讲座：赏析数学中的美.ppt

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1、 调查结果：调查结果：(1) (1) 数学是重要的，同时又是抽象和枯燥的。数学是重要的，同时又是抽象和枯燥的。(2) (2) 学数学意味着在题海中沉浮。学数学意味着在题海中沉浮。(3) (3) 数学是深奥的枯燥理论和艰涩难懂符号的堆彻。数学是深奥的枯燥理论和艰涩难懂符号的堆彻。(4)(4) 数学是机械记忆和解题训练加黑板上令人昏昏欲数学是机械记忆和解题训练加黑板上令人昏昏欲 睡的讲解睡的讲解(5) (5) 数学只给我们压力，不给我们魅力。数学只给我们压力，不给我们魅力。 另一方面另一方面: :是大家对数学的望而却步。学生学习数是大家对数学的望而却步。学生学习数学是为了分数，没有乐趣，得不到享受

2、，数学课没学是为了分数，没有乐趣，得不到享受，数学课没有情感体验和审美愉悦，每次上课之前，大家都会有情感体验和审美愉悦，每次上课之前，大家都会怀着一种期待得心情，期待着老师会带来一些新得、怀着一种期待得心情，期待着老师会带来一些新得、有魅力得东西，学生期望数学课能注入一些活力，有魅力得东西，学生期望数学课能注入一些活力，能多听到一种声音，能了解一些定义以外的东西。能多听到一种声音，能了解一些定义以外的东西。但往往期望越大失望也越大。但往往期望越大失望也越大。没有一门学科象数学那样，在大家的心目中没有一门学科象数学那样，在大家的心目中其重要性和亲近性竟产生这么大的分歧：其重要性和亲近性竟产生这么

3、大的分歧：一方面一方面: :全世界所有国家的中小学生都把数全世界所有国家的中小学生都把数学作为一门重要的基础课程学习着学作为一门重要的基础课程学习着 “数学是壮丽多彩，千姿百数学是壮丽多彩，千姿百态，引人入胜的态，引人入胜的”-华罗庚华罗庚 “正确地说，数学不仅拥有正确地说，数学不仅拥有真理，而且还拥有极度的真理，而且还拥有极度的美美一种冷静和朴素的一种冷静和朴素的美，犹如雕塑那样，虽然美，犹如雕塑那样，虽然没有任何诱惑我们脆弱本没有任何诱惑我们脆弱本性的内容，没有绘画或音性的内容，没有绘画或音乐那样华丽的外衣。但是，乐那样华丽的外衣。但是，却显示了极端的纯粹和只却显示了极端的纯粹和只有伟大的

4、艺术才能表现出有伟大的艺术才能表现出来的严格的完美。来的严格的完美。” ” 罗素认识到了数学中得美，他也曾尽力描绘出这种美：罗素认识到了数学中得美，他也曾尽力描绘出这种美： 数学数学美的魅力是诱诱人的，数学数学美的力量是巨大的 数学数学美的思想是神奇的。它它可以改变变我们对数学们对数学枯燥 无味的成见见，让让我们认识们认识到数学数学也是一个个五彩缤纷缤纷的美 的是世界。由此产产生学习数学学习数学的兴兴趣，从从而促使外来动来动 机向内内在动动机转转化，并并成为学习为学习的持久动动力。数学是大千世界永恒的语数学是大千世界永恒的语言言 数学是一门工具性学科数学是一门工具性学科数学已经进入了文学，历史

5、，考古、生物等学术界数学已经进入了文学，历史，考古、生物等学术界比如，比如，西游记西游记红楼梦红楼梦再如，日本文化的发祥地再如，日本文化的发祥地邪马台国位置的确定邪马台国位置的确定LOGO法国曾经拍过一部爱情电影法国曾经拍过一部爱情电影我爱上的是正切函数我爱上的是正切函数(C est la tangente que je prfre) (C est la tangente que je prfre) 讲的是一个花季少女同一个盛年男人的故事，讲的是一个花季少女同一个盛年男人的故事，说明他们并不是两个没有交集的集合，肯定说明他们并不是两个没有交集的集合，肯定这两个地球高级生物邂逅相遇而堕入情网的这

6、两个地球高级生物邂逅相遇而堕入情网的概率不为零。电影最后暗示，数学同电磁场概率不为零。电影最后暗示，数学同电磁场一样，是一片美丽得动情的场一样，是一片美丽得动情的场! ! “朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还。朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还。两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山” ” “飞流直下三千尺，疑是银河落九天飞流直下三千尺，疑是银河落九天”，“白发三千丈白发三千丈” “千山鸟飞绝，万径人踪灭。孤舟蓑笠翁，独钓千山鸟飞绝，万径人踪灭。孤舟蓑笠翁，独钓寒江雪寒江雪” ” “一身去国六千里，万死报荒十二年一身去国六千里，万死报荒十二年”“一封朝奏九重天，夕贬潮州路八千一封

7、朝奏九重天，夕贬潮州路八千” “三十功名尘与土，八千里路云和月三十功名尘与土，八千里路云和月”， “三万里河东入海，五千仞岳上摩天三万里河东入海，五千仞岳上摩天” 唐诗唐诗题百鸟归巢图题百鸟归巢图：“一只一只复一一只一只复一只，五六七八九十只，凤凰何少鸟何多？只，五六七八九十只，凤凰何少鸟何多？食尽人间千万石。食尽人间千万石。” ” 读来妙题横生。读来妙题横生。 “一片二片三四片，五六七八九十片，千片一片二片三四片，五六七八九十片，千片万片无数片，飞入梅花总不见。万片无数片，飞入梅花总不见。” 一叶孤舟，坐着二三个骚客，启用四桨五帆，经过六滩七一叶孤舟，坐着二三个骚客，启用四桨五帆，经过六滩七

8、湾，历尽八颠九簸，可叹十分来迟。十年寒窗，进了九八湾，历尽八颠九簸，可叹十分来迟。十年寒窗，进了九八家书院，抛却七情六欲，苦读五经四书，考了三番二次，家书院，抛却七情六欲，苦读五经四书，考了三番二次，今天一定要中。今天一定要中。 一别以后，二地相悬，只说三四个月，又谁知一别以后，二地相悬，只说三四个月，又谁知五年六年。七弦琴无心弹，八行书无可传，九连环又五年六年。七弦琴无心弹，八行书无可传，九连环又从中折断，十里长亭望眼欲穿，百思想，千思念，万从中折断，十里长亭望眼欲穿，百思想，千思念，万般无奈把郎怨。万语千言说不完，百无聊赖十依栏，般无奈把郎怨。万语千言说不完，百无聊赖十依栏，重九登高看孤雁

9、，八月中秋月圆人不圆，七月半烧香重九登高看孤雁，八月中秋月圆人不圆，七月半烧香秉烛问苍天，六伏天人人摇扇我心寒，五月石榴火红秉烛问苍天，六伏天人人摇扇我心寒，五月石榴火红偏遭阵阵雨浇花端，四月枇杷未黄我欲对镜心意乱。偏遭阵阵雨浇花端，四月枇杷未黄我欲对镜心意乱。急匆匆，三月桃花随水转，飘零零，二月风筝线儿断。急匆匆，三月桃花随水转，飘零零，二月风筝线儿断。噫！郎呀郎，巴不得下一世你为女来我为男。噫！郎呀郎，巴不得下一世你为女来我为男。 大圆圈比小圆圈掌握的知识要多一点，但因为大圆圈的大圆圈比小圆圈掌握的知识要多一点，但因为大圆圈的圆周比小圆圈的长，所以它与外界空白的接触面也就比小圆周比小圆圈的

10、长，所以它与外界空白的接触面也就比小圆圈大，因此更感到知识的不足，需要努力去学习圆圈大，因此更感到知识的不足，需要努力去学习。 何事、何故、何人、何如、何时、何来、何去，好像弟何事、何故、何人、何如、何时、何来、何去，好像弟弟与哥哥。弟与哥哥。 还有一个西洋派，姓名颠倒叫几何。还有一个西洋派，姓名颠倒叫几何。 若向若向八贤常请教，虽是笨人少错误。八贤常请教，虽是笨人少错误。 美国作家杰克美国作家杰克伦敦成名后，曾收到过一位女士的伦敦成名后，曾收到过一位女士的求爱信；求爱信；“你有一个出众的你有一个出众的名声，我有一个高贵的地位。名声，我有一个高贵的地位。这再者加起来，再乘上万能这再者加起来，再

11、乘上万能的黄金，足以使我们建立起一个天堂都不能比拟的黄金，足以使我们建立起一个天堂都不能比拟的美满家庭。的美满家庭。 杰克杰克伦敦连忙回信，他答得很妙：伦敦连忙回信，他答得很妙：“根据你列根据你列出的那道爱情公式，我看还要开平方！不过这出的那道爱情公式，我看还要开平方！不过这个平方根却是负数个平方根却是负数 。 （1 1）一斤花生二斤枣，好运经常跟你跑；三斤苹果四）一斤花生二斤枣，好运经常跟你跑；三斤苹果四斤梨，吉祥和你不分离；五斤橘子六斤桃，年年招财斤梨，吉祥和你不分离；五斤橘子六斤桃，年年招财又进宝；七斤葡萄八斤橙，愿你心想事就成；九斤芒又进宝；七斤葡萄八斤橙，愿你心想事就成；九斤芒果十斤

12、瓜，愿你天天乐开花！果十斤瓜，愿你天天乐开花！（2）祝一帆风顺，二龙腾飞，三羊开泰，四季平安，）祝一帆风顺，二龙腾飞，三羊开泰，四季平安，五福临门，六六大顺，七星高照，八方来财，九九同五福临门，六六大顺，七星高照，八方来财，九九同心，十全十美。心，十全十美。 （3）新年到了，送你一个饺子平安皮儿包着如意馅，用真情煮熟，吃一口快乐两口幸福三口顺利然后喝全家健康汤，回味是温馨，余香是祝福。（4）传说薰衣草有四片叶子：第一片叶子是信仰，第二片叶子是希望，第三片叶子是爱情，第四片叶子是幸运。送你一棵薰衣草，愿你猴年快乐！ （5）新的1年开始，祝好事接2连3，心情4季如春，生活5颜6色，7彩缤纷，偶尔8

13、点小财，烦恼抛到9霄云外！（6）新的1年就要开始了，愿好事接2连3，心情4春天阳光，生活5颜6色，7彩缤纷，偶尔8点小财，一切烦恼抛到9宵云外，请接受我10全10美的祝福。 （7 7）在新的一年里，祝你十二个月月月）在新的一年里，祝你十二个月月月开心，五十二个星期期期愉快，三百六开心，五十二个星期期期愉快，三百六十五天天天好运，八千七百六十小时时十五天天天好运，八千七百六十小时时时高兴，五十二万五千六百分分分幸福，时高兴，五十二万五千六百分分分幸福，三千一百五十三万六千秒秒秒成功三千一百五十三万六千秒秒秒成功 （8 8）如果一滴水代表一个祝福，我送你）如果一滴水代表一个祝福，我送你一个东海；如

14、果一颗星代表一份幸福，一个东海；如果一颗星代表一份幸福，我送你一条银河；如果一棵树代表一份我送你一条银河；如果一棵树代表一份思念，我送你一片森林。祝你新年快乐！思念，我送你一片森林。祝你新年快乐！ （9）新年到了，想想没什么送给你的，又不打算给你太多，只有给你五千万：千万要快乐！千万要健康！千万要平安！千万要知足！千万不要忘记我！（10）圣旨到！奉天承运，皇帝诏曰：猴年已到特赐红包一个，内有幸福万两，快乐万两，笑容万两，愿卿家饱尝幸福快乐之微笑，钦此！数学内在美1、对称美、对称美（一）数和式的对称美，象二项式定理，杨辉三（一）数和式的对称美，象二项式定理，杨辉三角。角。（二）图形的对称美。如毕

15、达哥拉斯学派认为，（二）图形的对称美。如毕达哥拉斯学派认为，一切空间图形中，最美的是球形；一切平面图形一切空间图形中，最美的是球形；一切平面图形中，最美的是圆形。圆是中心对称圆形中，最美的是圆形。圆是中心对称圆形圆心圆心是它的对称中心，原也是轴对称图形是它的对称中心，原也是轴对称图形任何一任何一条直径都是它的对称轴。条直径都是它的对称轴。（三）数学思想和方法的对称美。如分析法和综（三）数学思想和方法的对称美。如分析法和综合法，直接法和反证法，逻辑思维和逆向思维等。合法，直接法和反证法，逻辑思维和逆向思维等。（一）有一些数字，往往要通过计算。通过不同（一）有一些数字，往往要通过计算。通过不同数字

16、的组合，才可以得到一些非常奇妙的排列，数字的组合，才可以得到一些非常奇妙的排列，令人看后叫绝，回味无穷。令人看后叫绝，回味无穷。 111 1111121 11111112321 111111111234321 1111111111123454321 11111111111112345654321 111111111111111234567654321 1111111111111111123456787654321 11111111111111111112345678987654321 99788 9896888 987958888 98769488888 9876593888888 98765

17、4928888888 98765439188888888 9876543290888888888 19211 1293111 123941111 12349511111 1234596111111 123456971111111 12345679811111111 1234567899111111111 1234567899101111111111 9981 99999801 999999998001 9999999999980001 99999999999999800001 999999999999999998000001 9999999999999999999980000001 1819

18、128298 12383987 1234849876 123458598765 12345686987654 1234567879876543 123456788898765432 12345678989987654321 v在自然界中，大凡美的东西都具在自然界中，大凡美的东西都具有对称性，有对称性，v比如花卉、叶片、动物、艺术品、比如花卉、叶片、动物、艺术品、建筑物等。建筑物等。 而在数学中，很多曲线和而在数学中，很多曲线和曲面曲面，比如二，比如二次曲线、次曲线、双纽线双纽线、玫瑰线玫瑰线、雪花曲线雪花曲线等等，也具有对称性。等等，也具有对称性。 欧拉给出的公式：欧拉给出的公式： V V 堪

19、称堪称“简单美简单美”的典范。世的典范。世间的多面体有多少？没有人间的多面体有多少？没有人能说清楚。但它们的顶点数能说清楚。但它们的顶点数、棱数、面数，都必、棱数、面数，都必须服从欧拉给出的公式，一须服从欧拉给出的公式，一个如此简单的公式，概括了个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性，无数种多面体的共同特性，能不令人惊叹不已？在数学能不令人惊叹不已？在数学中，像欧拉公式这样形式简中，像欧拉公式这样形式简洁、内容深刻、作用很大的洁、内容深刻、作用很大的定理还有许多。比如：圆的定理还有许多。比如：圆的周长公式：周长公式：C=2RC=2RCopyright by ARTCOM PT All

20、rights reserved.www.art-com.co.krCompany LogoLogoCopyright by ARTCOM PT All rights reserved.www.art-com.co.krCompany LogoLogo 3 3）著名的黄金分割比，即）著名的黄金分割比，即.6.618033981803398被达被达芬奇称为芬奇称为 “神神圣比例圣比例”他认为他认为“美感完全建美感完全建立在各部分之间神圣的比例关系立在各部分之间神圣的比例关系上上”。 维纳斯的美被所有人所公认，她维纳斯的美被所有人所公认，她的身材比也恰恰是黄金分割比。的身材比也恰恰是黄金分割比。 C

21、opyright by ARTCOM PT All rights reserved.www.art-com.co.krCompany LogoLogol在正五在正五边边形中，形中，边长与对边长与对角角线长线长的比是的比是黄黄金分割比。金分割比。黄黄金分割比在金分割比在许许多多艺术艺术作品中、作品中、在建筑在建筑设计设计中都有广泛的中都有广泛的应应用。巴黎用。巴黎圣圣母母院、北京故院、北京故宫宫的的构图构图都融入了都融入了黄黄金分割的金分割的匠心；孕育着生命的水，液匠心；孕育着生命的水，液态态的的温温度范度范围围是是0 0100100度，其度，其两个黄两个黄金分割点之一的金分割点之一的温温度度为

22、为3838度左右，正度左右，正与与人体正常体人体正常体温温吻合；吻合；人的人的脑电图脑电图波，若高低波，若高低频频率之比率之比为为1 1：0 0618618时时，则则是身心愉是身心愉悦悦的的时时刻刻真真是奇妙无比是奇妙无比 又如：在椭圆：又如：在椭圆： 中，记左焦点为中，记左焦点为F，右顶点为，右顶点为A，短轴上方的端点为短轴上方的端点为B，若该椭圆的离，若该椭圆的离心率为心率为 则则 ABF 。这样的椭圆不妨称。这样的椭圆不妨称之为之为“优美椭圆优美椭圆”。222210 xyabab512e2Oyx 对双曲线也有对双曲线也有“优美双曲线优美双曲线”： 的左顶点为的左顶点为A，右焦点为，右焦点

23、为F，B是虚轴的一个端点是虚轴的一个端点，且双曲线的离心率为，且双曲线的离心率为 它也有类似的性质：它也有类似的性质： ABF 22221xyab512e2yABFxO 数学是一门同人民大众贴得很近的学科，数学是一门同人民大众贴得很近的学科，它所讨论的宇宙，远比现实的所谓宇宙它所讨论的宇宙，远比现实的所谓宇宙宏伟雄大。通常所说的宇宙只是三维空宏伟雄大。通常所说的宇宙只是三维空间，而数学则建立起了四维、五维乃至间，而数学则建立起了四维、五维乃至n n维空间，并且，集合论的超限数的空间，维空间，并且，集合论的超限数的空间，远远超过了通常无穷大的空间，它们都远远超过了通常无穷大的空间，它们都远比我们

24、现实的宇宙更具有庄严美、雄远比我们现实的宇宙更具有庄严美、雄伟美。伟美。蒲丰蒲丰 投针试验投针试验1977年的一天，蒲丰忽发奇想，把许多宾朋邀请年的一天，蒲丰忽发奇想，把许多宾朋邀请到家中，做一个叫人感到奇怪的试验，他把事先到家中，做一个叫人感到奇怪的试验，他把事先画好一条条等距离的平行线的白纸，铺在桌面上，画好一条条等距离的平行线的白纸，铺在桌面上，又拿出准备好的质量均匀而长度为平行线距离一又拿出准备好的质量均匀而长度为平行线距离一半的小针，请客人把小针一根一根的随便地随便半的小针，请客人把小针一根一根的随便地随便仍在纸上，而蒲丰则在一旁专注观察着记着数，仍在纸上，而蒲丰则在一旁专注观察着记

25、着数，投完后统一计数为：共投投完后统一计数为：共投2212次，其中与任意平次，其中与任意平行线相交的有行线相交的有704次，蒲丰又做了一个简单的除次，蒲丰又做了一个简单的除法，法，22127043142然后宣布：然后宣布：“这就是圆这就是圆周率的近似值周率的近似值”他又说：他又说：“不信，还可以再试试，不信，还可以再试试，投的次数越多，越准确投的次数越多，越准确.”1901年，意大利人拉查年，意大利人拉查尼投了尼投了3408次，得出估计值是次，得出估计值是3.1415929,已很接已很接近祖冲之的密率。近祖冲之的密率。 那晶莹剔透的雪花曾引起无数诗人的那晶莹剔透的雪花曾引起无数诗人的赞叹。但若

26、问起雪花的形状是怎样的，能赞叹。但若问起雪花的形状是怎样的，能回答上来的同学不一定很多。也许有人会回答上来的同学不一定很多。也许有人会说，雪花是六角形的，这既对，但又不完说，雪花是六角形的，这既对，但又不完全对。雪花到底是什么形状呢？全对。雪花到底是什么形状呢？1904年瑞年瑞典数学家科赫讲述了一种描述雪花的方法。典数学家科赫讲述了一种描述雪花的方法。雪花到底是什么形状雪花到底是什么形状? ?先画一个等边三角形，把边长为原来三角形边长的三分之先画一个等边三角形，把边长为原来三角形边长的三分之一的小等边三角形选放在原来三角形的三条边上，由此得一的小等边三角形选放在原来三角形的三条边上，由此得到一

27、个六角星；再将这个六角星的每个角上的小等边三角到一个六角星；再将这个六角星的每个角上的小等边三角形按上述同样方法变成一个小六角星形按上述同样方法变成一个小六角星如此一直进行下如此一直进行下去，就得到了雪花的形状。去，就得到了雪花的形状。 从上面的描述过程我们可以看出：原来雪花的从上面的描述过程我们可以看出：原来雪花的每一部分经过放大都可以与它的整体一模一样，每一部分经过放大都可以与它的整体一模一样，小小的雪花竟然有这么多学问。现在已经有了小小的雪花竟然有这么多学问。现在已经有了一个专门的数学学科来研究像雪花这样的图形，一个专门的数学学科来研究像雪花这样的图形，这就是这就是20世纪世纪70年代由

28、美国计算机专家曼德布年代由美国计算机专家曼德布罗特创立的分形几何。所谓分形几何就是研究罗特创立的分形几何。所谓分形几何就是研究不规则曲线的几何学。目前分形几何已经在很不规则曲线的几何学。目前分形几何已经在很多领域得到了应用。多领域得到了应用。1 1、数学史上的三次危机的产生、数学史上的三次危机的产生第一次数学危机第一次数学危机无理数的产生无理数的产生希伯索思根据勾股定理通过逻辑推理发现，边长为希伯索思根据勾股定理通过逻辑推理发现，边长为1 1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示，这个发现使古希腊数学家们感到惊的比所能表示，这个发现使古

29、希腊数学家们感到惊奇不安，这意味着边长为奇不安，这意味着边长为1 1的正方形的对线长度竟的正方形的对线长度竟然不能用任何然不能用任何“数数”表示出来表示出来 第二次数学危机第二次数学危机无穷小是零吗？无穷小是零吗？ 牛顿在求牛顿在求xnxn的导数时，采取了先给的导数时，采取了先给x x以增量，应以增量，应用二项式（用二项式（x+0 x+0）n n，从中减去，从中减去xnxn以求得增量，并以求得增量，并除以以求出除以以求出xnxn的增量与的增量与x x的增量之比，然后又让的增量之比，然后又让消逝，这样得出增量的最终比。这里牛顿做了消逝，这样得出增量的最终比。这里牛顿做了违反矛盾律的手续违反矛盾律

30、的手续先设先设x x有增量，又令增量为有增量，又令增量为零，也即假设零，也即假设x x没有增量。没有增量。 他认为无穷小他认为无穷小dxdx既等既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬谬 由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。导致了数学史上的第二次数学危机。争论。导致了数学史上的第二次数学危机。第三次数学危机第三次数学危机-悖论的产生悖论的产生 罗素于罗素于19191919年给出的，它涉及到某村理发师的困境。年给出的，它涉及到某村理发师的困境。理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸

31、理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且，只给村里这样的人刮脸。当人们试的人刮脸，并且，只给村里这样的人刮脸。当人们试图回答下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质：图回答下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质： 理发师是否自己给自己刮脸？理发师是否自己给自己刮脸？ 如果他不给自己刮脸，如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。那么他就不符合他的原则。 2、哥德巴赫猜想与质数问题、哥德巴赫猜想与质数问题“任何不小于任何不小于6 6的偶数都是两个奇质数的和的偶数都是两个奇质数的和”

32、，这个命，这个命题叫做哥德巴赫猜想。题叫做哥德巴赫猜想。19371937年，苏联数学家维诺格拉夫证明年，苏联数学家维诺格拉夫证明“充分大的充分大的奇数可以表示为三个质数之和奇数可以表示为三个质数之和”，由此推出每一，由此推出每一个充分大的正整数都是四个质数之和个充分大的正整数都是四个质数之和 19381938年，我国数学家华罗庚证明了年，我国数学家华罗庚证明了“几乎全部偶数都几乎全部偶数都能表示成两个质数之和能表示成两个质数之和” ” 1966年，我国数学家陈景润证明了年，我国数学家陈景润证明了“每一个充分大每一个充分大的偶数都能表示为一个质数及一个不超过二个质数的偶数都能表示为一个质数及一个

33、不超过二个质数之乘积之和之乘积之和”，就是著名的，就是著名的“1+2”，但离最后还有，但离最后还有一步之遥。一步之遥。有一位科学家说：“感受到自然和人类的美，并用美丽的语言讴歌她，这就是诗歌；用美丽的色彩和形态去表现她，这就是绘画；而感受到存在于数与形的美，并以理智引导下的证明去表现她，这就是数学。” “数学，不但拥有真理，而且也具有至上的美。这种美没有绘画或音乐那些华丽的装饰，她可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完满的境地。”数学就是这样一门“既美而又真”的科学。 第一句话第二句话第二句话第三句话 只有知道如何停止的人才只有知道如何停止的人才知道如何让加快速度。知道如何让加快速度。第四句话话 第五句话第五句话