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1、第十二章 全等三角形,12.3角平分线的性质第1课时,关注“初中教师园地”公众号2019秋季各科最新备课资料陆续推送中快快告诉你身边的小伙伴们吧,1.通过操作、验证等方式,探究并掌握角平分线的性质定理.(难点)2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题. (重点),学习目标,挑战第一关 情境引入,问题1:在纸上画一个角,你能得到这个角的平分线吗?,导入新课,用量角器度量,也可用折纸的方法,问题2:如果把前面的纸片换成木板、钢板等,还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗?,提炼图形,问题3:如图,是一个角平分仪,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿A
2、C画一条射线AE,AE就是角平分线,你能说明它的道理吗?,其依据是SSS,两全等三角形的对应角相等.,挑战第二关 探索新知,问题:如果没有此仪器,我们用数学作图工具,能实现该仪器的功能吗?,做一做:请大家找到用尺规作角的平分线的方法,并说明作图方法与仪器的关系.,提示:(1)已知什么?求作什么?(2)把平分角的仪器放在角的两边,仪器的顶点与角的顶点重合,且仪器的两边相等,怎样在作图中体现这个过程呢?(3)在平分角的仪器中,BC=DC,怎样在作图中体现这个过程呢?(4)你能说明为什么OC是AOB的平分线吗?,尺规作角平分线,A,B,O,已知:AOB.,求作:AOB的平分线.,仔细观察步骤,作角平
3、分线是最基本的尺规作图,大家一定要掌握噢!,作法:(1)以点O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于点M,交OB于点N.(2)分别以点MN为圆心,大于 MN的长为半径画弧,两弧在AOB的内部相交于点C.(3)画射线OC.射线OC即为所求.,已知:平角AOB. 求作:平角AOB的角平分线.,结论:作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法.,1. 操作测量:取点P的三个不同的位置,分别过点P作PDOA,PE OB,点D、E为垂足,测量PD、PE的长.将三次数据填入下表:,2. 观察测量结果,猜想线段PD与PE的大小关系,写出结:_,C,O,B,A,PD=PE,实验:OC是AOB的平分
4、线,点P是射线OC上的任意一点,猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,角平分线的性质,验证猜想,已知:如图, AOC= BOC,点P在OC上,PDOA,PEOB,垂足分别为D,E.求证:PD=PE.,证明:, PDOA,PEOB,, PDO= PEO=90 .,在PDO和PEO中,,PDO= PEO,,AOC= BOC,,OP= OP,, PDO PEO(AAS).,PD=PE.,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,一般情况下,我们要证明一个几何命题时,可以按照类似的步骤进行,即,1.明确命题中的已知和求证;2.根据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和求证;3.经过分析,找出由已知
5、推出要证的结论的途径,写出证明过程.,方法归纳,性质定理:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,应用所具备的条件:,定理的作用:,证明线段相等.,应用格式:,OP 是AOB的平分线,,PD = PE,推理的理由有三个,必须写完全,不能少了任何一个.,PDOA,PEOB,,判一判:(1) 如下左图,AD平分BAC(已知),, = ,( ),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等,BD CD,(2) 如上右图, DCAC,DBAB (已知)., = , ( ),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等,BD CD,例1:已知:如图,在ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DEAB,
6、DFAC.垂足分别为E,F.求证:EB=FC.,证明: AD是BAC的角平分线, DEAB, DFAC,, DE=DF, DEB=DFC=90 .,在RtBDE 和 RtCDF中,, RtBDE RtCDF(HL)., EB=FC.,典例精析,例2:如图,AM是BAC的平分线,点P在AM上,PDAB,PEAC,垂足分别是D、E,PD=4cm,则PE=_cm.,4,温馨提示:存在两条垂线段直接应用,典例精析,变式:如图,在RtABC中,AC=BC,C90,AP平分BAC交BC于点P,若PC4, AB=14.(1)则点P到AB的距离为_.,4,温馨提示:存在一条垂线段构造应用,变式:如图,在Rt
7、ABC中,AC=BC,C900,AP平分BAC交BC于点P,若PC4,AB=14.(2)求APB的面积.,(3)求PDB的周长.,ABPD=28.,由垂直平分线的性质,可知,PD=PC=4,,1.应用角平分线性质:,存在角平分线,涉及距离问题,2.联系角平分线性质:,面积,周长,条件,知识与方法,利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解,当堂练习,2.ABC中, C=90,AD平分CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 .,3,E,1. 如图,DEAB,DFBG,垂足分别是E,F, DE =DF, EDB= 60,则 EBF= 度,BE= .,60,BF,3.用尺规作图作一个
8、已知角的平分线的示意图如图所示,则能说明AOC=BOC的依据是( )A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等,A,4.如图,AD是ABC的角平分线,DEAB,垂足为E,SABC7,DE2,AB4,则AC的长是(),A6 B5 C4 D3,D,B,C,E,A,D,解析:过点D作DFAC于F, AD是ABC的角平分线, DEAB, DFDE2, 解得AC3.,F,方法总结:利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高,再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法,6,8,10,5.在RtABC中,BD平分ABC,DEAB于E,则:(1)哪条线段与DE相等?为什么?(2
9、)若AB10,BC8,AC6,求BE,AE的长和AED的周长.,解:(1)DC=DE.理由如下:角平分线上的点到角两边的距离相等.(2)在RtCDB和RtEDB中, DC=DE,DB=DB,RtCDBRtEDB(HL),BEBC=8. AEAB-BE=2. AED的周长=AE+ED+DA=2+6=8.,6.如图,已知ADBC,P是BAD与 ABC的平分线的交点,PEAB于E,且PE=3,求AD与BC之间的距离.,解:过点P作MNAD于点M,交BC于点N. ADBC, MNBC,MN的长即为AD与BC之间的距离. AP平分BAD, PMAD , PEAB, PM= PE.同理, PN= PE. PM= PN= PE=3. MN=6.即AD与BC之间的距离为6.,7.如图所示,D是ACG的平分线上的一点DEAC,DFCG,垂足分别为E,F.求证:CECF.,证明:CD是ACG的平分线,DEAC,DFCG,DEDF.在RtCDE和RtCDF中,RtCDERtCDF(HL),CECF.,课堂小结,角平分线,尺规作图,属于基本作图,必须熟练掌握,性质定理,一个点:角平分线上的点;二距离:点到角两边的距离;两相等:两条垂线段相等,辅助线添加,过角平分线上一点向两边作垂线段,
限制150内