200789数学归纳法证明不等式.ppt

《200789数学归纳法证明不等式.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《200789数学归纳法证明不等式.ppt（12页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、思考思考1 1思考思考2复习引入复习引入练习答案练习答案 1.1.验证第一个命题成立验证第一个命题成立( (即即nn0 0第一个命题对应的第一个命题对应的n的值，如的值，如n0 01 1) ) (归纳奠基）归纳奠基） ； 2.2.假设当假设当n= =k时命题成立，证明当时命题成立，证明当n= =k1 1时命题也时命题也成立成立(归纳递推）归纳递推）. .数学归纳法数学归纳法: 关于正整数关于正整数n的命题的命题( (相当于多米诺骨牌相当于多米诺骨牌),),我们可我们可以采用下面方法来证明其正确性：以采用下面方法来证明其正确性： 由由(1)(1)、(2)(2)知，对于一切知，对于一切nn0 0的

2、自然数的自然数n都成立！都成立！用上假设，递推才真用上假设，递推才真注意注意:递推基础不可少递推基础不可少,归纳假设要用到归纳假设要用到,结论写明莫忘掉结论写明莫忘掉.答案答案证明贝努利不等式你有第二种方法吗？证明贝努利不等式你有第二种方法吗？例例4、已知、已知x 1，且，且x 0，n N*，n2求证：求证：(1+x)n1+nx.（2）假设）假设n=k(k2)时，不等式成立，即时，不等式成立，即 (1+x)k1+kx当当n=k+1时，因为时，因为x 1 ，所以，所以1+x0，于是，于是左边左边=(1+x)k+1证明证明:(1)当当n=2时，左时，左(1x)2=1+2x+x2 x 0， 1+2x

3、+x21+2x=右右,n=2时不等式成立时不等式成立 =(1+x)k(1+x)(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2；右边右边=1+(k+1)x因为因为kx20，所以左边右边，即，所以左边右边，即(1+x)k+11+(k+1)x这就是说，原不等式当这就是说，原不等式当n=k+1时也成立时也成立根据根据(1)和和(2)，原不等式对任何不小于，原不等式对任何不小于2的自然数的自然数n都成立都成立.1答案答案2答案答案你能根据上面不等式推出均值不等式吗？你能根据上面不等式推出均值不等式吗？1.求证求证:222111112(,2).23nN nnn 证证:(1)当当n=1时时,左边左边= ,右边右边= ,由于由于 故不等式成立故不等式成立. 215124 13222 53,42 (2)假设假设n=k( )时命题成立时命题成立,即即 ,2kN k 222111112.23kk 则当则当n=k+1时时,222221111111223(1)(1)kkkk 211111111222()2.(1)(1)11kkkk kkkkk 即当即当n=k+1时时,命题成立命题成立.由由(1)、(2)原不等式对一切原不等式对一切 都成立都成立. ,2nN n 1.求证求证:222111112(,2).23nN nnn