 19.81 0.0018 7 (354.5, 357.5 12 0.1295 12.95 0.0697 8 9 10 (357.5, 360.5 (360.5, 363.5 (363.5,+ 621 0.0597 0.0197 0.0059 8.535.971.970.590.0259 合计合计 100 0.2111 合并后区间个数 k=7, 这里有两个待估参数, 所以 r=2. 对于 =0.05,

19、查表得 概率论与数理统计教案 第七章第五节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 概率论与数理统计教案 第七章第五节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 299 页页 220.05(1)(4)9.488.kr 因 为 样 本 观 测 值220.050.211(4)=9.488 ， 没 有 落 入 拒 绝 域220.05(4)xx，所以接受 H0, 即认为刀具寿命服从正态分布 N(350.38, 5.22). 讲评讲评 (1) 要解决的问题是“刀具寿命是否服从正态分布?”， 提示我们应该进行总体分布类型的假设检验，人们常用“总体分布假设的2检验法

20、”. (2) 施行“总体分布假设的2检验法”的步骤，提示读者自己分解划分. 注意处理两个条件 npi 5 和 8k15. (3) 在理论上得到了可以接受的结论“认为刀具寿命服从正态分布N(350.38, 5.22)”后，我们就知道了正态总体的均值为 350.38，其方差为 5.22. (4) 由于成立了结论“认为刀具寿命服从正态分布”，我们完全可以进一步分析、讨论和预测该正态总体的概率问题. 例如进一步结合第七章的区间估计方法，结合第八章的假设检验等知识进行统计分析. * *思考题思考题 1. 如何理解总体分布假设的 2拟合优度检验法的检验统计量？ 2. 为什么要进行总体分布假设检验？所得结论

21、能否与正态总体均值、 方差的假设检验方法结合使用？ 解题参考解题参考 1. (1) 将随机试验的可能结果的全体分为 k 个互不相容的事件 A1, A2, Ak, 在 H0成立的条件下计算 P(Ai)=pi, i=1, 2, , k. 此时用 221(),kiiiinnpnp 拒绝域是 22(1)k. (2) 对于诸 pi不完全已知时，由样本给出1,r的最大似然估计1,r, 然后给出诸 pi,i=1,k 的最大似然估计1,iirpp.在这种 概率论与数理统计教案 第七章第五节 郑一，戚云松，陈倩华，陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 概率论与数理统计教案 第七章第五节 郑一，戚云松，陈倩华，

22、陈健 编著 大连理工大学出版社出版 第 300 页页 条件下，用 221kiiiinnpnp， 拒绝域是 22(1)kr， 其中 r 是分布中未知参数的个数，k 是要求 npi5 合并区间后的区间个数. 2. 前面我们讨论了当总体分布形式已知时, 对正态总体中未知参数的假设检验. 而当总体分布类型未知时, 则需要根据样本观察值对总体的分布进行推断, 这就是总体分布的假设检验问题. 若总体分布的假设检验接受结论“认为总体服从正态分布” ，我们完全可以进一步分析、讨论和假设检验该正态总体的未知参数以及计算概率等问题. 例如进一步结合第七章的区间估计方法， 结合第八章的假设检验等知识进行统计分析.

23、小 结 与 思 考 小 结 与 思 考 思考题 思考题 假设检验中，无论你做出拒绝原假设或接受原假设，都有可能犯错误，是这样吗？ 答：是. 无论采取什么样的决策(取或舍)都可能是正确的，同时又都可能犯错误. 既然如此，还要“假设检验”干什么？！ 实际上，概率论与数理统计本身就是研究随机现象的，因此它的结论无不带有“随机性” 。正如我们说“小概率事件在一次试验中几乎不可能发生” 。这个“几乎”就带有随机性. 我们对原假设做出拒绝或接受的判断，都是根据“小概率事件原理” ，因此犯错误和不犯错误的可能性都是存在的. 若二者的可能性各占一半，那么“假设检验”确实没有任何价值. 事实上，犯错误的概率是很小的. 这样， “假设检验”才成为检验某种估计(或称猜想)可靠程度的一种良法.