2014年山东省日照市中考数学试卷.doc

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1、1山东省日照市山东省日照市 2014 年中考数学试卷年中考数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题（共大题共一、选择题（共大题共 12 小题，其中小题，其中 1-8 题每小题题每小题 3 分，分，9-12 题每小题题每小题 3 分，满分分，满分 40 分分.每小题所每小题所 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项的字母代号填涂在答题卡相应位给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项的字母代号填涂在答题卡相应位 置上）置上）1 （3 分） （2014日照）在已知实数：1，0， ，2 中，最小的一个实数是（ ）A 1B0CD2考点：实数大小比较.

2、分析：正实数都大于 0，负实数都小于 0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小， 由此可得出答案 解答：解：2、1、0、1 中，最小的实数是2故选：D 点评：本题考查了实数的大小比较，属于基础题，掌握实数的大小比较法则是关键2 （3 分） （2014日照）下列运算正确的是（ ）A 3a32a2=6a6B（a2）3=a6Ca8a2=a4D x3+x3=2x6考点：同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式. 分析：根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方的知识求解即可求得答案 解答：解：A、3a32a2=6a5，故 A 选项错误；B、 （a2）3=a

3、6，故 B 选项正确； C、a8a2=a6，故 C 选项错误； D、x3+x3=2x3，故 D 选项错误 故选：B 点评：此题考查了合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方等知识，解题要注意细 心3 （3 分） （2014日照）在下列图案中，是中心对称图形的是（ ）A BCD 考点：中心对称图形. 分析：根据中心对称图形的概念求解2解答：解：A、不是中心对称图形故本选项错误； B、不是中心对称图形故本选项错误； C、是中心对称图形故本选项正确； D、不是中心对称图形故本选项错误 故选 C 点评：本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重 合

4、4 （3 分） （2014日照）某养殖场 2013 年底的生猪出栏价格是每千克 a 元，受市场影响，2014 年 第一季度出栏价格平均每千克下降了 15%，到了第二季度平均没千克比第一季度又上升了 20%，则 第三季度初这家养殖场的生猪出栏价格是每千克（ ）A （115%） （1+20%）a 元B（115%）20%a 元C（1+15%） （120%）a 元D （1+20%）15%a 元考点：列代数式. 分析：由题意可知：2014 年第一季度出栏价格为 2013 年底的生猪出栏价格的（115%） ，第二季度平均价格每千克是第一季度的（1+20%） ，由此列出代数式即可 解答：解：第三季度初这家养

5、殖场的生猪出栏价格是每千克（115%） （1+20%）a 元故选：A 点评：此题考查列代数式，注意题目蕴含的数量关系，找准标准是解决问题的关键5 （3 分） （2014日照）已知ABC 的周长为 13，且各边长均为整数，那么这样的等腰ABC 有（ ）A 5 个B4 个C3 个D 2 个考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系. 分析：由已知条件，根据三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， 结合边长是整数进行分析 解答：解：周长为 13，边长为整数的等腰三角形的边长只能为：3，5，5；或 4，4，5；或 6，6，1，共 3 个 故选：C 点评：本题考查了等腰三角形的判定

6、；所构成的等腰三角形的三边必须满足任意两边之和大于第三 边，任意两边之差小于第三边解答本题时要进行多次的尝试验证6 （3 分） （2014日照）李大伯在承包的果园里种植了 100 棵樱桃树，今年已经进入收获期，收获 时，从中任意采摘了 6 棵树上的樱桃，分别称得每棵树的产量（单位：千克）如下表： 序 号123456 产量量172119182019 这组数据的中位数为 m，樱桃的总产量约为 n，则 m，n 分别是（ ）A18，2000B19，1900C18.5，1900D19，18503考点：中位数；用样本估计总体. 分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均

7、数）为中 位数；根据已知数据利用平均数的计算公式求出 6 棵树上的樱桃的平均产量，然后利用样本 估计总体的思想即可求出樱桃的总产量 解答：解：先对这组数据按从小到大的顺序重新排序：17，18，19，19，20，21 位于最中间的数是 19，19， 所以这组数的中位数是 m=（19+19）2=19； 从 100 棵樱桃中抽样 6 棵， 每颗的平均产量为（17+18+19+19+20+21）=19（千克） ， 所以估计樱桃的总产量 n=19100=1900（千克） ； 故选 B 点评：此题考查了中位数、平均数、样本估计总体等知识，综合性比较强，要求学生熟练掌握定义 并且能够运用这些知识才能很好解决

8、问题7 （3 分） （2014日照）关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k+1=0 的两个实根 x1，x2，满足x1+x2x1x21，则 k 的取值范围在数轴上表示为（ ）ABCD考点：在数轴上表示不等式的解集；根的判别式；根与系数的关系. 分析：根据根的判别式和根与系数的关系列出不等式，求出解集 解答：解：关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k+1=0 有两个实根， 0，44（k+1）0，解得 k0，x1+x2=2，x1x2=k+1，2（k+1）1，解得 k2，不等式组的解集为2k0，在数轴上表示为：， 故选 D 点评：本题考查了根的判别式、根与系数的关系，在数轴上找到公共部分是解题的关

9、键48 （3 分） （2014日照）如图，正六边形 ABCDEF 是边长为 2cm 的螺母，点 P 是 FA 延长线上的 点，在 A、P 之间拉一条长为 12cm 的无伸缩性细线，一端固定在点 A，握住另一端点 P 拉直细线， 把它全部紧紧缠绕在螺母上（缠绕时螺母不动） ，则点 P 运动的路径长为（ ）A 13cmB14cmC15cmD16cm考点：弧长的计算；正多边形和圆. 分析：根据如图所示可知点 P 运动的路线就是图中六条扇形的弧长，扇形的圆心角为 60 度，半径 从 12cm，依次减 2cm，求得六条弧的长的和即可 解答：解：点 P 运动的路径长为：+=（12+10+8+6+4+2）=

10、14（cm） 故选 B 点评：本题的关键是理解点 P 运动的路线是六条弧，理解每条弧的圆心角和半径是关键9 （4 分） （2014日照）当 k时，直线 kxy=k 与直线 ky+x=2k 的交点在（ ）A 第一象限B第二象限C第三象限D 第四象限考点：两条直线相交或平行问题. 分析： 解方程组得两直线的交点坐标，由 k，求出交点的横坐标、纵坐标的符号，得出结论 解答： 解：解方程组得，两直线的交点坐标为（，） ，因为 k，5所以0，=0，所以交点在第一象限 故选：A 点评：本题考查求两直线的交点的方法，以及各个象限内的点的坐标的特征10 （4 分） （2014日照）如图，已知ABC 的面积是

11、12，点 E、I 分别在边 AB、AC 上，在 BC 边 上依次作了 n 个全等的小正方形 DEFG，GFMN，KHIJ，则每个小正方形的边长为（ ）A BCD 考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质. 分析：设正方形的边长为 x，根据正方形的性质、勾股定理和相似三角形的判定和性质，可以求出 有两个正方形的边长和有三个正方形的边长，从中得到规律就可得到 n 个正方形的边长规律 即可得到问题答案 解答：解：过 C 作 CMAB，垂足为 M，交 GH 于点 N CMB=90， 四边形 EFGH 是正方形， GHAB，GH=GF，GFAB， CGH=A，CNH=CMB=90 GCH=ACB， C

12、GHCAB，GF=MN=GH，设 GH=x，三角形 ABC 的底为 a，高为 h，CN=CMMN=CMGH=CMx，以此类推，由此，当为 n 个正方形时以 x=，故选 D6点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是需要对正方形的性质、直角三角形的勾 股定理和相似三角形的判定和性质熟练地掌握并把它运用到实际的题目中去11 （4 分） （2014日照）如图，是抛物线 y=ax2+bx+c（a0）图象的一部分已知抛物线的对称轴为 x=2，与 x 轴的一个交点是（1，0） 有下列结论：abc0；4a2b+c0；4a+b=0；抛物线与 x 轴的另一个交点是（5，0） ；点（3，y1） ，（6，

13、y2）都在抛物线上，则有 y1y2 其中正确的是（ ）A BCD考点：二次函数图象与系数的关系. 分析：先根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与 y 轴交点位置求得 a、b、c 的符号，再 根据有理数乘法法则即可判断；把 x=2 代入函数关系式，结合图象即可判断；根据对称轴求出 b=4a，即可判断；根据抛物线的对称性求出抛物线与 x 轴的另一个交点坐标，即可判断；先求出点（3，y1）关于直线 x=2 的对称点的坐标，根据抛物线的增减性即可判断 y1和y2的大小 解答：解：二次函数的图象开口向上， a0， 二次函数的图象交 y 轴的负半轴于一点， c0， 对称轴是直线 x=2，7=2，b=4a

14、0，abc0 故正确；把 x=2 代入 y=ax2+bx+c 得：y=4a2b+c，由图象可知，当 x=2 时，y0，即 4a2b+c0故错误；b=4a，4a+b=0 故正确；抛物线的对称轴为 x=2，与 x 轴的一个交点是（1，0） ，抛物线与 x 轴的另一个交点是（5，0） 故正确；（3，y1）关于直线 x=2 的对称点的坐标是（7，y1） ，又当 x2 时，y 随 x 的增大而增大，76，y1y2 故错误； 综上所述，正确的结论是 故选：C点评：此题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数 y=ax2+bx+c（a0） ，a 的符号由抛物线的 开口方向决定；b 的符号由对称轴的位置与 a

15、 的符号决定；c 的符号由抛物线与 y 轴交点的位置决定；抛物线与 x 轴有交点时，两交点关于对称轴对称，此外还要根据图象判断 x=2时对应函数值的正负及二次函数的增减性12 （4 分） （2014日照）下面是按照一定规律排列的一列数：8第 1 个数：（1+） ；第 2 个数：（1+）（1+）（1+） ；第 3 个数：（1+）（1+）（1+）（1+）（1+） ；依此规律，在第 10 个数、第 11 个数、第 12 个数、第 13 个数中，最大的数是（ ）A 第 10 个数B第 11 个数C第 12 个数D 第 13 个数考点：规律型：数字的变化类. 分析：通过计算可以发现，第一个数，第二个数为

16、，第三个数为，第 n 个数为 ，由此求第10 个数、第 11 个数、第 12 个数、第 13 个数的得数，通过比较得出答案 解答：解：第 1 个数：（1+） ；第 2 个数：（1+）（1+）（1+） ；第 3 个数：（1+）（1+）（1+）（1+）（1+） ；第 n 个数为 （1+）1+1+1+=，第 10 个数、第 11 个数、第 12 个数、第 13 个数分别为，其中最大的数为，即第 10 个数最大故选 A 点评：本题考查的是数字的变化类，根据题意找出规律是解答此题的关键二、填空题（共二、填空题（共 4 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 16 分，不需写出解答过程，请将答案直

17、接写在答题卡分，不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡 相应的位置上）相应的位置上）913 （4 分） （2014日照）分解因式：x3xy2= x（x+y） （xy） 考点：提公因式法与公式法的综合运用. 分析：首先提取公因式 x，进而利用平方差公式分解因式得出即可 解答：解：x3xy2=x（x2y2）=x（x+y） （xy） 故答案为：x（x+y） （xy） 点评：此题主要考查了提取公因式法分解因式以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关 键14 （4 分） （2014日照）小明从市环境监测网随机查阅了若干天的空气质量数据作为样本进行统 计，分别绘制了如图的条形统计图和扇形统计图，根据

18、图中提供的信息，可知扇形统计图中表示空 气质量为优的扇形的圆心角的度数为 108 考点：条形统计图；扇形统计图. 分析：根据空气质量为良的天数和所占的百分比求出总的天数，再用总天数减去空气质量为良和轻 度污染的天数求出优的天数，再用 360乘以优的天数所占的百分比即可 解答：解：根据题意得：随机查阅的总天数是：=30（天） ，优的天数是：30183=9（天） ，则空气质量为优的扇形的圆心角的度数为：360=108；故答案为：108 点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必 要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直

19、接 反映部分占总体的百分比大小15 （4 分） （2014日照）已知 ab，如果+=，ab=2，那么 ab 的值为 1 考点：完全平方公式；分式的加减法. 专题：计算题10分析：已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，将 ab 的值代入求出 a+b 的值，再利用完全平方公式即可求出 ab 的值解答：解： +=，将 ab=2 代入得：a+b=3，（ab）2=（a+b）24ab=98=1，ab，ab0，则 ab=1故答案为：1 点评：此题考查了完全平方公式，以及分式的加减法，熟练掌握公式及法则是解本题的关键16 （4 分） （2014日照）如图，在 RtOAB 中，OA=4，AB=5，点

20、C 在 OA 上，AC=1，P 的圆 心 P 在线段 BC 上，且P 与边 AB，AO 都相切若反比例函数 y=（k0）的图象经过圆心 P，则 k= 考点：反比例函数综合题；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；切线的性质；相似三角形 的判定与性质. 专题：计算题 分析：设P 与边 AB，AO 分别相切于点 E、D，连接 PE、PD、PA，用面积法可求出P 的半径， 然后通过三角形相似可求出 CD，从而得到点 P 的坐标，就可求出 k 的值 解答：解：设P 与边 AB，AO 分别相切于点 E、D，连接 PE、PD、PA，如图所示 则有 PDOA，PEAB 设P 的半径为 r， AB=5，AC

21、=1，SAPB=ABPE=r，SAPC=ACPD=r OAB=90，OA=4，AB=5， OB=3SABC=ACOB=13= SABC=SAPB+SAPC， =r+r r= PD= PDOA，AOB=90， PDC=BOC=9011PDBO PDCBOC=PDOC=CDBO（41）=3CDCD=OD=OCCD=3=点 P 的坐标为（， ） 反比例函数 y=（k0）的图象经过圆心 P， k= 故答案为：点评：本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式、相似三角形的判定与性质、切线的性质、 勾股定理等知识，有一定的综合性三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，满分小题，满分 64 分，

22、请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文 字说明、证明过程或演算步骤）字说明、证明过程或演算步骤） 17 （8 分） （2014日照）为了进一步落实“节能减排”措施，冬季供暖来临前，某单位决定对 7200 平方米的“外墙保温”工程进行招标，现有甲、乙两个工程队参与投标，比较这两个工程队的标书发 现：乙队每天完成的工程量是甲队的 1.5 倍，这样乙队单独干比甲队单独干能提前 15 天完成任 务问甲队每天完成多少平方米？考点：分式方程的应用. 分析：设甲队每天完成 x 米2，乙队每天完成 1.5 x 米2则依据“乙队单独干比甲队单独干能提前1

23、5 天完成任务”列出方程 解答：解：设甲队每天完成 x 米2，乙队每天完成 1.5 x 米2，根据题意得=15，解得 x=160， 经检验，x=160，是所列方程的解答：甲队每天完成 160 米2点评：本题考查了分式方程的应用分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键18 （8 分） （2014日照）在某班“讲故事”比赛中有一个抽奖活动，活动规则是：只有进入最后决赛 的甲、乙、丙三位同学，每人才能获得一次抽奖机会在如图所示的翻奖牌正面的 4 个数字中选一12个数字，选中后就可以得到该数字后面的相应奖品：前面的人选中的数字，后面的人就不能再选择数字了 （1）请用树状图（或列表）的方法求甲、乙二

24、人得到的奖品都是计算器的概率 （2）有的同学认为，如果甲先翻奖牌，那么他得到篮球的概率会大些，这种说法正确吗？请说明 理由考点：列表法与树状图法. 分析：（1）首先画树形图可知：一共有 24 种情况，甲、乙二人都得到计算器共有 4 种情况除以总 情况数即为所求概率； （2）根据（1）中的树形图，分别求出甲、乙、丙得到篮球的概率即可 解答：解：（1）所有获奖情况的树状图如下：共有 24 种可能的情况，其中甲、乙二人都得到计算器共有 4 种情况，所以，甲、乙二人都得计算器的概率为：P=；（2）这种说法是不正确的由上面的树状图可知共有 24 种可能情况：甲得到篮球有六种可能情况：P（甲）=，乙得到篮

25、球有六种可能情况：P（乙）=，丙得到篮球有六种可能情况：P（丙）=，所以甲、乙、丙三人不管谁先翻奖牌得到篮球的概率都相等 点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出 所有可能的结果，适合于两步完成的事件游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游 戏不公平用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比19 （10 分） （2014日照）如图，在正方形 ABCD 中，边长 AB=3，点 E（与 B，C 不重合）是 BC 边上任意一点，把 EA 绕点 E 顺时针方向旋转 90到 EF，连接 CF （1）求证：CF 是正方形 ABCD 的外角平分线； （2）当

26、BAE=30时，求 CF 的长13考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形. 分析：（1）过点 F 作 FGBC 于点 G，易证ABEEGF，所以可得到 AB=EG，BE=FG，由此可 得到FCG=45，即 CF 平分DCG，所以 CF 是正方形 ABCD 外角的平分线； （2）首先可求出 BE 的长，即 FG 的长，再在 RtCFG 中，利用 cos45即可求出 CF 的长 解答：（1）证明：过点 F 作 FGBC 于点 G AEF=B=90， 1=2 在ABE 和EGF 中，ABEEGF（AAS） AB=EG，BE=FG 又AB=BC， BE=CG， FG=CG， FCG=

27、45， 即 CF 平分DCG， CF 是正方形 ABCD 外角的平分线（2）AB=3，BAE=30，tan30=，BE=ABtan30=3，即 CG=在 RtCFG 中，cos45=，CF=点评：主要考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定和性质、特殊角的三角函数值的运用，题 目的综合性较强，难度中等20 （10 分） （2014日照）如图，为了绿化小区，某物业公司要在形如五边形 ABCDE 的草坪上建 一个矩形花坛 PKDH已知：PHAE，PKBC，DE=100 米，EA=60 米，BC=70 米，CD=80 米以 BC 所在直线为 x 轴，AE 所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，坐标

28、原点为 O14（）求直线 AB 的解析式 （）若设点 P 的横坐标为 x，矩形 PKDH 的面积为 S （1）用 x 表示 S； （2）当 x 为何值时，S 取最大值，并求出这个最大值考点：一次函数综合题. 分析：（）根据题意易求 A、B 的坐标为（0，20） 、 （30，0） 利用待定系数法可以求得直线 AB 的解析式；（） （1）点 P 的坐标可以表示为（x， x+20） ，则 PK=100x，PH=80（x+20）=60+x，所以根据矩形的面积公式可以求得函数解析式为：S=（100x） （60+x） ；（2）利用（1）中的二次函数的性质来求 S 的最大值 解答：解：（）如图所示，OE=8

29、0 米，OC=ED=100 米，AE=60 米，BC=70 米， OA=20 米，OB=30 米， 即 A、B 的坐标为（0，20） 、 （30，0） 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b（k0） ，则，解得，则直线 AB 的解析式为 y=x+20；（） （1）设点 P 的坐标为 P（x，y） 点 P 在直线 AB 上，所以点 P 的坐标可以表示为（x， x+20） ，PK=100x，PH=80（x+20）=60+x，S=（100x） （60+x） ；（2）由 S=（100x） （60+x）=（x10）2+，15所以，当 x=10 时，矩形面积的最大值为：S最大=平方米点评：本题主要考查函数

30、模型的建立和应用，主要涉及了用解析法解决平面问题，矩形面积公式， 二次函数法求最值，以及数形结合的思想21 （14 分） （2014日照）阅读资料：小明是一个爱动脑筋的学生，他在学习了有关圆的切线性质 后，意犹未尽，又查阅到了与圆的切线相关的一个问题： 如图 1，已知 PC 是O 的切线，AB 是O 的直径，延长 BA 交切线 PC 与 P，连接 AC、BC、OC 因为 PC 是O 的切线，AB 是O 的直径，所以OCP=ACB=90，所以B=2在PAC 与PCB 中，又因为：P=P，所以PACPCB，所以=，即 PC2=PAPB问题拓展：（）如果 PB 不经过O 的圆心 O（如图 2）等式

31、PC2=PAPB，还成立吗？请证明你的结论； 综合应用： （）如图 3，O 是ABC 的外接圆，PC 是O 的切线，C 是切点，BA 的延长线交 PC 于点 P； （1）当 AB=PA，且 PC=12 时，求 PA 的值；（2）D 是 BC 的中点，PD 交 AC 于点 E求证：=考点：圆的综合题. 分析：（）证法一：如图 21，连接 PO 并延长交O 于点 D，E，连接 BD、AE，易证得PBDPEA，然后由相似三角形的对应边成比例，可得 PAPB=PDPE，由图 1 知，PC 2=PDPE，即可证得结论；16证法二：如图 22，过点 C 作O 的直径 CD，连接 AD，BC，AC，由 PC

32、 是O 的切线，易证得PBCPCA，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论；（） （1）由（1）得，PC 2=PAPB，PC=12，AB=PA，即可求得 PC 2=PAPB=PA（PA+AB）=2PA2，继而求得答案；（2）证法一：过点 A 作 AFBC，交 PD 于点 F，由平行线分线段成比例定理即可求得=，=，又由 PC 2=PAPB，即可证得结论；证法二：过点 A 作 AGBC，交 BC 于点 G，由平行线分线段成比例定理即可求得=，=，又由 PC 2=PAPB，即可证得结论解答：解：（）当 PB 不经过O 的圆心 O 时，等式 PC 2=PAPB 仍然成立证法一：如图 21，连接 P

33、O 并延长交O 于点 D，E，连接 BD、AE，B=E，BPD=APE， PBDPEA，即 PAPB=PDPE，由图 1 知，PC2=PDPE， PC2=PAPB证法二：如图 22，过点 C 作O 的直径 CD，连接 AD，BC，AC，PC 是O 的切线， PCCD， CAD=PCD=90， 即1+2=90，D+1=90， D=2 D=B， B=2， P=P， PBCPCA，所以，即 PC 2=PAPB（）由（1）得，PC2=PAPB，PC=12，AB=PA， PC2=PAPB=PA（PA+AB）=2PA2， 2PA2=144， PA=6（负值无意义，舍去） PA=617（2）证法一：过点 A

34、 作 AFBC，交 PD 于点 F，=，=D 为 BC 的中点， BD=CD，=，=PC 2=PAPB，=，即=证法二：过点 A 作 AGBC，交 BC 于点 G，=，=D 为 BC 的中点， BD=CD，=，=PC 2=PAPB，=，即=18点评：此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质以及圆周角定理等知识此题难度较大， 注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用22 （14 分） （2014日照）如图 1，在菱形 OABC 中，已知 OA=2，AOC=60，抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过 O，C，B 三点 （）求出点 B、C 的坐标并求抛物线的解析式 （）如图 2，点 E

35、 是 AC 的中点，点 F 是 AB 的中点，直线 AG 垂直 BC 于点 G，点 P 在直线 AG 上 （1）当 OP+PC 的最小值时，求出点 P 的坐标； （2）在（1）的条件下，连接 PE、PF、EF 得PEF，问在抛物线上是否存在点 M，使得以 M，B，C 为顶点的三角形与PEF 相似？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题. 分析：（）作 CHOA 于点 H，通过解三角函数求得 A、C 的坐标，由菱形的性质得出 B 点的坐 标，然后应用待定系数法即可求得解析式 （） （1）先求得抛物线的顶点坐标和与 x 轴的另一个交点坐标，当 OP+PC 最小时，由

36、对 称性可知，OP+PC=OB由于 OB 是菱形 ABCO 的对角线，即可求得 AOB=30，然后通过解直角三角函数即可求得 AP 的长，进而求得 P 点的坐标； （2）先求得PEF 是底角为 30的等腰三角形，根据 OC=BC=BD=2，BOC=BDC=30， 求得OBCBCDPEF，又因为 AQ=4，AG=3，BC=2，19所以 GQ=1，BG=，所以，tanBGQ=，即BGQ=30，得出BQC 也是底角为30的等腰三角形，即可求得符合条件的点 M 的坐标 解答：解：（）如图 1，作 CHOA 于点 H， 四边形 OABC 是菱形，OA=2，AOC=60， OC=2，OH=sin602=，

37、CH=cos602=3， A 点坐标为（2，0） ，C 点的坐标为（，3） ， 由菱形的性质得 B 点的坐标为（3，3） 设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，根据题意得，解得 a=，b=，c=0，所以，y=x2+x（） （1）如图 2，由（）知抛物线的解析式为：y=x2+x，所以对称轴为 x=2，顶点为 Q（2，4） 设抛物线与 x 轴的另一个交点为 D，令 y=0，得，x24x=0，解得 x1=0，x2=4， 所以点 D 的坐标为（4，0） ， 点 A 的坐标为（2，0） ，对称轴为 x=2， 且 AGBC， 直线 AG 为抛物线的对称轴 B、C 两点关于直线 AG 对称， 当 OP+

38、PC 最小时， 由对称性可知，OP+PC=OB 即 OB，AG 的交点为点 P， AOC=60，OB 为菱形 OABC 的对角线， AOB=30，即 AP=OAtan30=2=2，所以点 P 的坐标为（2，2） （2）连接 OB，CD，CQ，BQ， 由（1）知直线 AG 为抛物线的对称轴， 则四边形 ODBC 是关于 AG 成轴对称的图形 点 E 是 OB 中点，点 F 是 AB 的中点，点 P 在抛物 线的对称轴上， PE=PF，EFOD，CQ=BQ20PEF=BOA=30， 即PEF 是底角为 30的等腰三角形 在OBC、BCD 中， OC=BC=BD=2，BOC=BDC=30， 所以OBCBCDPEF， 所以，符合条件的点的坐标为（0，0） ， （4，0） 又因为 AQ=4，AG=3，BC=2， 所以 GQ=1，BG=，所以，tanBGQ=，即BGQ=30， BQC 也是底角为 30的等腰三角形， Q 点的（2，4） ， 所以符合条件的点 M 的坐标为（0，0） ， （4，0） ， （2，4） 点评：本题考查了直角三角函数的应用，待定系数法求解析式，菱形的性质，等腰三角形的性质， 三角形相似的判定等；连接 OB，CD，CQ，BQ，构建相似三角形是本题的关键