13.4课程学习 最短路径问题教案.doc

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1、课程学习课程学习 最短路径问题最短路径问题教案教案【教学目标教学目标】1.知识与技能知识与技能能利用轴对称解决简单的最短路径问题2.过程与方法过程与方法通过观察、操作、交流等活动增强动手解决问题能力。3.情感态度和价值观情感态度和价值观体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想。【教学重点教学重点】利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。【教学难点教学难点】探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及说理。【教学方法教学方法】自学与小组合作学习相结合的方法。【课前准备课前准备】教学课件【课时安排课时安排】1 课时【教学过程教学过程】一、情境导入展示一张公园常见的图

2、片。【过渡】图片中的现象，想必大家都很常见吧，为什么大家会放弃本来存在的路，而去选择践踏草坪呢？（学生回答）【过渡】刚刚大家都回答了自己的答案，那么大家再来看一下这个问题。课件展示问题。【过渡】根据我们之前的知识，我们知道，两点之间，线段最短。因此，就很容易得出答案。今天我们就来学习一下实际问题中的最短路径问题。二、新课教学1最短路径问题【问题一】牧马人从 A 地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到 B 地。那么牧马人到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？【过渡】这是一个实际问题，那么我们如何将其转化为数学问题呢？将 A，B 两地抽象为两个点，将河 l 抽象为一条直线。【过渡】现在，我们现

3、在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线 l 上的点设 C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点 C 在 l 的什么位置时，AC 与 CB 的和最小。在解决这个问题的时候，我们先考虑一个问题，如果两个点位于一条线的两侧，如何在这条线上找到一点，使这个点到 A、B 两点之间的距离最短呢？（学生讨论回答）两点之间，线段最短。【过渡】所以我们直接将两点连接，与线的交点即为我们所求的点。那么结合前边所学的轴对称的问题，你能解答问题一吗？（学生讨论，并回答） 。【总结】作其中一个点关于直线 l 的对称点，连接对称点和另一点与直线的交点就是满足最短距离的点的位置，最短距离就是 AB。【过

4、渡】在实际生活中，还有一类问题，即造桥选址问题，这个会不会也是一样的原理呢？我们来看一下吧。【问题二】如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN，桥造在何处可使从A 到 B 的路径 AMNB 最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)。【过渡】将这个问题数学化，将河的两岸看作两条平行线 a、b，N 为直线 b 上的一个动点，MN 垂直于 a，交 a 于 N 点。当 N 在什么位置时，AM+MN+NB 最小？【过渡】从 A 到 B 要走的路线是 AMNB，如图所示，而 MN 是定值，于是要使路程最短，只要 AMBN 最短即可。【过渡】大家能按照问题一的解法来进行吗？将问

5、题转化为当 N 在直线 b 的什么位置时，AN+NB 最短？进行证明。【过渡】在解决了这两个问题之后，我们也可以对选择路径问题进行总结。【总结】在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。【知识巩固】1、如图，直线 l 是一条河，P，Q 两地相距 8 千米，P，Q 两地到 l 的距离分别为2 千米，5 千米，欲在 l 上的某点 M 处修建一个水泵站，向 P，Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ A ）A B C D 2如图，等边ABC 的边长为 4，AD 是 BC 边上的中线，F 是

6、AD 边上的动点，E 是 AC 边上一点，若 AE=2，当 EF+CF 取得最小值时，则ECF 的度数为（ C ）A15 B22.5C30 D453已知MON=40，P 为MON 内一点，A 为 OM 上的点，B 为 ON 上的点，问当PAB的周长取最小值时。（1）找到 A、B 点，保留作图痕迹；（2）求此时APB 等于多少度？如果MON=，APB 又等于多少？解析：（1）如图所示：（2）如图下图所示：连 AP、BP。点 A与点 P 关于直线 OM 对称，点 B与点 P 关于 ON 对称，APOM，BPON，AA=AP，BB=BP。A=APA，B=BPB。APOM，BPON，MON+CPD=1

7、80。CPD=180-40=140。在ABP 中，由三角形的内角和定理可知：A+B=180-140=40。CPA+BPD=40。APB=140-40=100。如果MON=，则CPD=180-。在ABP 中，由三角形的内角和定理可知：A+B=。CPA+BPD=。APB=180-2。4如图，荆州护城河同在 CC处直角转弯，同宽均为 5 米，从 A 处到达 B 处，须经过两座桥：DD，EE（桥宽不计） ，设护城河以及两座桥都是东西，南北方向的，如何架桥可使ADDEEB 的路程最短？解析：作 AFCD，且 AF=河宽，作 BGCE，且 BG=河宽，连接 GF，与河岸相交于E、D。作 DD、EE即为桥。

8、证明：由作图法可知，AFDD，AF=DD，则四边形 AFDD 为平行四边形，于是 AD=FD，同理，BE=GE，由两点之间线段最短可知，GF 最小；即当桥建于如图所示位置时，ADDEEB 最短。【拓展提升】1、如图所示，在一个水塘的表面均匀漂浮一些鱼食，一只小鱼正在 A 出，现在小鱼从 A 处出发到到水面取一点食物后，要回到岸边的 B 洞口处，画出小鱼这一过程中游动的最短路径（请保留作图中必要的辅助线） 。解：（1）作点 A 关于水面的对称点 A，连接 AB 交水面于点 D，连接 AD，点 A 与点 A关于水面对称，AD=AD，AD+BD=AB，由两点之间线段最短可知，线段 AB 的长即为 A

9、D+BD 的最小值，故 D 点即为所求点，其最短路径见下图：2、如图，M，N 分别为 AC，BC 边上的两定点，在 AB 上求一点 P，使PMN 的周长最小，并说明理由。解析：如图所示：作点 N 关于直线 AB 的对称点 N，连接 MN交直线 AB 于点 P，则 PN=PN，由于PMN 的周长=PM+PN+MN，而 MN 是定值，故点当 M、N、P 在一条直线上时，三角形的周长有最小值最小值等于 MN+NM。【板书设计板书设计】1、最短路径问题。【教学反思教学反思】授课的过程中应该环环相扣，要讲问题分解，化大为小，化难为易，化繁为简，降低难度，就像是上台阶，一个个的台阶上。注重建模思想。虽然不必要提出来这个名词，但是要让学生能从实际问题中抽象出数学问题，本节课的“最短路径问题”就是一个实际的问题，要让学生转换成数学问题，抽象出数学问题。