22函数的单调性与最值.pptx

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1、2 2. .2 2函数的单调性与最值函数的单调性与最值第二章第二章2.2函数的单调性与最值函数的单调性与最值必备知识关键能力案例探究必备知识-2-知识梳理考点自诊1.函数的单调性(1)单调函数的定义f(x1)f(x2) 上升的 下降的 第二章第二章2.2函数的单调性与最值函数的单调性与最值必备知识关键能力案例探究必备知识-3-知识梳理考点自诊(2)单调区间的定义如果函数y=f(x)在区间D上是或,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,叫做函数y=f(x)的单调区间.增函数减函数区间D2.函数的最值 f(x)Mf(x0)=Mf(x)Mf(x0)=M第二章第二章2.2函数的单调性

2、与最值函数的单调性与最值必备知识关键能力案例探究必备知识-4-知识梳理考点自诊1.函数单调性的常用结论: 第二章第二章2.2函数的单调性与最值函数的单调性与最值必备知识关键能力案例探究必备知识-5-知识梳理考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(2)函数f(x)=log5(2x+1)的递增区间是(0,+).()(3)函数y=f(x)在a,+)上是增函数,则函数的单调递增区间是a,+).()(5)所有的单调函数都有最值.() 第二章第二章2.2函数的单调性与最值函数的单调性与最值必备知识关键能力案例探究必备知识-6-知识梳理考点自诊2.(2019新疆乌鲁木齐二模,3)图象

3、关于原点对称且在定义域内单调递增的函数是()A.f(x)=cos x-1B.f(x)=x2+2C.f(x)=-D.f(x)=x3 D解析:根据题意,函数为奇函数,对于A,f(x)=cos x-1,为偶函数,不符合题意;对于B,f(x)=x2+2,为偶函数,不符合题意;对于C,f(x)=-是奇函数,但在其定义域中不是单调函数,不符合题意;对于D,f(x)=x3是奇函数即其图象关于原点对称且在定义域内单调递增,符合题意.故选D.第二章第二章2.2函数的单调性与最值函数的单调性与最值必备知识关键能力案例探究必备知识-7-知识梳理考点自诊3.(2019全国2,理6)若ab,则()A.ln(a-b)0

4、B.3a0D.|a|b|C解析:取a=2,b=1,满足ab.但ln(a-b)=0,排除A;3a=9,3b=3,3a3b,排除B;y=x3是增函数,ab,a3b3,故C正确;取a=1,b=-2,满足ab,但|a|b|,排除D.故选C.第二章第二章2.2函数的单调性与最值函数的单调性与最值必备知识关键能力案例探究必备知识-8-知识梳理考点自诊A5.(2019江西新余一中质检一,13)已知y=f(x)是定义在(-2,2)上的增函数,若f(m-1)0)在(0,+)内的单调性.-9-考点1考点2考点3第二章第二章2.2函数的单调性与最值函数的单调性与最值必备知识关键能力案例探究关键能力-10-考点1考点

5、2考点3第二章第二章2.2函数的单调性与最值函数的单调性与最值必备知识关键能力案例探究关键能力-11-考点1考点2考点3思考判断函数单调性的基本方法有哪些?解题心得1.判断函数单调性的四种方法:(1)定义法;(2)图象法;(3)利用已知函数的单调性;(4)导数法.2.证明函数在某区间上的单调性有两种方法:(1)定义法:基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断.(2)可导函数可以利用导数证明.3.复合函数单调性的判断方法:复合函数y=f(g(x)的单调性,应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.第二章第二章2.2函数的单调性与最值函数的单调性与最值必备

6、知识关键能力案例探究关键能力-12-考点1考点2考点3因为-1x1x20,x1-10,x2-10时,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),即函数f(x)在(-1,1)内是减函数;当a0时,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)0时,f(x)0,函数f(x)在(-1,1)上单调递减;当a0,函数f(x)在(-1,1)上单调递增.第二章第二章2.2函数的单调性与最值函数的单调性与最值必备知识关键能力案例探究关键能力-14-考点1考点2考点3求函数的单调区间例2(1)(2019河北石家庄二中模拟)函数f(x)=|x2-3x+2|的单调递增区间是()(2)(2019黑龙江大庆实验中学模拟)

7、函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是()A.(-,-2)B.(-,1)C.(1,+)D.(4,+)(3)函数f(x)=(3-x2)ex的单调递增区间是;单调递减区间是.B D (-3,1)(-,-3),(1,+)第二章第二章2.2函数的单调性与最值函数的单调性与最值必备知识关键能力案例探究关键能力-15-考点1考点2考点3第二章第二章2.2函数的单调性与最值函数的单调性与最值必备知识关键能力案例探究关键能力-16-考点1考点2考点3(2)函数y=x2-2x-8=(x-1)2-9图象的对称轴为直线x=1,由x2-2x-80,解得x4或x-2,所以(4,+)为函数y=x2-2x-8

8、的一个单调递增区间.根据复合函数的单调性可知,函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间为(4,+).(3)f(x)=-2xex+ex(3-x2)=ex(-x2-2x+3)=ex-(x+3)(x-1),当-3x0,当x1或x-3时,f(x)0,得f(x)的定义域为x4或x-1,由y=log2x是增函数,知f(x)的单调递减区间即y=x2-3x-4的单调递减区间,当x 时,函数y=x2-3x-4单调递减,结合f(x)的定义域,可得函数f(x)=log2(x2-3x-4)的单调递减区间为(-,-1).故选A.(2)f(x)=ln(x-2)+ln(6-x)=ln(x-2)(6-x),定义域为

9、(2,6),令t=(x-2)(6-x),则y=ln t,二次函数t=(x-2)(6-x)的对称轴为直线x=4,所以f(x)在(2,4)上单调递增,在(4,6)上单调递减,A错,C也错,D显然是错误的;当x=4时,t有最大值,所以f(x)max=ln(4-2)+ln(6-4)=2ln 2,B正确.第二章第二章2.2函数的单调性与最值函数的单调性与最值必备知识关键能力案例探究关键能力-20-考点1考点2考点3第二章第二章2.2函数的单调性与最值函数的单调性与最值必备知识关键能力案例探究关键能力-21-考点1考点2考点3 函数单调性的应用(多考向)考向1利用函数的单调性求函数的值域或最值A思考函数最

10、值的几何意义是什么?如何利用函数的单调性求函数的值域或最值?第二章第二章2.2函数的单调性与最值函数的单调性与最值必备知识关键能力案例探究关键能力-22-考点1考点2考点3第二章第二章2.2函数的单调性与最值函数的单调性与最值必备知识关键能力案例探究关键能力-23-考点1考点2考点3考向2利用函数的单调性比较大小例4(2019全国3,理11)设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+)单调递减,则()思考如何利用函数的单调性比较大小?C第二章第二章2.2函数的单调性与最值函数的单调性与最值必备知识关键能力案例探究关键能力-24-考点1考点2考点3第二章第二章2.2函数的单调性与最值函数的单调

11、性与最值必备知识关键能力案例探究关键能力-25-考点1考点2考点3考向3利用函数的单调性解不等式例5(2019山东潍坊一中模拟)已知函数f(x)为R上的减函数,则满足 f(1)的实数x的取值范围是()A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,0)(0,1)D.(-,-1)(1,+)思考如何解与函数有关的不等式?C第二章第二章2.2函数的单调性与最值函数的单调性与最值必备知识关键能力案例探究关键能力-26-考点1考点2考点3考向4利用函数的单调性求参数的值(或范围)例6(2019东北三省三校模拟三)若函数在(-,+)上单调递增,则m的取值范围是. (0,3第二章第二章2.2函数的单调性与最值函数

12、的单调性与最值必备知识关键能力案例探究关键能力-27-考点1考点2考点3思考如何利用函数的单调性求参数的值(或范围)?解题心得1.函数最值的几何意义:函数的最大值对应图象最高点的纵坐标,函数的最小值对应图象最低点的纵坐标.利用单调性求解最值问题,应先确定函数的单调性,再由单调性求解.2.比较函数值的大小,应先将自变量转化到同一个单调区间内,再利用函数的单调性解决.3.求解含“f”的不等式,应先将不等式转化为f(m)b0,则下列不等式成立的为()A.f(b)-f(-a)g(a)-g(-b)C.f(a)+f(-b)g(b)-g(-a)BAC第二章第二章2.2函数的单调性与最值函数的单调性与最值必备

13、知识关键能力案例探究关键能力-29-考点1考点2考点3(3)(2019广东深圳中学模拟)设函数f(x)是奇函数,且在(0,+)内是增函数,又f(-3)=0,则f(x)0的解集是()A.x|-3x3B.x|x-3或0 x3C.x|x3D.x|-3x0或0 x3(4)(2019四川成都实验外国语学校模拟)设函数A.(-,1B.1,4C.4,+)D.(-,14,+)BD第二章第二章2.2函数的单调性与最值函数的单调性与最值必备知识关键能力案例探究关键能力-30-考点1考点2考点3解析:(1)x1时,f(x)=ln x+1的最小值为1,要使 的最小值是1,必有x1时,y=x2-4x+a的最小值不小于1

14、,y=x2-4x+a在(-,1)上单调递减,xa-3,则a-31,a4,故实数a的取值范围是4,+),故选B.第二章第二章2.2函数的单调性与最值函数的单调性与最值必备知识关键能力案例探究关键能力-31-考点1考点2考点3(2)函数f(x)为R上的奇函数,且为单调减函数,偶函数g(x)在区间0,+)上的图象与f(x)的图象重合,由ab0,得f(a)f(b)0;对于A,f(b)-f(-a)g(a)-g(-b)f(b)+f(a)-g(a)+g(b)=2f(b)0上f(a)=g(a),所以A正确;对于B,f(b)-f(-a)g(a)-g(-b)f(b)+f(a)-g(a)+g(b)=2f(b)0,这

15、与f(b)0矛盾,所以B错误;对于C,f(a)+f(-b)g(b)-g(-a)f(a)-f(b)-g(b)+g(a)=2f(a)-f(b)0,这与f(a)g(b)-g(-a)f(a)-f(b)-g(b)+g(a)=2f(a)-f(b)0,这与f(a)f(b)矛盾,所以D错误.故选AC.第二章第二章2.2函数的单调性与最值函数的单调性与最值必备知识关键能力案例探究关键能力-32-考点1考点2考点3(3)f(x)是奇函数,f(-3)=0,f(-3)=-f(3)=0,解得f(3)=0.函数f(x)在(0,+)内是增函数,当0 x3时,f(x)3时,f(x)0.函数f(x)是奇函数,当-3x0;当x-

16、3时,f(x)0.则不等式f(x)0的解集是x|0 x3或x-3.(4)作出函数f(x)的图象如图所示,由图象可知,若f(x)在(a,a+1)上单调递增,需满足a4或a+12,即a1或a4,故选D.第二章第二章2.2函数的单调性与最值函数的单调性与最值必备知识关键能力案例探究关键能力-33-考点1考点2考点31.函数单调性判定的常用方法:图象法、定义法、导数法、利用已知函数的单调性.2.求函数值域或最值的常用方法:(1)先确定函数的单调性,再由单调性求值域或最值.(2)图象法:先作出函数在给定区间上的图象,再观察其最高点、最低点,求出值域或最值.(3)配方法:对于二次函数或可化为二次函数形式的

17、函数,可用配方法求解.(4)换元法:对比较复杂的函数,可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求值域或最值.(5)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正、二定、三相等”的条件后,再用基本不等式求出值域或最值.第二章第二章2.2函数的单调性与最值函数的单调性与最值必备知识关键能力案例探究关键能力-34-考点1考点2考点3(6)导数法:首先求导,然后求在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出值域或最值.3.复合函数的单调性可依据“同增异减”的规律求解.4.解决分段函数的单调性问题时,要高度关注:(1)抓住对变量所在区间的讨论.(2)保证各段上同增(减)时,要注意上段、下段的端点值之间的大小

18、关系.(3)弄清最终结果取并还是取交.第二章第二章2.2函数的单调性与最值函数的单调性与最值必备知识关键能力案例探究关键能力-35-考点1考点2考点31.求函数的单调区间,应先确定函数的定义域,脱离定义域研究函数的单调性是常见的错误.2.不同的单调区间之间不能用符号“”连接.第二章第二章2.2函数的单调性与最值函数的单调性与最值必备知识关键能力案例探究案例探究-36-中学阶段求函数值域或最值的主要方法是利用函数的单调性,对于单调性不易确定的函数,可以通过求导的方法确定.但有些函数的值域或最值通过作出函数的图象,利用数形结合的思想比较容易求出.第二章第二章2.2函数的单调性与最值函数的单调性与最

19、值必备知识关键能力案例探究案例探究-37-例1(2019北京朝阳一模,4)若函数 则函数f(x)的值域是()A.(-,2)B.(-,2C.0,+)D.(-,0)(0,2)答案:A解析:分别画出y=2x(x1)和y=-log2x(x1)的图象,如图.由图象可知,函数的值域为(-,2).第二章第二章2.2函数的单调性与最值函数的单调性与最值必备知识关键能力案例探究案例探究-38-例2用mina,b,c表示a,b,c三个数中的最小值,设f(x)=min2x,x+2,10-x(x0),求f(x)的值域.解:如图所示,在同一坐标系中作出y=x+2,y=2x,y=10-x的图象,根据f(x)的定义知,应取

20、f(x)=min2x,x+2,10-x(x0)的图象,当x=4时,f(x)取最大值f(4)=6,f(x)的值域为(-,6.第二章第二章2.2函数的单调性与最值函数的单调性与最值必备知识关键能力案例探究案例探究-39-第二章第二章2.2函数的单调性与最值函数的单调性与最值必备知识关键能力案例探究案例探究-40-把函数看成坐标系内的点与点间的距离和,P(x,0),A(-2,-2),B(2,1),即y=|PA|+|PB|.通过观察图象,当P处于AB连线时,y=|PA|+|PB|取到最小值,y=|AB|=5.所以|PA|+|PB|5,即函数值域为y5,+).第二章第二章2.2函数的单调性与最值函数的单

21、调性与最值必备知识关键能力案例探究案例探究-41-例5已知函数f(x)是定义在R上的增函数,函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,若对任意的x,yR,不等式f(x2-6x+21)+f(y2-8y)3时,x2+y2的取值范围是()A.(3,7)B.(9,25)C.(13,49)D.(9,49)答案:C第二章第二章2.2函数的单调性与最值函数的单调性与最值必备知识关键能力案例探究案例探究-42-解析:由函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,可知函数y=f(x)的图象关于原点(0,0)对称,即函数y=f(x)为奇函数,由f(x2-6x+21)+f(y2-8y)0,得f(x2-6x

22、+21)f(-y2+8y),所以x2-6x+21-y2+8y,整理得(x-3)2+(y-4)23时,(x-3)2+(y-4)24表示以M(3,4)为圆心,2为半径的右半圆内部,x2+y2可看作半圆内部上的点到原点的距离的平方,可知当延长OM交半圆于点B时,x2+y2的值最大,即( +2)2=49,当在点A时x2+y2的值最小,最小值为32+22=13,故x2+y2的取值范围是(13,49).第二章第二章2.2函数的单调性与最值函数的单调性与最值必备知识关键能力案例探究案例探究-43-答案:A 第二章第二章2.2函数的单调性与最值函数的单调性与最值必备知识关键能力案例探究案例探究-44-第二章第二章2.2函数的单调性与最值函数的单调性与最值必备知识关键能力案例探究案例探究-45-归纳小结1.数形结合求函数的值域就是将函数与其图象有机地结合起来,利用图形的直观性求函数的值域,其题型特点就是这些函数的解析式具有某种几何意义,如两点的距离公式或直线的斜率等.2.数形结合求函数值域的原则是:先确定函数的定义域,再根据函数的具体形式及运算确定其值域.