高中数学教学中应处理好的十大关系.ppt

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1、高中数学教学中应处理好的十大关系高中数学教学中应处理好的十大关系李祎李祎 福建师范大学福建师范大学一、教书与育人的关系一、教书与育人的关系二、主导与主体的关系二、主导与主体的关系三、结果与过程的关系三、结果与过程的关系四、形式与实质的关系四、形式与实质的关系五、教材与教学的关系五、教材与教学的关系六、知识与思想的关系六、知识与思想的关系七、局部与整体的关系七、局部与整体的关系八、解构与建构的关系八、解构与建构的关系九、讲解与探究的关系九、讲解与探究的关系十、教学与研究的关系十、教学与研究的关系一、教书与育人的关系一、教书与育人的关系 什么是教育？什么是教育？ 教育是一把双刃剑！教育是一把双刃剑

2、！ 素质教育的要义：全体性，全面性。素质教育的要义：全体性，全面性。 应试教育之弊端：应试教育之弊端： 为选拔适合教育的儿童；为选拔适合教育的儿童； 重智，轻德，虚体，忽视美劳。重智，轻德，虚体，忽视美劳。 什么是数学教育？什么是数学教育？ 教教“数学数学”用用“数学数学”来教人来教人 教学永远具有教育性！教学永远具有教育性！ 教人求真、求善、求美！教人求真、求善、求美！ 学会知识学会知识学会思维，学会学习，学会发现，学学会思维，学会学习，学会发现，学会创造，学会生存。会创造，学会生存。 死读书，读死书，书读死？死读书，读死书，书读死？ 案例：案例： 俗话说俗话说“三个臭皮匠顶上一个诸葛亮三个

3、臭皮匠顶上一个诸葛亮”，能顶得，能顶得上吗？比如在一次有关上吗？比如在一次有关“三国演义三国演义”的知识竞赛的知识竞赛中，三个臭皮匠能答对题目的概率分别为中，三个臭皮匠能答对题目的概率分别为50%50%、45%45%、40%40%，诸葛亮能答对题目的概率为，诸葛亮能答对题目的概率为90%90%。如。如果将三个臭皮匠组成一组与诸葛亮比赛，各位选果将三个臭皮匠组成一组与诸葛亮比赛，各位选手独立解题，不得商量，团队中只要有一个解出手独立解题，不得商量，团队中只要有一个解出即为获胜，答对题目多者为胜方，问哪方获胜？即为获胜，答对题目多者为胜方，问哪方获胜？ 解题教学新八股解题教学新八股：解题教学押题猜

4、题讲类型化例题练公式化步骤做模拟试题教得分方法考试高分低能动手能力差应用能力弱创造水平低二、主导与主体的关系二、主导与主体的关系 主体性主体性：能动性、自主性、创造性：能动性、自主性、创造性 能动性能动性：态度问题：态度问题 自主性自主性：地位问题：地位问题 创造性创造性：成效问题：成效问题 谁为教学中的主体？谁为教学中的主体？ “学生作为主体学生作为主体”的理由：的理由： 学与教的关系，是目的与手段的关系学与教的关系，是目的与手段的关系 学与教的关系，是内因与外因的关系学与教的关系，是内因与外因的关系 主导主导：主要的向导，或向导中的主角：主要的向导，或向导中的主角 主体性视角下数学教学之审

5、视主体性视角下数学教学之审视 教学教学“二十四字方针二十四字方针”： 精力内容，大作功夫；精力内容，大作功夫； 少占多让，少扶多放；少占多让，少扶多放； 绝对主动，相对自主。绝对主动，相对自主。（李祎（李祎. .基于探究学习的数学教学策略研究，数学通报，基于探究学习的数学教学策略研究，数学通报， 20092009年年0202期）期） 为病态数学教学开药方：为病态数学教学开药方： “越俎代庖越俎代庖”式数学教学；式数学教学； “目中无人目中无人”式数学教学；式数学教学； “以点代面以点代面”式数学教学；式数学教学； “本末倒置本末倒置”式数学教学。式数学教学。（李祎（李祎. .为病态数学教学开药

6、方为病态数学教学开药方, ,中国教育报中国教育报, 2009, 2009年年1010月月1616日日 李祎李祎, ,单单墫墫. .作作“无为无为”之师，行有为之教，之师，行有为之教，中国教育报中国教育报，20062006年年1010月月1010日日 李祎李祎, ,涂荣豹涂荣豹. .学习贵在学习贵在“自得自得”，中国教育报中国教育报，20062006年年1212月月2323日）日） 一位企业家问郭思乐教授一位企业家问郭思乐教授, ,什么是教学什么是教学？他说？他说: : 如果你告诉学生如果你告诉学生,3,3乘以乘以5 5等于等于15,15,这就不是教学这就不是教学. . 如果你说如果你说,3,3

7、乘以乘以5 5等于什么？这就有一点是教学等于什么？这就有一点是教学了了. .如果你有胆量说如果你有胆量说,3,3乘以乘以5 5等于等于14,14,那就更是教那就更是教学了学了. .这时候这时候, ,打瞌睡的孩子睁开了眼睛打瞌睡的孩子睁开了眼睛, ,玩橡皮玩橡皮泥的学生也不玩了泥的学生也不玩了: :“什么什么？等于什么什么？等于1414？！？！”然后他们就用各种方法然后他们就用各种方法, ,来论证等于来论证等于1515而不是而不是14.14.三、结果与过程的关系三、结果与过程的关系 1.1.过程与结果的含义过程与结果的含义 结果结果是指教学活动发展的最终产物，是指教学活动发展的最终产物，过程过程

8、则是指则是指为获得教学结果所必须经历的活动程序。为获得教学结果所必须经历的活动程序。 过程性的完整含义：过程性的完整含义：（1 1）数学知识的过程性）数学知识的过程性（2 2）数学思维的过程性）数学思维的过程性（3 3）数学活动的过程性）数学活动的过程性 2.2.过程与结果的关系过程与结果的关系 从科学角度来看从科学角度来看，两则不可割裂。，两则不可割裂。 “三个三个”馒头的寓言故事。馒头的寓言故事。 过程某种意义上就是结果。过程某种意义上就是结果。 从教学角度来看从教学角度来看，则会出现两者的割裂：，则会出现两者的割裂： 只教知识的结果，不教知识的过程；只教知识的结果，不教知识的过程； 只注

9、重知识结果的教学只注重知识结果的教学, ,不注重知识过程的教学；不注重知识过程的教学； 只教这个题目如何解只教这个题目如何解, ,不教该解法是怎么想到的。不教该解法是怎么想到的。 3.3.关于过程与结果的三种观点关于过程与结果的三种观点 观点观点1 1: :只要结果，不要过程只要结果，不要过程； 观点观点2 2: :重视过程，但重视过程的目的，是为了更重视过程，但重视过程的目的，是为了更好地掌握知识与技能，好地掌握知识与技能，过程本身的价值被忽略过程本身的价值被忽略； 观点观点3 3: :过程本身就是一个教学目标过程本身就是一个教学目标，经历过程已，经历过程已不仅是为了获得知识与技能，不仅是为

10、了获得知识与技能，“过程过程”本身所蕴本身所蕴含的价值被纳入教学目标的范畴。含的价值被纳入教学目标的范畴。 4.4.过程与结果具有不同的价值过程与结果具有不同的价值 结果的价值结果的价值追求的是对学生的追求的是对学生的即时效用即时效用，过程的过程的价值价值追求的是对于学生身心发展的追求的是对于学生身心发展的促进作用促进作用。 “过程性过程性”关涉数学理解关涉数学理解 “过程性过程性”关涉能力培养关涉能力培养 “过程性过程性”关涉方法掌握关涉方法掌握 “过程性过程性”关涉经验积累关涉经验积累 “过程性过程性”关涉情感目标关涉情感目标22 sin102xxx 在实数范围内解方程： 案例：案例：函数

11、的单调性函数的单调性 单调性教学设计大体从三个层次展开：单调性教学设计大体从三个层次展开： 首先，观察图像，描述变化规律，如上升、下降，首先，观察图像，描述变化规律，如上升、下降，从几何直观角度加以认识；从几何直观角度加以认识； 其次，结合图、表，用自然语言描述，即因变量其次，结合图、表，用自然语言描述，即因变量随自变量的增大而增大（或减小）；随自变量的增大而增大（或减小）； 最后，用数学符号语言描述变化规律，逐步实现最后，用数学符号语言描述变化规律，逐步实现用精确的数学语言刻画函数的变化规律。用精确的数学语言刻画函数的变化规律。 教学的困惑教学的困惑：从图像上不难获得图像：从图像上不难获得图

12、像“上升上升”或或“下降下降”的直观特征，但为什么还要进一步来研的直观特征，但为什么还要进一步来研究它呢？究它呢？ 解释和说明解释和说明：“上升上升”“”“下降下降”是一种日常语言，是一种日常语言，用日常语言描述用日常语言描述“单调增单调增”“”“单调减单调减”这样的数这样的数学性质是学性质是不够准确不够准确的。的。 能否用数学语言来描述函数的这种特点呢？如果能否用数学语言来描述函数的这种特点呢？如果可以的话，又该如何来描述呢？可以的话，又该如何来描述呢？ 这时结合图像的特点，即它是这时结合图像的特点，即它是“函数函数”的图像的图像，从而根据函数的意义，自然过渡到第二个层次。从而根据函数的意义

13、，自然过渡到第二个层次。 教学的难点：教学的难点：如何用符号化的数学语言来描述递如何用符号化的数学语言来描述递增的特征，这其中有两个难点：增的特征，这其中有两个难点：四、形式与实质的关系四、形式与实质的关系 课标：课标：“数学教学数学教学不能只限于形式化的表达，不能只限于形式化的表达，要强调对数学本质的认识，否则会要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里数学思维活动淹没在形式化的海洋里。” 陈省身：陈省身：“当然不能考定义、定理，只能考具体当然不能考定义、定理，只能考具体问题，看你能不能把定义落实到例子上问题，看你能不能把定义落实到例子上”。 1.

14、1.过分热衷于形式化的探究和细枝末节的拷问过分热衷于形式化的探究和细枝末节的拷问 平行四边形的面积等于底乘以高。平行四边形的面积等于底乘以高。 等式两边同时加上或者减去一个数等式两边同时加上或者减去一个数, ,所得的结果所得的结果仍然是等式。仍然是等式。 我们把解方程的过程叫做方程的解。我们把解方程的过程叫做方程的解。 三角形的高是线段还是长度？三角形的高是线段还是长度？ 整数能否叫做分数？整数能否叫做分数？ 圆的直径是圆的对称轴。圆的直径是圆的对称轴。 形式与实质之困：形式与实质之困： 案例：案例： 一般地，函数一般地，函数 叫做指数函数。叫做指数函数。 一般地，函数一般地，函数 叫做对数函

15、数。叫做对数函数。 思考：思考： ， 是指数函数吗？是指数函数吗？ ， 是对数函数吗？是对数函数吗？ 给出一个函数，怎么才知道它能否变成一个指给出一个函数，怎么才知道它能否变成一个指数函数或对数函数呢？数函数或对数函数呢？(0,1)xyaaalog(0,1)ayx aa12 2xy1222222logloglogyxxx1logxay 13xy 案例：案例： 含有未知数的等式叫做含有未知数的等式叫做方程方程； 一般地，如果一般地，如果A A，B B表示两个整式，并且表示两个整式，并且B B中含有中含有字母，那么式子字母，那么式子A/BA/B叫做叫做分式分式。 x-xx-x=0=0是不是方程？是

16、不是方程？ x/2xx/2x是不是分式？是不是分式？ 2.2.背会数学定义不等于掌握了数学概念背会数学定义不等于掌握了数学概念 案例：案例：两数相除又叫做两数的比。两数相除又叫做两数的比。 张奠宙张奠宙: :方程的定义方程的定义“含有未知数的等式叫方含有未知数的等式叫方程程”, ,并没有反映方程的本原思想。在方程定义并没有反映方程的本原思想。在方程定义的黑体字上大做文章的黑体字上大做文章, ,反复举例反复举例, ,咬文嚼字地学习咬文嚼字地学习, ,朗朗上口地背诵朗朗上口地背诵, ,没有实质性的意义。绝对没有没有实质性的意义。绝对没有学生因为背不出这句话而学不会学生因为背不出这句话而学不会“方程

17、方程”的。的。 案例：案例：导数与定积分的处理导数与定积分的处理 3.3.要注重对数学结论本质的揭示要注重对数学结论本质的揭示 案例：案例：集合的本质集合的本质 幼儿园小孩子学集合幼儿园小孩子学集合 案例：案例：距离的本质距离的本质 案例：案例：复数的本质复数的本质 案例：案例：解析几何的本质解析几何的本质以椭圆为例以椭圆为例五、教材与教学的关系五、教材与教学的关系 1.1.善于对教材进行质疑和批判善于对教材进行质疑和批判 有些教师视教材如同有些教师视教材如同“圣经圣经”，具有绝对至上的，具有绝对至上的权威地位，不敢越雷池于一步。权威地位，不敢越雷池于一步。 对书本顶礼膜拜的结果，是教师和学生

18、想象力的对书本顶礼膜拜的结果，是教师和学生想象力的贫瘠、创造性的不足和批判意识的严重缺失。贫瘠、创造性的不足和批判意识的严重缺失。 书本并非完美无暇，出现瑕疵甚至错误也在所难书本并非完美无暇，出现瑕疵甚至错误也在所难免，对课本应该用批判的眼光审视它，有保留地、免，对课本应该用批判的眼光审视它，有保留地、选择性地接受，而不能一味地全盘照搬。选择性地接受，而不能一味地全盘照搬。 案例案例 函数单调性的定义：函数单调性的定义：“如果对于定义域如果对于定义域I I内内某个区间某个区间D D上的任意两个自变量的值上的任意两个自变量的值 ” 案例案例 函数：函数：设设A A、B B是是非空数集非空数集，如

19、果按照某种，如果按照某种确定的确定的对应关系对应关系f f，使对于集合，使对于集合A A中的中的任意任意一个数一个数x x，在，在B B中都有中都有唯一唯一确定的数确定的数f f（x x）和它对应，则）和它对应，则称称f f：ABAB为从集合为从集合A A到集合到集合B B的一个函数的一个函数，记作，记作y=fy=f（x x），），xAxA. .其中其中x x叫做自变量，叫做自变量，x x的取值范的取值范围围A A叫做函数的定义域；与叫做函数的定义域；与x x的值相对应的的值相对应的y y值叫值叫做函数值，函数值的集合做函数值，函数值的集合ff（x x）| |xAxA 叫做函叫做函数的值域。显

20、然，值域是集合数的值域。显然，值域是集合B B的子集。的子集。 2.2.用教材教，而不是教教材用教材教，而不是教教材 案例案例 线平面平行的判定定理线平面平行的判定定理 平面外的直线平面外的直线a a平行于平面内的直线平行于平面内的直线b b。 （1 1）这两条直线共面吗？）这两条直线共面吗？ （2 2）直线）直线a a与平面相交吗？与平面相交吗？ 证明必要性的反思。证明必要性的反思。 可否直接证明？可否直接证明？ 用教材教用教材教可否可否“合二为一合二为一”展开探究？展开探究？ 案例案例 等比数列求和公式等比数列求和公式 法法1 1：等比定理：等比定理 法法2 2：累加法：累加法323212

21、1121,nnnnaaaaaaqqaaaaaa得21321nnaa qaa qaaq 法法3 3 化归法化归法 法法4 4 递推法递推法 法法5 5 数学美的启示数学美的启示111111(1)nnnSaa qa qaqq121111111111()()nnnnnnSaa qa qaq aa qa qaqSaq Sa111111111111nnnnnnnSaa qa qaa qa qa qa qaqSa q 3.3.充分利用动态生成资源充分利用动态生成资源 教材不是教学的全部内容，而只是为开展教学活教材不是教学的全部内容，而只是为开展教学活动以使师生互动生成知识提供的范例和素材。动以使师生互动生

22、成知识提供的范例和素材。 生成性资源是使教学活动得以开展的生成性资源是使教学活动得以开展的“生长点生长点”或或“脚手架脚手架”，使教学能够在资源的，使教学能够在资源的“生成生成”与与“利用利用”的持续不断地反复交替中推进。的持续不断地反复交替中推进。六、知识与思想的关系六、知识与思想的关系 米山国藏：米山国藏：学生所学的数学知识，在进入社会后学生所学的数学知识，在进入社会后几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学，通常在走出校门后不到一两年就忘掉了。然学，通常在走出校门后不到一两年就忘掉了。然而不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻于头脑而不管他们从事

23、什么工作，唯有深深铭刻于头脑中的数学思想和方法等随时地发生作用，使他们中的数学思想和方法等随时地发生作用，使他们受益终身。受益终身。 爱因斯坦：爱因斯坦：“真正的教育是把在学校学习的东西真正的教育是把在学校学习的东西忘光了之后还留下来的东西。忘光了之后还留下来的东西。” 1. 一法多用，体现迁移性一法多用，体现迁移性 案例：案例：各种函数性质的研究各种函数性质的研究 通过图像研究函数的性质通过图像研究函数的性质数形结合思想数形结合思想； 通过具体函数的性质归纳出一般函数的性质通过具体函数的性质归纳出一般函数的性质从特殊到一般的归纳思想从特殊到一般的归纳思想； 区分情况来讨论函数的性质区分情况来

24、讨论函数的性质分类讨论思想分类讨论思想； 通过对比来研究函数性质通过对比来研究函数性质类比的思想方法类比的思想方法； 函数性质应用实例函数性质应用实例数学模型思想方法数学模型思想方法。 例如例如: :反比例函数反比例函数, ,单调性单调性, ,指数函数指数函数, ,对数函数对数函数 这些思想方法，不依内容而异，呈现出某种相通这些思想方法，不依内容而异，呈现出某种相通性。它们看不见、摸不着，只有教师在教学中有性。它们看不见、摸不着，只有教师在教学中有意识地使用提示语，才能使意识地使用提示语，才能使数学思想方法显化数学思想方法显化，从而使思想方法的学习和掌握，从自发走向自觉，从而使思想方法的学习和

25、掌握，从自发走向自觉，从无意识默会走向有意识习得。从无意识默会走向有意识习得。 常言道常言道“授人以鱼，不如授人以渔授人以鱼，不如授人以渔”，思想方法，思想方法之所重要，就在于其可迁移性。之所重要，就在于其可迁移性。 2.多法归一，体现相通性多法归一，体现相通性 案例：案例：正弦定理的各种证法正弦定理的各种证法 证法证法1 1：作高法：作高法 证法证法2 2：面积法：面积法 证法证法3 3：外接圆法：外接圆法 证法证法4 4：角平分线法：角平分线法 问题的关键并不在于方法的多与寡，而更在于能问题的关键并不在于方法的多与寡，而更在于能否透过不同解法，挖掘与提炼出更一般的思想方否透过不同解法，挖掘

26、与提炼出更一般的思想方法，即法，即不变量思想不变量思想和和化归转化思想化归转化思想。 多法归一归出的多法归一归出的“一一”不变量思想与化归转不变量思想与化归转化思想，就是数学中经常用到的重要数学思想，化思想，就是数学中经常用到的重要数学思想，前者在建立等量关系时用到，而后者是矛盾转化前者在建立等量关系时用到，而后者是矛盾转化的基本方法。的基本方法。基础知识基础知识基本技能基本技能基本活动经验基本活动经验基本思想基本思想数学活动数学活动 哲学的视角：哲学的视角：形式与内容；运动与静止；偶然与形式与内容；运动与静止；偶然与必然必然；现象与本质现象与本质；原因与结果原因与结果；整体与局部；整体与局部

27、；有限与无限；等。有限与无限；等。 思维的视角：思维的视角：观察与实验；类比与猜想；归纳与观察与实验；类比与猜想；归纳与演绎演绎；分析与综合分析与综合；抽象与概括抽象与概括；特殊与一般特殊与一般；比较与分类比较与分类；等。等。 数学的视角：数学的视角： 1 1、全局性的方法：数学模型方法；关系映射反、全局性的方法：数学模型方法；关系映射反演方法；公理化方法；坐标方法；等。演方法；公理化方法；坐标方法；等。 2 2、技巧性的方法：解题策略层面；解题方法层、技巧性的方法：解题策略层面；解题方法层面；解题技巧层面。面；解题技巧层面。 高考考试说明：高考考试说明：函数与方程思想；数形结合思想；函数与方

28、程思想；数形结合思想；分类与整合思想；化归与转化思想；特殊与一般分类与整合思想；化归与转化思想；特殊与一般思想；有限与无限思想；必然与或然思想。思想；有限与无限思想；必然与或然思想。数学抽象的思想数学抽象的思想派生出的有：派生出的有： 分类的思想；分类的思想； 集合的思想；集合的思想； 数形结合的思想；数形结合的思想； 变中有不变的思想；变中有不变的思想； 符号表示的思想；符号表示的思想； 对称的思想；对称的思想； 对应的思想；对应的思想； 有限与无限的思想等。有限与无限的思想等。数学推理的思想数学推理的思想派生出的有：派生出的有： 归纳的思想；归纳的思想； 演绎的思想；演绎的思想； 公理化思

29、想；公理化思想； 转换与化归的思想；转换与化归的思想； 联想与类比的思想；联想与类比的思想； 逐步逼近的思想；逐步逼近的思想； 代换的思想；代换的思想； 特殊与一般的思想等。特殊与一般的思想等。数学模型的思想数学模型的思想派生出的有：派生出的有： 简化的思想；简化的思想； 量化的思想；量化的思想； 函数的思想；函数的思想； 方程的思想；方程的思想； 优化的思想；优化的思想； 随机的思想；随机的思想； 抽样统计的思想等。抽样统计的思想等。七、局部与整体的关系七、局部与整体的关系 布鲁纳：布鲁纳：学习知识就是学习事物是怎样相互关联学习知识就是学习事物是怎样相互关联的。的。“不论我们选教什么学科，务

30、必使学生理解不论我们选教什么学科，务必使学生理解各门学科的基本结构各门学科的基本结构”。 知识的学习就是在学生的头脑中形成各学科的知知识的学习就是在学生的头脑中形成各学科的知识结构。这种知识结构是由学科知识中的识结构。这种知识结构是由学科知识中的基本概基本概念、基本思想或基本原理组成的念、基本思想或基本原理组成的。 对内容进行设计时，不能对内容进行设计时，不能“就事论事就事论事”，仅考虑，仅考虑这一这一“点点”知识，这样可能会知识，这样可能会“见木不见林见木不见林”。 1.知识结构知识结构 案例：案例：几何结构代数结构几何结构代数结构 直观几何直观几何：对平面图形、立体图形的认识；：对平面图形

31、、立体图形的认识； 度量几何度量几何：求长度、角度、面积、体积等问题；：求长度、角度、面积、体积等问题； 演绎几何演绎几何：垂直、平行、全等、相似：垂直、平行、全等、相似 运动几何运动几何：如平移、旋转和对称等；：如平移、旋转和对称等； 坐标几何坐标几何。 案例：案例：代数结构代数结构 代数代数：数式运算和方程求解：数式运算和方程求解 两种数两种数：实数，复数：实数，复数 三种式三种式：整式，分式，根式：整式，分式，根式 六种运算六种运算：加，减，乘，除，乘方，开方：加，减，乘，除，乘方，开方 四类方程四类方程：整式方程：整式方程, ,分式方程分式方程, ,根式方程根式方程, ,方程组方程组

32、进一步发展：未知数更多方程，次数更高方程进一步发展：未知数更多方程，次数更高方程 从代数式（符号代表数），到方程（符号代表未从代数式（符号代表数），到方程（符号代表未知数），到函数（符号代表变数）知数），到函数（符号代表变数） 2.2.方法结构方法结构 案例：案例：度量方法度量方法 线段线段长长多边形周长多边形周长圆周长（多边形周长的极圆周长（多边形周长的极限值）限值）弧长弧长 两直线的两直线的夹角夹角线与面的夹角线与面的夹角面与面的夹角面与面的夹角 单位正方形单位正方形面积面积长方形面积长方形面积其他多边形面积其他多边形面积圆面积（多边形面积的极限）圆面积（多边形面积的极限）多面体表面积多面

33、体表面积 单位正方体单位正方体体积体积长方体与正方体体积长方体与正方体体积圆柱体圆柱体积积圆锥体积圆锥体积 逻辑结构逻辑结构: :定义几何量定义几何量确定度量单位确定度量单位简化算法简化算法. . 3.纵向联系形成结构纵向联系形成结构 案例：案例：对称性对称性 小学数学：小学数学：二年级上二年级上“美丽的对称图形美丽的对称图形”（认识（认识并画出：画一画）；五年级并画出：画一画）；五年级“图形的变换图形的变换轴轴对称对称”（方格纸上研究轴对称的特征和性质：量（方格纸上研究轴对称的特征和性质：量一量，数一数）一量，数一数） 初中数学：初中数学：初二上初二上“轴对称轴对称”（坐标系中研究轴（坐标系

34、中研究轴对称的特征和性质）对称的特征和性质） 高中数学：高中数学：函数的对称性函数的对称性奇偶性；方程曲线奇偶性；方程曲线的对称性的对称性于 的中心（）直于 的曲于 的于直 的（）直于直 的曲于直 的点关 点 对称对称问题 点对称问题线关 点 对称线关 点 对称对称问题点关线 对称轴对称问题 线对称问题线关线 对称线关线 对称函数图像的对称性：函数图像的对称性：方程曲线的对称性：方程曲线的对称性： 4.横向联系形成结构横向联系形成结构 案例：案例：单调性、斜率与导数单调性、斜率与导数 (1)(1)单调性：单调性： (2)(2)斜率斜率 直线是线性的，它描述的是均匀变化，是最简直线是线性的，它描

35、述的是均匀变化，是最简单的变化。即直线在某个区间单的变化。即直线在某个区间 上的平均上的平均变化率变化率 ，与直线上任意一点与直线上任意一点x x0 0的瞬时的瞬时变化率（导数）变化率（导数） 是相同的，都等于这条是相同的，都等于这条直线的斜率直线的斜率k k。2121()()f xf xxx (3)(3)正切正切 (4)(4)导数导数 导数是平均变化率的极限，即表示瞬时变化率。导数是平均变化率的极限，即表示瞬时变化率。其几何意义是切线的斜率。其几何意义是切线的斜率。 递增；递增； 递减。递减。2121tanyyyxxx00000( )()()limlimxxxxf xf xykfxxxx(

36、)0,( )fxf x( )0,( )fxf x八、解构与建构的关系八、解构与建构的关系 理想的教学理想的教学：深入浅出：深入浅出 先先“入入”教材，再教材，再“出出”教材。教材。 先解构教材，再建构教材。先解构教材，再建构教材。 没有对数学教材的没有对数学教材的“深入深入”，就没有数学教学中，就没有数学教学中的的“浅出浅出”。 理解数学：理解数学：通过深入来解构；通过深入来解构； 稚化思维：稚化思维：通过浅出来建构。通过浅出来建构。 （一）理解数学（一）理解数学 袁隆平：袁隆平：“我最喜欢外语、地理、化学，最不喜我最喜欢外语、地理、化学，最不喜欢数学，因为在学正负数的时候，搞不清为什么欢数学

37、，因为在学正负数的时候，搞不清为什么负负相乘得正，就去问老师，老师说负负相乘得正，就去问老师，老师说你记得就你记得就是是；学几何时，对一个定理有疑义，去问，还；学几何时，对一个定理有疑义，去问，还是一样回答，我由此得出结论，是一样回答，我由此得出结论，数学不讲道理数学不讲道理，于是不再理会，对数学兴趣不大，成绩不好于是不再理会，对数学兴趣不大，成绩不好”。 数学原本就是这样？还是数学教师的教学使然？数学原本就是这样？还是数学教师的教学使然？ 知名华人数学家、哈佛大学教授知名华人数学家、哈佛大学教授丘成桐丘成桐兴冲冲地兴冲冲地赶到杭州，去与一群刚在高考中取得好成绩的数赶到杭州，去与一群刚在高考中

38、取得好成绩的数学尖子见面。结果却让他颇为失望：学尖子见面。结果却让他颇为失望： “大多数学生对数学根本没有清晰的概念，对定大多数学生对数学根本没有清晰的概念，对定理不甚了了，只是做习题的机器。这样的教育体理不甚了了，只是做习题的机器。这样的教育体系，难以培养出什么数学人才系，难以培养出什么数学人才。” 数学理解重于形式运算。数学理解重于形式运算。 1.1.提高数学素养的提高数学素养的“六维度六维度” （1 1）从微观上对数学知识的准确、深刻理解）从微观上对数学知识的准确、深刻理解 （2 2）从宏观上对数学知识整体结构的正确把握）从宏观上对数学知识整体结构的正确把握 （3 3）对显性知识背后隐性

39、的思想方法的认识）对显性知识背后隐性的思想方法的认识 （4 4）对中小学数学中某些拓展性知识的认知）对中小学数学中某些拓展性知识的认知 （5 5）对数学知识）对数学知识 “ “来龙去脉来龙去脉”的过程性把握的过程性把握 （6 6）从高观点对中小学数学的居高临下的认识）从高观点对中小学数学的居高临下的认识（李祎李祎. .提高教师数学素养的提高教师数学素养的“六维度六维度”，数学通讯，数学通讯，20122012年第年第1010期期） 2.2.理解数学的理解数学的“五视角五视角” （1 1）厘清）厘清“是什么是什么”（集合，数列，基本事件集合，数列，基本事件） （2 2）追问）追问“为什么为什么”（

40、集合集合“三性三性”） （3 3）建构内容联系）建构内容联系 （4 4）挖掘思想方法）挖掘思想方法 （5 5）寻求多元表征）寻求多元表征（等差数列求和公式等差数列求和公式）（李祎（李祎. .刍议教师理解数学的几个维度，刍议教师理解数学的几个维度，数学通报数学通报20142014年第年第6 6期期 李祎李祎, ,邱云邱云. .数学知识不是数学知识不是“铁板一块铁板一块”谈数学教师应树立的知识观，谈数学教师应树立的知识观，数数学通报学通报 2011 2011年第年第1010期）期） 3.“3.“追问追问”数学的数学的“四作用四作用” （1 1）通过追问形成正确认识）通过追问形成正确认识（指数函数指

41、数函数, ,概率概率） （2 2）通过追问获得深层理解）通过追问获得深层理解（0 0作除数作除数, ,运算法则运算法则） （3 3）通过追问拓展学科知识）通过追问拓展学科知识( (方程方程, ,数列数列) ) （4 4）通过追问获得较高观点）通过追问获得较高观点（自然数个数自然数个数, ,方程方程）（李祎（李祎. .学会追问学会追问“数学数学”数学教师成长的重要阶梯，数学教师成长的重要阶梯，数学通讯数学通讯，20112011年第年第11 11期期 ） （二）稚化思维（二）稚化思维 所谓稚化思维所谓稚化思维，就是教师把自己的外在权威隐蔽，就是教师把自己的外在权威隐蔽起来，教学时不以知识丰富的教师

42、自居，而是起来，教学时不以知识丰富的教师自居，而是把把自己的思维降格到学生的思维水平自己的思维降格到学生的思维水平，亲近学生，亲近学生，接近学生，有意识地接近学生，有意识地退回退回到与学生相仿的思维状到与学生相仿的思维状态，态，设身处地设身处地地揣摩学生的学习水平、状态等，地揣摩学生的学习水平、状态等，有意识地生发出一种陌生感、新鲜感，以与学生有意识地生发出一种陌生感、新鲜感，以与学生同样的认知兴趣、同样的学习情绪、同样的思维同样的认知兴趣、同样的学习情绪、同样的思维情境、共同的探究行为来完成教学的和谐共创。情境、共同的探究行为来完成教学的和谐共创。 波利亚波利亚: :“让你的学生提问题，要不

43、就象他们自让你的学生提问题，要不就象他们自己提问的那样由你去提出这些问题；让你的学生己提问的那样由你去提出这些问题；让你的学生给出解答，要不就象他们自己给出的那样由你去给出解答，要不就象他们自己给出的那样由你去给出解答。给出解答。”（数学的发现数学的发现） （1 1）惑其所惑）惑其所惑 （2 2）难其所难）难其所难 （3 3）错其所错）错其所错 案例：案例：直线的斜率直线的斜率 为什么有了倾斜角已能确定直线方向的前提下，为什么有了倾斜角已能确定直线方向的前提下，还一定要将其代数化？还一定要将其代数化？ 变量变量(x(x，y)y)与作为不变量的倾斜角，不能直接建与作为不变量的倾斜角，不能直接建立

44、起关系，还必须将倾斜角代数化，变量立起关系，还必须将倾斜角代数化，变量(x(x，y)y)与不变量与不变量斜率斜率k k才能建立起关系。才能建立起关系。 斜率公式反映出斜率在联系两点的坐标与直线倾斜率公式反映出斜率在联系两点的坐标与直线倾斜角的优越性；斜率在研究直线平行与垂直上的斜角的优越性；斜率在研究直线平行与垂直上的作用。作用。 “率率”，是指两个相关数的比值，是指两个相关数的比值，x x变化单位长变化单位长时，看时，看y y变化了多少，实质是对变化了多少，实质是对x x和和y y变化的快慢变化的快慢程度的刻画。角越大，倾斜程度越大，该特定比程度的刻画。角越大，倾斜程度越大，该特定比值越大。

45、值越大。 教学难点：教学难点：建立直线方程的过程，是寻求其不变建立直线方程的过程，是寻求其不变量量k k，建立变量，建立变量(x(x，y)y)与不变量与不变量k k的数量关系的过的数量关系的过程。但这里的不变量是角度，而不是距离。比之程。但这里的不变量是角度，而不是距离。比之圆、椭圆、双曲线、抛物线几种曲线，尽管直线圆、椭圆、双曲线、抛物线几种曲线，尽管直线是非常简单的图形，但其方程建立过程更显复杂。是非常简单的图形，但其方程建立过程更显复杂。 为什么要用正切？为什么要用正切？ 首先与首先与“坡度坡度”概念一致。坡面的铅直高度和水概念一致。坡面的铅直高度和水平长度的比。（垂直变化率）平长度的比

46、。（垂直变化率） 其次，不管是锐角变化，还是钝角变化，反映的其次，不管是锐角变化，还是钝角变化，反映的都是倾斜角越大，斜率越大。都是倾斜角越大，斜率越大。 第三，正切值就是直线的变化率，这样，采用正第三，正切值就是直线的变化率，这样，采用正切值与导数保持了一致性。切值与导数保持了一致性。 案例：案例：三角函数三角函数 （1 1）三角函数的认知基础）三角函数的认知基础 三角函数是函数的下位概念，同时又是锐角三三角函数是函数的下位概念，同时又是锐角三角函数的上位概念；角函数的上位概念； 教学要以函数思想为指导，以锐角三角函数概教学要以函数思想为指导，以锐角三角函数概念为认知起点，突破用直角三角形定

47、义三角函念为认知起点，突破用直角三角形定义三角函数的思维局限，以坐标系和单位圆为定义工具，数的思维局限，以坐标系和单位圆为定义工具，促进任意角三角函数定义的有效生成。促进任意角三角函数定义的有效生成。 （2 2）三角函数的本质特征）三角函数的本质特征 根据相似性说明根据相似性说明比值的不变性比值的不变性特征；特征； 角的边上的任一点到另一边的距离、在另一边角的边上的任一点到另一边的距离、在另一边的投影，以及该点到角的顶点的距离，三者中的投影，以及该点到角的顶点的距离，三者中任两者的比保持不变。揭示这一本质，既可在任两者的比保持不变。揭示这一本质，既可在直角三角形中，也可在坐标系中，后者可体现直

48、角三角形中，也可在坐标系中，后者可体现三角函数的周期性特点三角函数的周期性特点（核心是对应关系）（核心是对应关系）。 引入锐角三角函数，目的是为了研究三角形中引入锐角三角函数，目的是为了研究三角形中的边角关系，定义的边角关系，定义侧重几何的角度侧重几何的角度；引入任意；引入任意角三角函数，目的是为了研究周期变化现象，角三角函数，目的是为了研究周期变化现象，定义定义侧重代数的角度侧重代数的角度。 （3 3）三角函数的认知难点）三角函数的认知难点 三角函数三角函数对应关系的对应关系的“与众不同与众不同”，主要表现在不以，主要表现在不以“ 代 数 运 算代 数 运 算 ” 为 媒 介为 媒 介 .

49、. 以 前 遇 到 的以 前 遇 到 的 y =y = k x + bk x + b ，y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c，y=ay=ax x，y=y=logloga ax x等，都有等，都有“运算运算”的背景，的背景，而三角函数是而三角函数是“直接对应直接对应”，无须计算，无须计算. . 三角函数是以角为自变量的函数三角函数是以角为自变量的函数, ,由角与比值的对应由角与比值的对应, ,再实现数到坐标的对应再实现数到坐标的对应, ,会造成一定的理解困难会造成一定的理解困难. . 由锐角三角函数到任意角三角函数的由锐角三角函数到任意角三角函数的过渡与衔接过渡与衔接. . （4 4）两种

50、定义方法的比较）两种定义方法的比较 终边定义法：终边定义法： 终边定义法终边定义法”需要经过需要经过“取点取点求距离求距离求比值求比值”等步骤，对应关系等步骤，对应关系不够简洁不够简洁； “比值比值”作为三角函数值，其作为三角函数值，其意义不够清晰意义不够清晰； 任意一个角所对应的比值的唯一性（即与点的任意一个角所对应的比值的唯一性（即与点的选取无关）需要证明。选取无关）需要证明。 单位圆定义法：单位圆定义法： 一是简单、清楚、易掌握。坐标（一是简单、清楚、易掌握。坐标（coscos，sinsin）是单位圆上点的动态描述，正、余弦函）是单位圆上点的动态描述，正、余弦函数的基本性质就是数的基本性