北师大初中数学九下《3.2圆的对称性》PPT课件.ppt

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1、,美丽的圆,圆是一种美丽的图形，春秋战国时期，墨翟在其所著墨经一书中就曾明确指出：“圜，一中同长也。”毕达哥拉斯曾经说过：“一切立体图形中，最美的是球形；一切平面图形中最美的是圆形。”,那么，圆到底美在哪里？,九年级数学(下)第三章圆,3.2 圆的对称性(1) -垂径定理,3.2 圆的对称性,？,复习提问：,1、什么是轴对称图形？我们在直线形中学过哪些轴对称图形？,如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形,圆是轴对称图形吗？,如果是,它的对称轴是什么? 你能找到多少条对称轴？,你是用什么方法解决上述问

2、题的?,圆是轴对称图形.,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.,可利用折叠的方法即可解决上述问题.,3.2 圆的对称性,O,A,C,B,N,M,D,圆是轴对称图形，,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。,O,A,C,B,N,M,D,或： 任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴。,任意一条直径都是圆的对称轴（ ）,看一看,AEBE,AEBE,圆的相关概念,圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.,直径将圆分成两部分,每一部分都 叫做半圆(如弧ABC).,连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).,经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).,同心圆:圆心相同、半径不相等的两个圆叫做同心圆

3、。,弓形:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.,等圆、等弧:能够重合的两个圆叫做等圆. 在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.,AM=BM,垂径定理,AB是O的一条弦.,你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.,作直径CD,使CDAB,垂足为M.,下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?,由 CD是直径, CDAB,题设,结论,垂径定理,如图,小亮的理由是:,连接OA,OB,则OA=OB.,在RtOAM和RtOBM中,OA=OB，OM=OM，,RtOAMRtOBM.,AM=BM.,点A和点B关于CD对称.,O关于直径CD对称,当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,垂径定

4、理,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.,题设,结论,（1）直径（2）垂直于弦,（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧,垂径定理三种语言,定理: 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧.,杨老师提示:垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.,CDAB,如图 CD是直径,AM=BM,在下列图形中，找出能利用垂径定理的图形,例1、如图，已知在O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求O的半径。,E,解：连结OA. 过O作OEAB，垂足为E，则OE3厘米，AEBE。AB8厘米 AE4厘米 在Rt AOE中，根据勾

5、股定理有OA5厘米 O的半径为5厘米,例题精讲,方法总结：利用垂径定理解题，需要利用三角形AOE,如果有，直接用；如果没有，就需要作出相应三角形。请大家要牢记这一点！,九年级数学(下)第三章圆,3.2 圆的对称性(2) -垂径定理的推论,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.,CDAB,垂径定理的逆定理（推论）,AB是O的一条弦,且AM=BM.,你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.,过点M作直径CD.,左图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?,小亮发现图中有:,由 CD是直径, AM=BM,O,A,B,M,N,一个圆的任意两条直径总是互相平分，但是它

6、们不一定互相垂直。因此这里的弦如果是直径，结论就不一定成立。,垂径定理逆定理： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。,C,D,你可以写出相应的命题吗?相信自己是最棒的!,垂径定理的逆定理,如图,在下列五个条件中:,只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论., CD是直径, AM=BM, CDAB,垂径定理及逆定理,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.,平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.,平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.,弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.,垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的

7、直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.,平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.,平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦., CD是直径, AM=BM, CDAB,（1）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,已知：CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB,（2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧,（3）：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧,.,O,C,A,E,B,D,C,以上都是垂径定理的推论（1）,判断,（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧.( ),（2）弦所对的两弧

8、中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心.( ),（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分.( ),（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧( ),（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ）,按图填空：在O中，（1）若MNAB，MN为直径，则_，_，_；（2）若ACBC，MN为直径，AB不是直径，则则_，_，_；（3）若MNAB，ACBC，则_，_，_；（4）若 ACBC ，MN为直径，则_，_，_,练习2,挑战自我垂径定理的推论（2）,如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?,老师提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况:,垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.,讲解,

9、如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等.,例2 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。求证：ACBD。,证明：过O作OEAB，垂足为E，则AEBE，CEDE。AECEBEDE。所以，ACBD,E,讲解,讲解,小结:,解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。,垂径定理三角形,在a,d,r,h中，已知其中任意两个量,可以求出其它两个量.,d + h = r,已知：如图，直径CDAB，垂足为E .若半径R = 2 ，AB = , 求OE、DE 的长. 若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB

10、、DE 的长.由 、两题的启发，你还能编出什么其他问题？,C,D,A,B,E,例：平分已知弧AB,已知：弧AB,作法：, 连结AB.,作AB的垂直平分线 CD，交弧AB于点E.,点E就是所求弧AB的中点。,求作：弧AB的中点,挑战自我画一画,C,D,A,B,E,F,G,变式一： 求弧AB的四等分点。,m,n,C,A,B,E,变式二：你能确定 弧AB的圆心吗？,m,n,D,C,A,B,E,m,n,O,C,D,A,B,M,T,E,F,G,H,N,P,错在哪里？,等分弧时一定要作弧所夹弦的垂直平分线。,作AB的垂直平分线CD。,作ATBT的垂直 平分线EFGH,你能破镜重圆吗？,A,B,A,C,m,

11、n,O,作弦ABAC及它们的垂直平分线mn，交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆。,破镜重圆,A,B,C,m,n,O,弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。,作图依据：,九年级数学(下)第三章圆,3.2 圆的对称性(3) -垂径定理的应用,垂径定理,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.,题设,结论,（1）直径（2）垂直于弦,（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧,M,O,A,C,B,N,直线MN过圆心MNAB, AC=BC, ,垂径定理,M,O,A,C,B,N,直线MN过圆心 AC=BC,垂径定理推论1,推论1. (1)平分弦（不是直径）的直径垂直于弦

12、，并且平分弦所对的两条弧。,M,O,A,C,B,N, MNAB AC=BC,垂径定理推论1,推论1:(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;,M,O,A,C,B,N,垂径定理推论1,推论1: (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧,圆的两条平行弦所夹的弧相等。,垂径定理推论2,例 1. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中 ，点O是 的圆心），其中CD=600m，E为 上一点，且OECD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径.,垂径定理的应用(测公路的弯道的半径 ),解：连接OC.设弯路的半径为Rm，则0F=（R-90）m.OECD，CF=1

13、/2CD=1/2600=300（m）.根据勾股定理，得OC2=CF2+OF2，即 R2=3002+（R-90）2解这个方程，得R=545.所以，这段弯路的半径为545m.,Rm,F,0,C,D,E,赵州石拱桥,例2、1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).,驶向胜利的彼岸,你是第一个告诉同学们解题方法和结果的吗？,赵州石拱桥,驶向胜利的彼岸,解：如图，用 表示桥拱， 所在圆的圆心为O，半径为Rm，经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 相交于

14、点C.根据垂径定理，D是AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高.由题设,在RtOAD中，由勾股定理，得,解得 R27.9（m）.,答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.,变式1：如图，在O中，CD是直径，AB是弦，且CDAB，已知CD = 20，CM = 4，求AB。,解：连接OA,垂径定理的应用,,变式2、如图为一圆弧形拱桥，半径OA = 10m，拱高为4m，求拱桥跨度AB的长。,垂径定理的应用,垂径定理的应用,在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.,驶向胜利的彼岸,垂径定理的逆应用,在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一

15、些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.,驶向胜利的彼岸,D,C,挑战自我,1、要把实际问题转变成一个数学问题来解决.,2、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理，并用方程的思想来解决问题.,驶向胜利的彼岸,3、对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有：,d + h = r,学生练习,1.已知：AB是O直径，CD是弦，AECD，BFCD求证：ECDF,2.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.,课堂小结：,1.请说出本节所学习的主要内容

16、。2.还有什么疑惑请提出来,结束寄语,形成天才的决定因素应该是勤奋.,再见,九年级数学(下)第三章圆,3.2 圆的对称性(4) -弦、弧、圆心角的关系,圆的对称性及特性,圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.,圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.,用旋转的方法可以得到:,一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.,这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性,请问圆是否是中心对称图形呢？,想一想：,什么叫圆心角？顶点在圆心的角叫做圆心角。 在O中有两个相等的圆心角，想一想这两个圆心角所对的两条弦是否相等？所对的两条弧是否相等？,C,D,o,A,B,

17、C,D,o,A,B,o,A,B,C,D,o,A,B,C,D,o,A,B,C,D,o,A,B,C,D,o,A,B,C,D,o,A,B,C,D,o,A,B,C,D,o,A,B,C,D,o,A,B,C,D,o,A,B,C,D,弦AB和弦对应的弦心距什么关系？,在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等，所对的弧也相等。, AOB= COD,圆心角所对的弧相等， 圆心角所对的弦相等， 圆心角所对弦的弦心距相等。,推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中的一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。,在同圆或等圆中(前提),圆心角相等（条件）,定理推论,1

18、.如图，AB、CD是O的两条弦，OE、OF为AB、CD的弦心距，如果ABCD，那么 ， ， ；如果OEOF，那么 ， ， ；如果弧AB弧CD，那么 ， ， ；如果AOBCOD，那么 ， ， 。2.下列说法正确吗？为什么？在O和O中，AOBAOBABAB在O和O中，ABAB，弧AB弧AB,注意前提：在同圆或等圆中,巩固练习,1、如图，在O中，弧AB弧AC，B70.求C 度数.,你会做吗？,2、如图，AB是直径，BCCDDE，BOC40则AOE= 。,例1. 已知：如图，点P在O上,点O在EPF的平分线上， EPF的两边交O于点A和B。求证：PA=PB.,基础练习,例2已知：如图，点O在EPF的平

19、分线上，O和 EPF的两边分别交于点A，B和C，D。求证：ABCD,变式1,例3. 已知：如图， O的弦AB，CD相交于点P，DPO= BPO 。求证：ABCD,变式2,例4.已知：如图， O的弦AB，CD相交于点P，过P、O的直径为MN，APO= CPO 。求证：PBPD,变式3,例5.已知：如图，AD=BC.求证：ABCD,例6.已知：在O中，弦AB所对的劣弧为圆的1/3，圆的半径为2cm。求AB的长。,例7.已知AB和CD为O的两条直径，弦EC/AB,弧EC的度数为40，求BOD的度数。,例8已知：如图， PBPD. 求证： AB=CD 。,例9.已知：如图， O的两条半径OAOB，C、D是弧AB的三等分点。求证：CDAEBF。,A,B,O,D,C,E,F,在同圆或等圆中,两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦的弦心距,有一组量相等,它们所对应的其余各组量都分别相等,