13.4课程学习 最短路径问题课件.ppt

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1、人教版 八年级上册,13.4 课题学习 最短路径问题,导入新课,为什么会出现这样的路呢？,导入新课,如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？,两点之间,线段最短,新课学习,最短路径问题,问题一 牧马人从A 地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到B 地。那么牧马人到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？,新课学习,将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线,想一想,如何将实际问题数学化呢？,新课学习,现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线l上的点设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和

2、最小（如图）,新课学习,点A、B是分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到A、B两点的距离最短呢？,B,A,l,两点之间,线段最短,交点即为所求,依据：,新课学习,想一想,如何将点B“移”到l的另一侧B处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB的长度相等？你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B吗？,作法：(1)作点B 关于直线l 的对称点B；(2)连接AB，与直线l 交于点C.则点C 即为所求,A,C,B,B,新课学习,证明：如图，在直线l上任取一点C(与点C 不重合)，连接AC，BC，BC.由轴对称的性质知， BC BC，BCBC。 AC BC AC

3、BC AB， ACBC ACBC。 在ABC中， ABACBC AC BCACBC。即 AC BC 最短。,新课学习,结论：作其中一个点关于直线l的对称点，连接对称点和另一点与直线的交点就是满足最短距离的点的位置。最短距离就是AB。,知识巩固,1.如图，直线l是一条河，P，Q两地相距8千米，P，Q两地到l的距离分别为2千米，5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（）A. B. C. D.,B,知识巩固,知识巩固,2.如图，等边ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若A

4、E=2，当EF+CF取得最小值时，则ECF的度数为（）A15B22.5C30D45,C,知识巩固,新课学习,问题二：(造桥选址问题)如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。),新课学习,将实际问题转化为数学问题,将河的两岸看作两条平行线a、b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于a，交a于N点。,当N在什么位置时，AM+MN+NB最小？,问题解决,A1,M,N,如图，平移A到A1，使A1等于河宽，连接A1交河岸于作桥，此时路径最短.,新课学习,证明：另任作桥，连接，.,由平移性质可知，.,AM+M

5、N+BN转化为，而转化为.,在中，由线段公理知A1N1+BN1A1B,因此 AM+MN+BN,新课学习,新课学习,总结：,在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。,知识巩固,3.已知MON=40，P为MON内一点，A为OM上的点，B为ON上的点，问当PAB的周长取最小值时（1）找到A、B点，保留作图痕迹；（2）求此时APB等于多少度？如果MON=，APB又等于多少？,知识巩固,解析：（1）如图所示：,知识巩固,解析：（2）如图下图所示：连AP、BP。点A与点P关于直线OM对称，点B与点P关于ON对称，APOM，BPON，AA=

6、AP，BB=BP。A=APA，B=BPB。APOM，BPON，MON+CPD=180。CPD=180-40=140。在ABP中，由三角形的内角和定理可知：A+B=180-140=40。CPA+BPD=40。APB=140-40=100。如果MON=，则CPD=180-。在ABP中，由三角形的内角和定理可知：A+B=。CPA+BPD=。APB=180-2。,知识巩固,4.如图，荆州护城河同在CC处直角转弯，同宽均为5米，从A处到达B处，须经过两座桥：DD，EE（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西，南北方向的，如何架桥可使ADDEEB的路程最短？,知识巩固,解析：作AFCD，且AF=河宽，作B

7、GCE，且BG=河宽，连接GF，与河岸相交于E、D。作DD、EE即为桥。证明：由作图法可知，AFDD，AF=DD，则四边形AFDD为平行四边形，于是AD=FD，同理，BE=GE，由两点之间线段最短可知，GF最小；即当桥建于如图所示位置时，ADDEEB最短。,课堂小结,1、利用轴对称解决最短路径问题。,在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择,拓展提升,1.如图所示，在一个水塘的表面均匀漂浮一些鱼食，一只小鱼正在A出，现在小鱼从A处出发到到水面取一点食物后，要回到岸边的B洞口处，画出小鱼这一过程中游动的最短路径（请保留作图中必要的辅助线）。,拓展提升,解析：作点A关于水面的对称点A，连接AB交水面于点D，连接AD，点A与点A关于水面对称，AD=AD，AD+BD=AB，由两点之间线段最短可知，线段AB的长即为AD+BD的最小值，故D点即为所求点，其最短路径见下图：,拓展提升,2.如图，M，N分别为AC，BC边上的两定点，在AB上求一点P，使PMN的周长最小，并说明理由,拓展提升,解析：如图所示：作点N关于直线AB的对称点N，连接MN交直线AB于点P，则PN=PN，由于PMN的周长=PM+PN+MN，而MN是定值，故点当M、N、P在一条直线上时，三角形的周长有最小值最小值等于MN+NM,