同济大学第六版高等数学课后答案全集.pdf

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1、高等数学第六版上册课后习题答案高等数学第六版上册课后习题答案 （精典版）（精典版）第一章第一章习题 111 设 A( 5)(5 ) B10 3) 写出 AB AB AB 及 A(AB)的表达式解 AB( 3)(5 )AB10 5)AB( 10)(5 )A(AB)10 5)2 设 A、B 是任意两个集合 证明对偶律 (AB)CACBC证明 因为x(AB)CxAB xA 或 xB xAC或 xBC xACBC所以(AB)CACBC3 设映射 f X Y AX BX 证明(1)f(AB)f(A)f(B)(2)f(AB)f(A)f(B)证明 因为yf(AB)xAB 使 f(x)y(因为 xA 或 xB

2、) yf(A)或 yf(B) yf(A)f(B)所以f(AB)f(A)f(B)(2)因为yf(AB)xAB 使 f(x)y(因为 xA 且 xB) yf(A)且 yf(B) yf(A)f(B)所以f(AB)f(A)f(B)4 设映射 f XY 若存在一个映射 g YX 使g f IXf gIY 其中 IX、IY分别是 X、Y 上的恒等映射 即对于每一个 xX 有 IXxx 对于每一个 yY 有IYyy 证明 f 是双射 且 g 是 f 的逆映射 gf1证明 因为对于任意的yY 有xg(y)X 且f(x)fg(y)Iyyy 即Y中任意元素都是 X 中某元素的像 所以 f 为 X 到 Y 的满射又

3、因为对于任意的 x1x2 必有 f(x1)f(x2) 否则若 f(x1)f(x2)g f(x1)gf(x2)word 文档 可自由复制编辑 x1x2因此 f 既是单射 又是满射 即 f 是双射对于映射 g YX 因为对每个 yY 有 g(y)xX 且满足 f(x)fg(y)Iyyy按逆映射的定义 g 是 f 的逆映射5 设映射 f XY AX 证明(1)f1(f(A)A(2)当 f 是单射时 有 f1(f(A)A 证明 (1)因为 xA f(x)yf(A) f1(y)xf1(f(A)所以f1(f(A)A(2)由(1)知 f1(f(A)A另一方面 对于任意的 xf1(f(A)存在 yf(A) 使

4、 f1(y)xf(x)y 因为yf(A)且 f 是单射 所以 xA 这就证明了 f1(f(A)A 因此 f1(f(A)A 6 求下列函数的自然定义域(1)y 3x2解 由 3x20 得x2 函数的定义域为2,)33(2)y121x解 由 1x20 得 x1 函数的定义域为( 1)(1 1)(1 )(3)y1 1x2x解 由 x0 且 1x20 得函数的定义域 D1 0)(0 1(4)y14x2解 由 4x20 得 |x|2 函数的定义域为(2 2)(5)ysin x解 由 x0 得函数的定义 D0 )(6) ytan(x1)解 由x1(k0 1 2 )得函数的定义域为xk1(k0 1 2 22

5、)(7) yarcsin(x3)word 文档 可自由复制编辑解 由|x3|1 得函数的定义域 D2 4(8)y 3xarctan1x解 由 3x0 且 x0 得函数的定义域 D( 0)(0 3)(9) yln(x1)解 由 x10 得函数的定义域 D(1 )(10)1yex解 由 x0 得函数的定义域 D( 0)(0 )7 下列各题中 函数 f(x)和 g(x)是否相同？为什么？(1)f(x)lg x2 g(x)2lg x(2) f(x)x g(x)x2(3)f(x)3x4x3g(x)x3x1(4)f(x)1 g(x)sec2xtan2x 解 (1)不同因为定义域不同(2)不同 因为对应法则

6、不同 x0 时 g(x)x(3)相同 因为定义域、对应法则均相相同(4)不同 因为定义域不同|sinx|x|3 求()()()(2) 并作出函数y(x)8 设(x)464|x|03的图形解()|sin|1()|sin|2()|sin()|2(2)04424426629 试证下列函数在指定区间内的单调性(1)yx ( 1)1x(2)yxln x (0 )证明 (1)对于任意的 x1 x2( 1) 有 1x10 1x20 因为当 x1x2时y1y2x1xx1x2201x11x2(1x1)(1x2)word 文档 可自由复制编辑所以函数yx在区间( 1)内是单调增加的1x(2)对于任意的 x1 x2

7、(0 ) 当 x1x2时 有xy1y2(x1l nx1)(x2l nx2)(x1x2)l n10 x2所以函数 yxln x 在区间(0 )内是单调增加的10 设 f(x)为定义在(l l)内的奇函数 若 f(x)在(0 l)内单调增加 证明 f(x)在(l 0)内也单调增加证明 对于x1 x2(l 0)且 x1x2 有x1 x2(0 l)且x1x2因为 f(x)在(0 l)内单调增加且为奇函数 所以f(x2)f(x1) f(x2)f(x1) f(x2)f(x1)这就证明了对于x1 x2(l 0) 有 f(x1) f(x2) 所以 f(x)在(l 0)内也单调增加11 设下面所考虑的函数都是定

8、义在对称区间(l l)上的 证明(1)两个偶函数的和是偶函数 两个奇函数的和是奇函数(2)两个偶函数的乘积是偶函数 两个奇函数的乘积是偶函数 偶函数与奇函数的乘积是奇函数证明 (1)设 F(x)f(x)g(x) 如果 f(x)和 g(x)都是偶函数 则F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)所以 F(x)为偶函数 即两个偶函数的和是偶函数如果 f(x)和 g(x)都是奇函数 则F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)所以 F(x)为奇函数 即两个奇函数的和是奇函数(2)设 F(x)f(x)g(x) 如果 f(x)和 g(x)都是偶函数 则F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)

9、F(x)所以 F(x)为偶函数 即两个偶函数的积是偶函数如果 f(x)和 g(x)都是奇函数 则F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)所以 F(x)为偶函数 即两个奇函数的积是偶函数如果 f(x)是偶函数 而 g(x)是奇函数 则F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)所以 F(x)为奇函数 即偶函数与奇函数的积是奇函数12 下列函数中哪些是偶函数 哪些是奇函数 哪些既非奇函数又非偶函数？word 文档 可自由复制编辑(1)yx2(1x2)(2)y3x2x321x(3)y1x2(4)yx(x1)(x1)(5)ysin xcos x1xxa a(

10、6)y2解 (1)因为 f(x)(x)21(x)2x2(1x2)f(x) 所以 f(x)是偶函数(2)由 f(x)3(x)2(x)33x2x3可见 f(x)既非奇函数又非偶函数1(x)21x2(3)因为f(x) f(x) 所以 f(x)是偶函数221x1x(4)因为 f(x)(x)(x1)(x1)x(x1)(x1)f(x) 所以 f(x)是奇函数(5)由 f(x)sin(x)cos(x)1sin xcos x1 可见 f(x)既非奇函数又非偶函数(x)(x)xxaa f (x) 所以 f(x)是偶函数(6)因为f (x)aa2213 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数 指出其周期(1)y

11、cos(x2)解 是周期函数 周期为 l2(2)ycos 4x解 是周期函数 周期为l2(3)y1sinx解 是周期函数 周期为 l2(4)yxcos x解 不是周期函数(5)ysin2x解 是周期函数 周期为 l14 求下列函数的反函数(1)y3x1错误！未指定书签。错误！未指定书签。错误！未指定书签。错误！未指定书签。解 由y3x1得 xy31 所以y3x1的反函数为 yx31(2)y1x错误！未指定书签。错误！未指定书签。1xword 文档 可自由复制编辑1y解 由y1x得x 所以y1x的反函数为y1x1 y1x1x1x(3)yaxb(adbc0)cxddyb解 由yaxb得x 所以ya

12、xb的反函数为ydxbcyacxdcxdcxa(4) y2sin3xy解 由 y2sin 3x 得x1arcsin 所以 y2sin3x 的反函数为y1arcsinx3232(5) y1ln(x2)解 由 y1ln(x2)得 xey12 所以 y1ln(x2)的反函数为 yex12x2(6)yx2 1xy2xxyxlog解 由y2得 所以的反函数为ylog221y2x12x11x15 设函数 f(x)在数集 X 上有定义 试证 函数 f(x)在 X 上有界的充分必要条件是它在 X 上既有上界又有下界证明 先证必要性 设函数 f(x)在 X 上有界 则存在正数 M 使|f(x)|M 即Mf(x)

13、M 这就证明了 f(x)在 X 上有下界M 和上界 M再证充分性 设函数 f(x)在 X 上有下界 K1和上界 K2 即 K1f(x) K2 取Mmax|K1| |K2| 则M K1f(x) K2M 即|f(x)|M这就证明了 f(x)在 X 上有界16 在下列各题中 求由所给函数复合而成的函数 并求这函数分别对应于给定自变量值 x1和 x2的函数值(1) yu2 usin xx1x263解 ysin2xy1sin2(1)21y2sin2(3)23324624(2) ysin u u2xx1x284解 ysin2xy1sin(2)sin2y2sin(2)sin184242(3)y u u1x2

14、 x11 x2 2word 文档 可自由复制编辑解y 1x2y1 112 2y2 122 5(4) yeu ux2 x10 x21解yexy1e01y2e1e(5) yu2 uex x11 x21解 ye2x y1e21e2 y2e2(1)e217 设 f(x)的定义域 D0 1 求下列各函数的定义域(1) f(x2)解 由 0 x21 得|x|1 所以函数 f(x2)的定义域为1 1(2) f(sinx)解 由 0sin x1 得 2nx(2n1) (n0 1 2 ) 所以函数 f(sin x)的定义域为2n (2n1) (n0 1 2 ) (3) f(xa)(a0)解 由 0 xa1 得a

15、x1a 所以函数 f(xa)的定义域为a 1a(4) f(xa)f(xa)(a0)解 由0 xa1且0 xa1得 当0a1时 ax1a 当a1时 无解 因此22当0a1时函数的定义域为a 1a 当a1时函数无意义22|x|1 1|x|1 g(x)ex错误！未指定书签。 求 fg(x)和 gf(x) 并18 设f (x)0|x|11222作出这两个函数的图形 1|ex|1 1x0解fg(x)0|ex|1 即fg(x)0 x0 x1|e |11x0 e1|x|1e|x|1|x|1gf(x)ef (x)e0|x|1 即gf (x)11e1|x|1|x|1e19 已知水渠的横断面为等腰梯形 斜角40(

16、图 137) 当过水断面 ABCD的面积为定值 S0时 求 湿 周L(LABBCCD)与水深 h 之间的函数关系式 并指明其定义域word 文档 可自由复制编辑图 137解BCABDChsin40又从1hBC(BC2cot40h)S02得S0cot40 h 所以hS02cos40Lhhsin40自变量 h 的取值范围应由不等式组Sh00cot40 h0h确定 定义域为0h S0cot4020 收敛音机每台售价为 90 元 成本为 60 元 厂方为鼓励销售商大量采购决定凡是订购量超过 100 台以上的 每多订购 1 台 售价就降低 1 分 但最低价为每台 75 元(1)将每台的实际售价 p 表示

17、为订购量 x 的函数(2)将厂方所获的利润 P 表示成订购量 x 的函数(3)某一商行订购了 1000 台 厂方可获利润多少？解 (1)当 0 x100 时 p90令 001(x0100)9075 得 x01600 因此当 x1600 时 p75当 100 x1600 时p90(x100)001910 01x综合上述结果得到0 x10090100 x1600p910.01x75x1 6 0 030 x0 x100100 x1600(2)P(p60)x31x0.01x215xx1600(3) P3110000011000221000(元)word 文档 可自由复制编辑习题 121 观察一般项 x

18、n如下的数列xn的变化趋势 写出它们的极限(1)xn1n210解 当 n时xn10limn2n2n(2)xn(1)n1n解 当 n时xn(1)n10lim(1)n10nnn(3)xn212n1)2解 当 n时xn212lim(2nn2n2(4)xnn1n1解 当 n时xnn1120limn11nn1n1n1(5) xnn(1)n解 当 n时 xnn(1)n没有极限cosn2 问lim x? 求出 N 使当 nN 时 x 与其2 设数列xn的一般项xnnnnn极限之差的绝对值小于正数 当0001 时 求出数 N解lim xn0nn|co s21 0 要使|x 0| 只要1 也就是n1 取|xn0

19、|nnnnN1则nN 有|xn0|当0001 时N110003 根据数列极限的定义证明word 文档 可自由复制编辑(1)lim10nn21 只须n21 即n1分析 要使|10|n2n2110证明 因为0 N 当 nN 时 有|1 所以0|limnn2n2(2)lim3n13n2n1 23n13|11分析 要使| 只须1 即n12n122(2n1)4n44n证明 因为0 N1 当 nN 时 有|3n13| 所以lim3n13n2n122n1 2422n a(3)lim1nn222222a2n an a naan分析 要使|1| 只须22nnnn( n a n)2aN22n a 当nN 时 有|

20、1| 所以n证明 因为0 22n alim1nn(4)lim0.99991 nn个1 即1分析 要使|099 91|1 只须n1lg10n110n1证明 因为0 N1lg1 当nN 时 有|099 91| 所以 nn个nlim0.999914lim una 证明lim|un|a| 并举例说明 如果数列|xn|有极限 但数列nxn未必有极限证明 因为lim una 所以0 NN 当 nN 时 有|una| 从而n|un|a|una|word 文档 可自由复制编辑这就证明了lim|un|a|n数列|xn|有极限 但数列xn未必有极限 例如lim|(1)n|1 但lim(1)n不nn存在5 设数列x

21、n有界 又lim yn0 证明lim xnyn0nn证明 因为数列xn有界 所以存在 M 使nZ Z 有|xn|M又lim yn0 所以0 NN N 当 nN 时 有|yn| 从而当 nN 时 有nM|xnyn0|xnyn|M|yn|MM所以lim xnyn0n6 对于数列xn 若 x2k1a(k) x2ka(k)证明 xna(n)证明 因为 x2k1a(k) x2ka(k) 所以0K1 当 2k12K11 时 有| x2k1a|K2 当 2k2K2时 有|x2ka|取 Nmax2K11 2K2 只要 nN 就有|xna|因此 xna (n)习题 131 根据函数极限的定义证明(1)lim(3

22、x1)8x3分析 因为|(3x1)8|3x9|3|x3|所以要使|(3x1)8| 只须|x3|13证明 因为0 1 当 0|x3|时 有3|(3x1)8|所以lim(3x1)8x3(2)lim(5x2)12x2word 文档 可自由复制编辑分析 因为|(5x2)12|5x10|5|x2|所以要使|(5x2)12| 只须|x2|15证明 因为0 当 0|x2|时 有|(5x2)12|所以lim(5x2)12x2152x 44(3)limx2x2分析 因为x24(4) x24x4|x2|x(2)|x2x2x24(4) 所以要使 只须|x(2)|x2证明 因为0 当 0|x(2)|时 有x24(4)

23、 x2x244lim所以x2x2314x(4)lim212x1x2分析 因为314x2 |12x2|2|x(1)|2x1214x32 所以要使 只须|x(1)|12x122证明 因为0 1 当0|x(1)|时 有2214x32 2x1314x所以lim212x1x22 根据函数极限的定义证明word 文档 可自由复制编辑31(1)lim1xx2x32分析 因为311x3x311x2x322x32|x|31x311所以要使 只须13 即|x|3322x2|x|2证明 因为0 X 31x312x3231所以lim1xx2x32sinx0(2)limxx分析 因为x|x0 |s i ns i nxx

24、所以要使sinx0 只须x证明 因为0 X 11 当|x|X 时 有21x1 即x1 2x 2 当 xX 时 有s i n x0 xsinx0所以limxx3 当 x2 时yx24 问等于多少 使当|x2|时 |y4|0X10 使当 xX1时 有|f(x)A|X20 使当 xX2时 有|f(x)A|word 文档 可自由复制编辑取 XmaxX1 X2 则当|x|X 时 有|f(x)A| 即lim f (x)Ax8 根据极限的定义证明 函数 f(x)当 xx0时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等证明 先证明必要性 设 f(x)A(xx0) 则0 0 使当 0|xx0|时有|f

25、(x)A|因此当 x0 xx0和 x0 xx0时都有|f(x)A|010 使当 x01xx0时 有| f(x)A0 使当 x0 xx0+2时 有| f(x)A|取min12 则当 0|xx0|时 有 x01xx0及 x0 xx0+2 从而有| f(x)A|0 因为f(x)在x0连续 所以lim f (x) f (x0)0 由极限的局xx0部保号性定理 存在 x0的某一去心邻域U(x0) 使当 xU(x0)时 f(x)0 从而当xU(x0)时 f(x)0 这就是说 则存在 x0的某一邻域 U(x0) 当 xU(x0)时 f(x)05 试分别举出具有以下性质的函数 f(x)的例子(1)x0 1 2

26、1 n1 是 f(x)的所有间断点 且它们都是无穷间2n断点解 函数f (x)csc(x)csc在点 x0 1 21 n1 处是间断的x2n且这些点是函数的无穷间断点(2)f(x)在 R R 上处处不连续 但|f(x)|在 R R 上处处连续1xQ Q解 函数 f(x)在 R R 上处处不连续 但|f(x)|1 在 R R 上处处连续1xQ Q(3)f(x)在 R R 上处处有定义 但仅在一点连续xQ Q x解 函数 f(x)在 R R 上处处有定义 它只在 x0 处连续xxQ Q习题 1932x 3x x31 求函数f (x)的连续区间 并求极限lim f (x)lim f (x)及x3x0

27、 x2x6lim f (x)x2word 文档 可自由复制编辑32x 3x x3(x3)(x1)(x1) 函数在( )内除点 x2 和 x3解f (x)(x3)(x2)x2x6外是连续的 所以函数 f(x)的连续区间为( 3)、(3 2)、(2 )在函数的连续点 x0 处lim f(x) f(0)1x02在函数的间断点 x2 和 x3 处lim f (x)limx2(x1)(x1)(x3)(x1)(x1)8lim f (x) limx3x3x2x25(x3)(x2)2 设函数 f(x)与 g(x)在点 x0连续 证明函数(x)maxf(x) g(x)(x)minf(x) g(x)在点 x0也连

28、续证明 已知lim f (x) f(x0)lim g(x)g(x0)xx0 xx0可以验证(x)1f(x)g(x)| f(x)g(x)|2(x)1f(x)g(x)| f(x)g(x)|2因此(x0)1f(x0)g(x0)| f(x0)g(x0)|2(x0)1f(x0)g(x0)| f(x0)g(x0)|2因为lim(x) lim1f(x)g(x)| f(x)g(x)|xx0 xx021lim f(x) lim g(x)| lim f(x) lim g(x)|xx0 xx0 xx02xx01f(x0)g(x0)| f(x0)g(x0)|(x0)2所以(x)在点 x0也连续同理可证明(x)在点 x

29、0也连续3 求下列极限(1)limx22x5x0word 文档 可自由复制编辑(2)lim(sin2x)3x4(3)lim ln(2cos2x)x6(4)limx11x0 x(5)lim5x4 xx1x1(6)limsinxsinaxaxa(7)lim ( x2x x2x)x解 (1)因为函数f(x) x22x5是初等函数 f(x)在点 x0 有定义 所以limx22x5 f (0) 02205 5x0(2)因为函数 f(x)(sin 2x)3是初等函数 f(x)在点x有定义 所以4l i m ( s i2 nx)3 f()( s i2 n)3144x4(3)因为函数 f(x)ln(2cos2

30、x)是初等函数 f(x)在点x有定义 所以6lim l n2 (c o2 sx) f()l n2 (c o2 s)066x6( x11)( x11)x(4)limx11limlimx0 x0 x0 xx( x11)x( x11)l i mx0111x110112( 5x4 x)( 5x4 x)(5)lim5x4 xlimx1x1x1(x1)( 5x4 x)limword 文档 可自由复制编辑444x4l i m2x15x4xx1(x1)( 5x4x)514 12cosxasinxa22(6)limsinxsinalimxaxaxaxaxas i n2c oalimcosxalimsa1c oa

31、 sxaxaxa222( x2x x2x)( x2x x2x)(7)lim ( x x x x) lim22xx( x xx x)22 lim2x2 lim1x( x2x x2x)x( 11 11)xx4 求下列极限(1)limx1ex(2)limlnsinxx0 x(3)lim(11)2xx(4)lim(13tan2x)cot xx0 x13x)2(5)lim(x6x2x(6)lim1tanx 1sinxx0 x 1sin2xx解 (1)lime ex1xxxlim1e01(2)limlnsinxln(limsinx)ln10 x0 x0 xx(3) lim(11)2 lim (11)xxx

32、xxx12e e 12word 文档 可自由复制编辑(4)lim(13tan2x)cot xlimx02x01(13tan2x)3tan2x3e36x3 x1x13x32)(1)3 6x 2 因为(5)(6x6x6x3(1)3elim3x13l i mxx6x26x2x133x)2e2所以lim(x6x( 1tanx 1sinx)( 1sin2x1)1tanx 1sinxlim(6)lim22x0 x0 x 1sin xxx( 1sin x1)( 1tanx 1sinx)2xt a n x2s i n(tanxsinx)( 1s i nx1)2liml i m22x0 xs i nxx( 1t

33、 a n x 1s i n x)x0 xs i n22x(x)221limx02x3 exx05 设函数 f (x)axx0应当如何选择数 a 使得 f(x)成为在( )内的连续函数？解 要使函数 f(x)在( )内连续 只须 f(x)在 x0 处连续 即只须l i mf (x) l i mf (x) f (0)ax0 x0因为lim f (x) lim ex1lim f (x) lim (ax)a 所以只须取 a1x0 x0 x0 x0习题 1101 证明方程 x53x1 至少有一个根介于 1 和 2 之间证明 设 f(x)x53x1 则 f(x)是闭区间1 2上的连续函数因为 f(1)3

34、f(2)25 f(1)f(2)0 所以由零点定理 在(1 2)内至少有一点(12) 使 f()0 即 x是方程 x53x1 的介于 1 和 2 之间的根因此方程 x53x1 至少有一个根介于 1 和 2 之间2 证明方程 xasinxb 其中 a0 b0 至少有一个正根 并且它不超过 abword 文档 可自由复制编辑证明 设 f(x)asin xbx 则 f(x)是0 ab上的连续函数f(0)b f(ab)a sin (ab)b(ab)asin(ab)10若 f(ab)0 则说明 xab 就是方程 xasinxb 的一个不超过 ab 的根若f(ab)0 则f(0)f(ab)0 由零点定理 至

35、少存在一点(0 ab) 使f()0这说明 x也是方程 x=asinxb 的一个不超过 ab 的根总之 方程 xasinxb 至少有一个正根 并且它不超过 ab3 设函数 f(x)对于闭区间a b上的任意两点 x、y 恒有|f(x)f(y)|L|xy| 其中L 为正常数 且 f(a)f(b)0 证明 至少有一点(a b) 使得 f()0证明 设 x0为(a b)内任意一点 因为| f (x) f (x0)| l i mL|xx0|00 l i mxx0 xx0所以lim | f (x) f (x0)|0 xx0即l i mf (x) f(x0)xx0因此 f(x)在(a b)内连续同理可证 f(

36、x)在点 a 处左连续 在点 b 处右连续 所以 f(x)在a b上连续因为 f(x)在a b上连续 且 f(a)f(b)0 由零点定理 至少有一点(a b) 使得 f()04 若 f(x)在a b上连续 ax1x2 xnb 则在x1 xn上至少有一点 使f (x1) f (x2) f (xn)f ()n证明 显然f(x)在x1 xn上也连续 设 M和m分别是f(x)在x1 xn上的最大值和最小值因为 xix1 xn(1 in) 所以有 mf(xi)M 从而有nm f(x1) f(x2) f(xn)nMf (x1) f (x2) f (xn)Mn由介值定理推论 在x1 xn上至少有一点使f (

37、x1) f (x2) f (xn)f ()nm5 证明 若 f(x)在( )内连续 且lim f (x)存在 则 f(x)必在( )内有xword 文档 可自由复制编辑界证明 令lim f (x)A 则对于给定的0 存在 X0 只要|x|X 就有x|f(x)A| 即 Af(x)A又由于 f(x)在闭区间X X上连续 根据有界性定理 存在 M0 使|f(x)|MxX X取 NmaxM |A| |A| 则|f(x)|N x( ) 即 f(x)在( )内有界6 在什么条件下 (a b)内的连续函数 f(x)为一致连续？总习题一1 在“充分” 、 “必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格

38、内(1)数列xn有界是数列xn收敛的_条件 数列xn收敛是数列xn有界的_的条件(2)f(x)在x0的某一去心邻域内有界是lim f (x)存在的_条件lim f (x)xx0 xx0存在是 f(x)在 x0的某一去心邻域内有界的_条件(3) f(x)在 x0的某一去心邻域内无界是lim f (x)的_条件 xx0 xx0lim f (x)是 f(x)在 x0的某一去心邻域内无界的_条件xx0(4)f(x)当 xx0时的右极限 f(x0)及左极限 f(x0)都存在且相等是lim f (x)存在的_条件解(1) 必要 充分(2) 必要 充分(3) 必要 充分(4) 充分必要2 选择以下题中给出的

39、四个结论中一个正确的结论设 f(x)2x3x2 则当 x0 时 有()(A)f(x)与 x 是等价无穷小(B)f(x)与 x 同阶但非等价无穷小(C)f(x)是比 x 高阶的无穷小(D)f(x)是比 x 低阶的无穷小xxxxf (x)2 3 22 13limlimlim1解 因为limx0 xx0 x0 xx0 xxtln3limuln2ln3ln2lim(令 2x1t 3x1u) t0ln(1t)u0ln(1u)所以 f(x)与 x 同阶但非等价无穷小 故应选 B3 设 f(x)的定义域是0 1 求下列函数的定义域(1) f(ex)(2) f(ln x)word 文档 可自由复制编辑(3)

40、f(arctan x)(4) f(cos x)解(1)由 0ex1 得 x0 即函数 f(ex)的定义域为( 0(2) 由 0 ln x1 得 1xe 即函数 f(ln x)的定义域为1 e(3) 由 0 arctan x 1 得 0 xtan 1 即函数 f(arctan x)的定义域为0 tan 1(4) 由 0 cos x1 得2nx2n(n0 1 2 )22即函数 f(cos x)的定义域为2n, n (n0 1 2 )224 设x00 x00f (x)g(x)2xx0 xx0求 ff(x) gg(x) fg(x) gf(x)0 x0解 因为 f(x)0 所以 ff(x)f(x)xx0

41、因为 g(x)0 所以 gg(x)0因为 g(x)0 所以 fg(x)0 x00因为 f(x)0 所以 gf(x)f2(x)2xx05 利用 ysin x 的图形作出下列函数的图形(1)y|sin x|(2)ysin|x|(3)y2sinx26 把半径为 R 的一圆形铁片 自中心处剪去中心角为的一扇形后围成一无底圆锥 试将这圆锥的体积表为的函数解 设围成的圆锥的底半径为 r 高为 h 依题意有R(2)R(2)2r r22R2(2)24Rh R r R 242222圆锥的体积为R2(2)2142RV 3242word 文档 可自由复制编辑3R2(2)2 4a2(02)242x x657 根据函数

42、极限的定义证明limx3x32x x65|证明 对于任意给定的0 要使| 只需|x3| 取 当x3x2x65|x2x65|lim0|x3|时 就有|x3| 即 所以x3x3x38 求下列极限21(1)limx xx1(x1)2(2)lim x( x21x)x(3)lim(2x3)x1x2x1sinx(4)limtanx3x0 xxxx1a b c)x(a0 b0 c0)(5)lim(x03(6)lim(sinx)tanxx22(x1)2x10 所以limx解 (1)因为lim22x1x x1x1(x1)x( x21x)( x21x)(2)lim x( x 1x) lim2xx( x 1x)2

43、limxx1 lim1x21xx1112x22x112x322x1x1) lim(1) lim(1)22(3)lim(x2x1xx2x12x12x11222(1)(1)2 l i mx2x12x12x11222)lim(1)2e lim(1xx2x12x1word 文档 可自由复制编辑sinx(11)sinx(1cosx)sinxlimcosxlim(4)limtanx333x0 x0 x0 xxx cosxsinx2sin2x2x(x)22lim21limx0 x02x3cosxx3(提示 用等价无穷小换)(5)lim(a bx03xxcx)1xlim(1a b cx033xxx3axbxc

44、x33)axbxcx33x 因为xxx(1a b c 3)axbxcx3el i mx03xxxxxxlima b c 31lim(a 1b 1c 1)x03x3x0 xxx1lnalim1lnblim1lnclim1t0ln(1t)u0ln(1u)v0l n13(v)1(lnalnblnc)ln3abc3xxx13a b c)xeln abc3abc所以lim(x03提示 求极限过程中作了变换 ax1t bx1u cx1v(6)lim(sinx)x2tanx lim1(sinx21n1x1)s i x1(sinx1)tanxx1)sinx1 因为lim1(sinx2es i n x( s i

45、x n1)l i m ( s ix n1)t a n x l i mc o x sxx22sinx(sin2x1)xco s x0 lims i n limx1xcosx(sinx1)xs i n22n)tanxe01所以lim( s i xx21xsinx09 设f(x) 要使 f(x)在( )内连续 应怎样选择数 a?x2axx0word 文档 可自由复制编辑解 要使函数连续 必须使函数在 x0 处连续因为10f(0)alimf (x) lim(ax2)alimf(x) lim xsinx0 x0 x0 x0 x所以当 a0 时 f(x)在 x0 处连续 因此选取 a0 时 f(x)在(

46、)内连续1x1x0 求 f(x)的间断点 并说明间断点所属类形10 设f (x)e1x)1x0ln(解 因为函数 f(x)在 x1 处无定义 所以 x1 是函数的一个间断点1因为limf (x) limex10(提示limx1x1x11)x11)x11l i mf(x) l i m ex1(提示limx1x1x1所以 x1 是函数的第二类间断点又因为limf (x) limln(x1)0limf(x) limx0 x0 x0 x01ex11e所以 x0 也是函数的间断点 且为第一类间断点111111 证明lim222nn 1n 2n n111n 且证明 因为nn2nn21n22n2nn21li

47、mn lim11limn lim11nn2nnnn21n11112nn1111所以lim222nn 1n 2n n12 证明方程 sin xx10 在开区间(,)内至少有一个根2 2证明 设 f(x)sin xx1 则函数 f(x)在,上连续2 2因为f()11f()112f() f()022222222所以由零点定理 在区间(,)内至少存在一点 使 f()02 2这说明方程 sin xx10 在开区间(,)内至少有一个根2 2word 文档 可自由复制编辑13 如果存在直线 L ykxb 使得当 x(或 x x)时 曲线 yf(x)上的动点 M(x y)到直线 L 的距离 d(M L)0 则

48、称 L 为曲线 yf(x)的渐近线 当直线L 的斜率 k0 时 称 L 为斜渐近线(1)证明 直线 L ykxb 为曲线 yf(x)的渐近线的充分必要条件是kx(x,x)l i mf (x)blimxxf (x)kx(x,x)(2)求曲线1y(2x1)ex的斜渐近线证明 (1) 仅就 x的情况进行证明按渐近线的定义 ykxb 是曲线 yf(x)的渐近线的充要条件是limf (x)(kxb)0 x必要性 设 ykxb 是曲线 yf(x)的渐近线 则limf (x)(kxb)0 x于是有l i m xxxf(x)f(x)f(x)kb0limk 0k limxxxxxxx同时有limf (x)kxb

49、0b limf (x)kx充分性 如果k limxxf(x)b limf (x)kx 则xxxxlimf (x)(kxb) limf (x)kxb limf (x)kxbbb0因此 ykxb 是曲线 yf(x)的渐近线1y2x1ex2(2)因为k lim limxxxx11b limy2x lim(2x1)ex2x2lim x(ex1)12limxxxt0l1y(2x1)ext11n1( t)所以曲线习题 21的斜渐近线为 y2x11 设物体绕定轴旋转 在时间间隔0 t内转过的角度为 从而转角是 t 的函数(t) 如果旋转是匀速的 那么称为该物体旋转的角速度 如果旋转t是非匀速的 应怎样确定该

50、物体在时刻 t0的角速度？解 在时间间隔t0 t0t内的平均角速度为word 文档 可自由复制编辑(t t)(t0)0tt故 t0时刻的角速度为(t0t)(t0) l i m l i m(t0) l i mt0t0tt0t2 当物体的温度高于周围介质的温度时 物体就不断冷却 若物体的温度 T与时间 t 的函数关系为 TT(t) 应怎样确定该物体在时刻 t 的冷却速度？解 物体在时间间隔t0 t0t内 温度的改变量为TT(tt)T(t)平均冷却速度为T(tt)T(t)Ttt故物体在时刻 t 的冷却速度为T(tt)T(t)limT limT(t)t0tt0t3 设某工厂生产x单位产品所花费的成本是