选修4－5　42　数学归纳法证明不等式.ppt

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1、 一般的，证明一个与一般的，证明一个与正整数正整数有关的命题，可按有关的命题，可按下列步骤进行：下列步骤进行：（1 1） 【归纳奠基【归纳奠基】证明当证明当n n取第一个值取第一个值n n0 0(n(n0 0 N* ) ) 时命题成立时命题成立;（2 2） 【归纳递推【归纳递推】假设当假设当n=k(kNn=k(kN* * ,k n,k n0 0) )时命时命题成立，证明当题成立，证明当n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立. .从而就可以断定命题对于从而就可以断定命题对于n n0 0开始的所有正整数开始的所有正整数n n都成立都成立. . 这种证明方法这种证明方法叫做叫做 数学归纳法数学

2、归纳法.数学归纳法是一种完全归纳法数学归纳法是一种完全归纳法.复习复习（一）一种方法：一种用来证明某些“与正整数n有关的命题”的方法 数学归纳法.（二）二个注意：1、“两步三结论”缺一不可. 2、第（2）步证明“假设n=k成立则n=k+1也成立”时一定要用到归纳假设.（三）归纳、猜想、证明是重要题型，证题时既要注意格式要求，又要注意方法灵活.复习复习对于一些与无限多个正整数相关的命题对于一些与无限多个正整数相关的命题,如果不易用如果不易用以前学习过的方法证明以前学习过的方法证明,用数学归纳法可能会收到较用数学归纳法可能会收到较好的效果好的效果.),1(1x)(1 )5,(2n )(sinsin

3、n :n2 NnxnxnNnNnnn 例例如如 .,512,256,128,64,32,16, 8 , 4 , 2:2;,81,64,49,36,25,16, 9 , 4 , 1:.?,12nnnnnbnaba 证证明明你你的的结结论论始始终终小小于于从从第第几几项项起起观观察察下下面面两两个个数数列列例例)5,(2,5,2 nNnnbannn即即项项起起从从第第由由数数列列的的前前几几项项猜猜想想命题成立命题成立时有时有当当证明证明,255)1(:52 n,1.2,)5()2(2时时当当即即有有时时命命题题成成立立假假设设当当 knkkknk)5,(2,)2)(1(.12 nNnnknn可可

4、知知由由时时命命题题成成立立即即当当)(sinsin. 2 Nnnn 证证明明不不等等式式例例.,sin,1)1(:不等式成立不等式成立右边右边上式左边上式左边时时当当证明证明 n,1.sinsin,)1()2(时时当当即有即有命题成立命题成立时时假设当假设当 knkkkkn .,)2)(1(.1均均成成立立不不等等式式对对一一切切正正整整数数可可知知由由时时不不等等式式成成立立即即当当nkn nxxnxxxn 1)1( ,1, 0, 1,:. 3那那么么有有的的自自然然数数为为大大于于且且是是实实数数如如果果证证明明贝贝努努利利不不等等式式例例.,2121)1(0,2)1(:22不等式成立不

5、等式成立得得由由时时当当证明证明xxxxxn ,1 .1)1(,)2()2(时时当当即即有有时时不不等等式式成成立立假假设设当当 knkxxkknk.,)2)(1(.1贝贝努努利利不不等等式式成成立立可可知知由由时时不不等等式式成成立立当当 kn成成立立的的正正整整数数对对一一切切不不小小于于由由贝贝努努利利不不等等式式可可得得时时且且是是实实数数当当nxnxxxxxxn2,11)11(,0, 1, )1(1)1( ,10,)1(1)1( ,01,., xxxxxxn 有有时时并并且且满满足足是是实实数数当当有有时时或或者者并并且且满满足足是是实实数数当当类类似似不不等等式式成成立立仍仍有有时

6、时改改为为实实数数整整数数把把贝贝努努利利不不等等式式中中的的正正., 1,)(:. 4212121naaaaaaaaannnnn 那么它们的和那么它们的和乘积乘积的的个正数个正数为正整数为正整数如果如果证明证明例例., 1,1)1(:1命题成立命题成立有有时时当当证明证明 ankaaaaaakknkk 2121 , 1.,)2(则则个个正正数数的的乘乘积积即即若若命命题题成成立立时时假假设设当当. 1,1,1121121 kkkaaaaaaakkn满满足足条条件件个个正正数数已已知知时时当当命命题题得得证证其其和和为为则则它它们们都都是是都都相相等等个个正正数数若若这这, 1, 1,1121

7、 kaaaakkk. 1, 1).1(11,121121121 aaaaaaaaakkkk不妨设不妨设矛盾矛盾否则与否则与的数的数也有小于也有小于的数的数则其中必有大于则其中必有大于不全相等不全相等个正数个正数若这若这kaaaaaaaaaakaakkkk 1321132121, 1,由由归归纳纳假假设设可可以以得得到到的的乘乘积积是是个个正正数数这这样样就就得得到到看看作作一一个个数数我我们们把把乘乘积积为为利利用用归归纳纳假假设设21143aakaaaakk )1)(1(11)1(2121212121121 aaaaaakaakaakaaaakk时时命命题题成成立立当当即即11, 010)1)(1(, 1, 11211212121 knkaaaakaaaaaaaakkkk., 1,)2)(1(212121成立成立那么它们的和那么它们的和乘积乘积的的个正数个正数如果如果对一切正整数对一切正整数可知可知由由naaaaaaaaannnnn 本资料由书利华教育网（即数理化网）为您整理11作业：作业：1.P5354.习题习题4.2 2.资料中的习题资料中的习题