2012年全国中考数学分类解析汇编专题10：几何三大变换问题之对称.doc

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1、 12 012 年全国中考数学分类解析汇编年全国中考数学分类解析汇编专题专题 10：几何三大变换问题之对称：几何三大变换问题之对称一、选择题一、选择题1. （2012 江苏江苏连云港连云港 3 分）分）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片 ABCD 沿过点 B的直线折叠，使点 A 落在 BC 上的点 E 处，还原后，再沿过点 E 的直线折叠，使点 A 落在 BC 上的点 F处，这样就可以求出 67.5角的正切值是【 】A31 B21 C2.5 D5【答案答案】B。【考点考点】翻折变换(折叠问题)，折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，锐角三角函数定义，勾

2、股定理。【分析分析】将如图所示的矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠，使点 A 落在 BC 上的点 E 处，ABBE，AEBEAB45，还原后，再沿过点 E 的直线折叠，使点 A 落在 BC 上的点 F 处，AEEF，EAFEFA045 222.5。FAB67.5。设 ABx，则 AEEF2x，an67.5tanFABtFB2x+x21ABx。故选 B。2. （2012 江苏南京江苏南京 2 分）分）如图，菱形纸片 ABCD 中，A=600，将纸片折叠，点 A、D 分别落在 A、D处，且 AD经过 B，EF 为折痕，当 DFCD 时，CF FD的值为【 】2A. 31 2B. 3 6C.

3、 2 31 6D. 31 8【答案答案】A。【考点考点】翻折变换（折叠问题），菱形的性质，平行的性质，折叠的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析分析】延长 DC 与 AD，交于点 M，在菱形纸片 ABCD 中，A=60，DCB=A=60，ABCD。D=180-A=120。根据折叠的性质，可得ADF=D=120，FDM=180-ADF=60。DFCD，DFM=90，M=90-FDM=30。BCM=180-BCD=120，CBM=180-BCM-M=30。CBM=M。BC=CM。设 CF=x，DF=DF=y， 则 BC=CM=CD=CF+DF=x+y。FM=CM+CF=2x+y，在

4、RtDFM 中，tanM=tan30=D F y3 FM2xy3，3-1xy2。CF x3-1 FDy2。故选 A。3. （2012 福建南平福建南平 4 分）分）如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 3，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，将AB、AD 分别和 AE、AF 折叠，点 B、D 恰好都将在点 G 处，已知 BE=1，则 EF 的长为【 】3A3 2B5 2C9 4D3 【答案答案】B。【考点考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，勾股定理。【分析分析】正方形纸片 ABCD 的边长为 3，C=90，BC=CD=3。根据折叠的性质得：EG=BE=1，GF=DF。设 D

5、F=x，则 EF=EGGF=1x，FC=DCDF=3x，EC=BCBE=31=2。在 RtEFC 中，EF2=EC2FC2，即（x1）2=22（3x）2，解得：3x2。DF=3 2，EF=135=22。故选 B。4. （2012 四川资阳四川资阳 3 分）分）如图，在ABC 中，C90，将ABC 沿直线 MN 翻折后，顶点 C 恰好落在 AB 边上的点 D 处，已知 MNAB，MC6，NC2 3，则四边形 MABN 的面积是【 】A6 3 B12 3 C18 3 D24 3【答案答案】C。【考点考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，相似三角形的判定和性质，【分析分析】连接 CD，交 MN

6、 于 E，将ABC 沿直线 MN 翻折后，顶点 C 恰好落在 AB 边上的点 D处，MNCD，且 CE=DE。CD=2CE。MNAB，CDAB。CMNCAB。2 CMNCABSCE1 SCD4。4在CMN 中，C=90，MC=6，NC=2 3 ，CMN11S CM CN62 3 6 322 CABCMNS4S46 3 24 3。CABCMNMABNSSS24 36 318 3偶偶 边。故选 C。5. （2012 贵州遵义贵州遵义 3 分）分）如图，矩形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，将ABE 沿 BE 折叠后得到GBE，延长 BG 交 CD 于 F 点，若 CF=1，FD=2，则 BC

7、的长为【 】A3 2 B2 6 C2 5 D2 3【答案答案】B。【考点考点】翻折变换（折叠问题） ，矩形的性质和判定，折叠对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。【分析分析】过点 E 作 EMBC 于 M，交 BF 于 N。四边形 ABCD 是矩形，A=ABC=90，AD=BC，EMB=90，四边形 ABME 是矩形。AE=BM，由折叠的性质得：AE=GE，EGN=A=90，EG=BM。ENG=BNM，ENGBNM（AAS） 。NG=NM。E 是 AD 的中点，CM=DE，AE=ED=BM=CM。EMCD，BN：NF=BM：CM。BN=NF。NM=1 2CF=1 2。NG=1 2。BG

8、=AB=CD=CF+DF=3，BN=BGNG=315 22。BF=2BN=52222BCBFCF512 6。故选 B。6. （2012 山东济宁山东济宁 3 分）分）如图，将矩形 ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH=12 厘米，EF=16 厘米，则边 AD 的长是【 】5A12 厘米 B16 厘米 C20 厘米 D28 厘米【答案答案】C。【考点考点】翻折变换（折叠问题） ，折叠的性质，矩形的性质和判定，勾股定理。【分析分析】设斜线上两个点分别为 P、Q，P 点是 B 点对折过去的，EPH 为直角，AEHPEH。HEA=PEH。同理PEF=BEF。这四个

9、角互补。PEH+PEF=90，四边形 EFGH 是矩形，DHGBFE，HEF 是直角三角形。BF=DH=PF。AH=HP，AD=HF。EH=12cm，EF=16cm，FH=2222EHEF12 +1620（cm） 。AD=FH= 20cm。故选 C。7. （2012 广西河池广西河池 3 分）分）如图，在矩形 ABCD 中，ADAB，将矩形 ABCD 折叠，使点 C 与点 A 重合，折痕为 MN，连结 CN若CDN 的面积与CMN 的面积比为 14，则 MN BM的值为【 】A2B4 C2 5D2 6【答案答案】D。【考点考点】翻折变换（折叠问题） ，折叠的性质，矩形、菱形的判定和性质，勾股定

10、理。【分析分析】过点 N 作 NGBC 于 G，由四边形 ABCD 是矩形，易得四边形 CDNG 是矩形，又由折叠的性质，可得四边形 AMCN 是菱形，由CDN 的面积与CMN 的面积比为 1：4，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，可得 DN：CM=1：4，然后设 DN=x，由勾股定理可求得 MN 的长，从而求得答案：过点 N 作 NGBC 于 G，四边形 ABCD 是矩形，四边形 CDNG 是矩形，ADBC。CD=NG，CG=DN，ANM=CMN。6由折叠的性质可得：AM=CM，AMN=CMN，ANM=AMN。AM=AN。AM=CM，四边形 AMCN 是平行四边形。AM=CM，四边形 A

11、MCN 是菱形。CDN 的面积与CMN 的面积比为 1：4，DN：CM=1：4。设 DN=x，则 AN=AM=CM=CN=4x，AD=BC=5x，CG=x。BM=x，GM=3x。在 RtCGN 中，2222NGCNCG4xx15x，在 RtMNG 中， 2222MNGMNG3x15x=2 6x，MN2 6x=2 6BMx。故选 D。二、填空题二、填空题1. （2012 上海市上海市 4 分）分）如图，在 RtABC 中，C=90，A=30，BC=1，点 D 在 AC 上，将ADB沿直线 BD 翻折后，将点 A 落在点 E 处，如果 ADED，那么线段 DE 的长为 【答案答案】31。【考点考点

12、】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质。【分析分析】在 RtABC 中，C=90，A=30，BC=1，0BC1AC3tanAtan30。将ADB 沿直线 BD 翻折后，将点 A 落在点 E 处，ADB=EDB，DE=AD。ADED，CDE=ADE=90，EDB=ADB=00 036090=1352。CDB=EDBCDE=13590=45。C=90，CBD=CDB=45。7CD=BC=1。DE=AD=ACCD=31。2. （2012 浙江杭州浙江杭州 4 分）分）如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数

13、若在此平面直角坐标系内移动点 A，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点 A 的横坐标仍是整数，则移动后点 A 的坐标为 【答案答案】 （1，1） ， （2，2） 。【考点考点】利用轴对称设计图案。【分析分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，把A 进行移动可得到点的坐标：如图所示：A（1，1） ，A（2，2） 。3. （2012 福建莆田福建莆田 4 分）分）点 A、均在由面积为 1 的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示若 P 是 x 轴上使得PAPB的值最大的点，Q 是 y

14、轴上使得 QA 十 QB 的值最小的点，则OP OQ 【答案答案】5。【考点考点】轴对称（最短路线问题），坐标与图形性质，三角形三边关系，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析分析】连接 AB 并延长交 x 轴于点 P，作 A 点关于 y 轴的对称点 A连接 AB 交 y 轴于点 Q，求出点 Q与 y 轴的交点坐标即可得出结论：连接 AB 并延长交 x 轴于点 P，8由三角形的三边关系可知，点 P 即为 x 轴上使得|PAPB|的值最大的点。点 B 是正方形 ADPC 的中点，P（3，0）即 OP=3。作 A 点关于 y 轴的对称点 A连接 AB 交 y 轴于点 Q，则 AB 即为 Q

15、A+QB 的最小值。A（-1，2），B（2，1），设过 AB 的直线为：y=kx+b，则 2kb 12kb ，解得1k 3 5b3 。Q（0，5 3），即 OQ=5 3。OPOQ=35 3=5。4. （2012 四川内江四川内江 6 分）分）已知 A（1，5） ，B（3，1）两点，在 x 轴上取一点 M，使 AMBN 取得最大值时，则 M 的坐标为 【答案答案】 （7 2，0） 。【考点考点】一次函数综合题，线段中垂线的性质，三角形三边关系，关于 x 轴对称的点的坐标，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组。【分析分析】如图，作点 B 关于 x 轴的对称点 B，连接 AB并延

16、长与 x 轴的交点，即为所求的 M 点。此时 AMBM=AMBM=AB。不妨在 x 轴上任取一个另一点 M，连接 MA、MB、MB则 MAMB=MAMBAB（三角形两边之差小于第三边） 。MAMBAM-BM，即此时 AMBM 最大。B是 B（3，1）关于 x 轴的对称点，B（3，1） 。设直线 AB解析式为 y=kx+b，把 A（1，5）和 B（3，1）代入得：kb5 3kb1 ，解得 k2b7 。直线 AB解析式为 y=2x+7。令 y=0，解得 x=7 2。M 点坐标为（7 2，0） 。5. （2012 辽宁大连辽宁大连 3 分）分）如图，矩形 ABCD 中，AB15cm，点 E 在 AD

17、 上，且 AE9cm，连接 EC，将矩形 ABCD 沿直线 BE 翻折，点 A 恰好落在 EC 上的点 A处，则 AC cm。9【答案答案】8。【考点考点】翻折问题，矩形的性质，翻折对称的性质，勾股定理，解无理方程。【分析分析】根据矩形和翻折对称的性质，得 AB= AB15cm，AE=AE9cm，BAC=900。设 AC=x。在 RtBAC 中，根据勾股定理，得22222BCABAC15x = 225x。在 RtCDE 中，CD= AB15cm，CE= x9，根据勾股定理，得22222DECECDx+915x +18x144。AD=AEDE= 29+ x +18x144。AD=BC，即229+

18、 x +18x144= 225x。两边平方并整理，得 216x= x +18x144 ，两边平方并整理，得 50x=400。解得 x=8。经检验，x=8 是原方程的根并符合题意。6. （2012 贵州黔西南贵州黔西南 3 分）分）把一张矩形纸片（矩形 ABCD）按如图方式折叠，使顶点 B 和点 D 重合，折痕为 EF，若 AB3cm，BC5cm，则重叠部分DEF 的面积为 cm 2。【答案答案】51 10。【考点考点】折叠问题，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理。【分析分析】设 ED=x，则根据折叠和矩形的性质，得 AE=AE=5x，AD=AB=3。根据勾股定理，得222EDA EA D，即22

19、2x5x3，解得17x5。10DEF1 1751S3=2510（cm 2）。7. （2012 山东青岛山东青岛 3 分）分）如图，圆柱形玻璃杯高为 12cm、底面周长为 18cm，在杯内离杯底 4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm【答案答案】15。【考点考点】圆柱的展开，矩形的性质，轴对称的性质，三角形三边关系，勾股定理。【分析分析】如图，圆柱形玻璃杯展开（沿点 A 竖直剖开）后侧面是一个长18 宽 12 的矩形，作点 A 关于杯上沿 MN 的对称点 B，连接 BC 交 MN于点 P，连接 BM，过点

20、 C 作 AB 的垂线交剖开线 MA 于点 D。由轴对称的性质和三角形三边关系知 APPC 为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，且 AP=BP。由已知和矩形的性质，得 DC=9，BD=12。在 RtBCD 中，由勾股定理得2222BCDCBD91215。APPC=BPPC=BC=15，即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 15cm。8. （2012 河南省河南省 5 分）分）如图，在 RtABC 中，C=900，B=300，BC=3，点 D 是 BC 边上一动点（不与点 B、C 重合） ，过点 D 作 DEBC 交 AB 边于点 E，将B 沿直线 DE 翻折，点 B 落在射线 BC 上的点 F 处，当AEF 为直

21、角三角形时，BD 的长为 【答案答案】1 或 2。11【考点考点】翻折问题，轴对称的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，全等三角形的判定和性质。【分析分析】在 RtABC 中，C=900，B=300，BC=3，AC=3，AB=23。当 F 在 BC 之间时，由翻折可知：BE=EF，B=EFD=300，由图可知：AFE=900，AFC=600，设 BD=m，则 FD= m，FC=2 m。 ACtanAFCFC，即2 332m，解得 m=1。当 F 在 BC 外部时，由翻折可知：BE=EF，B=EFD=300。如图可知：BAF=900，易得：AFE=BEF=300。AEFDFE（AAS）

22、。AE=DE。设 BD= m，DE=3m3，BE=2 3m3。AB=AEBE=DEBE=32 3m+m=2 333，解得 m=2。综上所述，BD 的长为 1 或 2。9. （2012 内蒙古包头内蒙古包头 3 分）分）如图，将ABC 纸片的一角沿 DE 向下翻折，使点 A 落在 BC 边上的 A 点处，且 DEBC ，下列结论： AEDC； A DA EDBEC； BC= 2DE ； BD AE A CAD A ESSS偶偶 边。其中正确结论的个数是 个。【答案答案】4。【考点考点】折叠问题，折叠对称的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形两锐角的关系，三角形中位线定理，全等、

23、相似三角形的判定和性质。【分析分析】DEBC，根据两直线平行，同位角相等，得AEDC。正确。12根据折叠对称的性质，A D=AD，A E=AE。DEBC，根据两直线分线段成比例定理，得ADAEDBEC。A DA EDBEC。正确。连接 A A ，根据折叠对称的性质，A ，A 关于 DE 对称。A A DE。DEBC，A A BC。A D=AD，DA A D A A。DB A D A B。BD= A D。BD=AD。DE 是ABC 的中位线。BC= 2DE。正确。DEBC，ABCADE。由BC= 2DE，ADEABC1SS4。根据折叠对称的性质，ADEADE。ABCAD A E1SS2偶偶 边。

24、BD AE A CABC1SS=S2，即BD AE A CAD A ESSS偶偶 边。正确。综上所述，正确结论的个数是 4 个。10. （2012 黑龙江绥化黑龙江绥化 3 分）分）长为 20，宽为 a 的矩形纸片（10a20），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若在第 n 次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作停止当 n=3 时，a 的值为 .【答案答案】12 或 15。【考点考点】翻折变换（折叠问题） ，正方形和矩形的性质，剪纸问题，分类归纳（图形的变化类

25、） 。【分析分析】根据操作步骤，可知每一次操作时所得正方形的边长都等于原矩形的宽所以首先需要判断矩形相邻的两边中，哪一条边是矩形的宽。当 10a20 时，矩形的长为 20，宽为 a，所以，第一次操作时，所得正方形的边长为 a，剩下的矩形相邻的两边分别为 20a，a。第二次操作时，由 20aa 可知所得正方形的边长为 20a，剩下的矩形相邻的两边分别为1320a，a（20a）=2a20。（20a）（2a20）=403a，20a 与 2a20 的大小关系不能确定，需要分情况进行讨论。第三次操作时，当 20a2a20 时，所得正方形的边长为 2a20，此时，20a（2a20）=403a，此时剩下的矩

26、形为正方形，由 403a=2a20 得 a=12。当 2a2020a 时，所得正方形的边长为 20a，此时，2a20（20a）=3a40，此时剩下的矩形为正方形，由 3a40=20a 得 a=15。故答案为 12 或 15。三、解答题三、解答题1. （2012 海南省海南省 I11 分）分）如图（1） ，在矩形 ABCD 中，把B、D 分别翻折，使点 B、D 分别落在对角线 BC 上的点 E、F 处，折痕分别为 CM、AN.（1）求证：ANDCBM.（2）请连接 MF、NE，证明四边形 MFNE 是平行四边形，四边形 MFNE 是菱形吗？请说明理由？（3）P、Q 是矩形的边 CD、AB 上的两

27、点，连结 PQ、CQ、MN，如图（2）所示，若PQ=CQ，PQMN。且 AB=4，BC=3，求 PC 的长度.【答案答案】 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形，D=B，AD=BC，ADBC。DAC=BCA。又由翻折的性质，得DAN=NAF，ECM=BCM，DAN=BCM。ANDCBM（ASA） 。（2）证明：ANDCBM，DN=BM。又由翻折的性质，得 DN=FN，BM=EM，FN=EM。又NFA=ACDCNF=BACEMA=MEC，14FNEM。四边形 MFNE 是平行四边形。四边形 MFNE 不是菱形，理由如下：由翻折的性质，得CEM=B=900，在EMF 中，FEMEFM。FMEM。四

28、边形 MFNE 不是菱形。（3）解：AB=4，BC=3，AC=5。设 DN=x，则由 SADC=SANDSNAC得3 x5 x=12，解得 x=3 2，即 DN=BM=3 2。过点 N 作 NHAB 于 H，则 HM=43=1。在NHM 中，NH=3，HM=1，由勾股定理，得 NM=10。PQMN，DCAB，四边形 NMQP 是平行四边形。NP=MQ，PQ= NM=10。又PQ=CQ，CQ=10。在CBQ 中，CQ=10，CB=3，由勾股定理，得 BQ=1。NP=MQ=1 2。PC=43 21 2=2。【考点考点】翻折问题，翻折的性质，矩形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形

29、的判定和性质，菱形的判定，勾股定理。【分析分析】 （1）由矩形和翻折对称的性质，用 ASA 即可得到ANDCBM。（2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定即可证明。（3）设 DN=x，则由 SADC=SANDSNAC可得 DN=BM=3 2。过点 N 作 NHAB 于 H，则由勾股定理可得 NM=10，从而根据平行四边形的性质和已知 PQ=CQ，即可求得 CQ=10。因此，在CBQ 中，应用勾股定理求得 BQ=1。从而求解。2. （2012 天津市天津市 10 分）分）已知一个矩形纸片 OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点 A（11，0） ，点 B（0，6） ，点 P 为

30、 BC 边上的动点（点 P 不与点 B、C 重合） ，经过点 O、P 折叠该纸片，得点 B和折痕 OP设 BP=t（）如图，当BOP=300时，求点 P 的坐标；15（）如图，经过点 P 再次折叠纸片，使点 C 落在直线 PB上，得点 C和折痕 PQ，若 AQ=m，试用含有 t 的式子表示 m；（）在（）的条件下，当点 C恰好落在边 OA 上时，求点 P 的坐标（直接写出结果即可） 【答案答案】解：（）根据题意，OBP=90，OB=6。在 RtOBP 中，由BOP=30，BP=t，得 OP=2t。OP2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=2 3，t2=2 3（舍去） 点 P

31、 的坐标为（2 3 ，6） 。（）OBP、QCP 分别是由OBP、QCP 折叠得到的，OBPOBP，QCPQCP。OPB=OPB，QPC=QPC。OPB+OPB+QPC+QPC=180，OPB+QPC=90。BOP+OPB=90，BOP=CPQ。又OBP=C=90，OBPPCQ。OBBP PCCQ。由题意设 BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，则 PC=11t，CQ=6m6t 11t6m。2111mt t666（0t11） 。（）点 P 的坐标为（1113 3，6）或（11+ 13 3，6） 。【考点考点】翻折变换（折叠问题） ，坐标与图形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角

32、形的判定和性质。【分析分析】 （）根据题意得，OBP=90，OB=6，在 RtOBP 中，由BOP=30，BP=t，得 OP=2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案。（）由OBP、QCP 分别是由OBP、QCP 折叠得到的，可知OBPOBP，QCPQCP，易证得OBPPCQ，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案。（）首先过点 P 作 PEOA 于 E，易证得PCECQA，由勾股定理可求得 CQ 的长，然16后利用相似三角形的对应边成比例与2111mt t666，即可求得 t 的值： 过点 P 作 PEOA 于 E，PEA=QAC=90。PCE+EPC=90。PCE+Q

33、CA=90，EPC=QCA。PCECQA。PE PC ACC Q。PC=PC=11t，PE=OB=6，AQ=m，CQ=CQ=6m，22AC C QAQ 3612m。611t6m3612m。6t 11t6m，即611t t6m，66=t3612m，即23612m=t。将2111mt t666代入，并化简，得23t22 t36=0。解得：12111311+ 13tt33偶。点 P 的坐标为（1113 3，6）或（11+ 13 3，6） 。3. （2012 广东汕头广东汕头 12 分）分）如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB=6，BC=8把BCD 沿对角线 BD 折叠，使点 C 落在 C处，BC交

34、AD 于点 G；E、F 分别是 CD 和 BD 上的点，线段 EF 交 AD 于点 H，把FDE沿 EF 折叠，使点 D 落在 D处，点 D恰好与点 A 重合（1）求证：ABGCDG；（2）求 tanABG 的值；（3）求 EF 的长【答案答案】 （1）证明：BDC由BDC 翻折而成，C=BAG=90，CD=AB=CD，AGB=DGC，ABG=ADE。在ABGCDG 中，BAG=C，AB= CD，ABG=AD C，ABGCDG（ASA） 。17（2）解：由（1）可知ABGCDG，GD=GB，AG+GB=AD。设 AG=x，则 GB=8x，在 RtABG 中，AB2+AG2=BG2，即 62+x

35、2=（8x）2，解得 x=7 4。7 AG74tan ABGAB624。（3）解：AEF 是DEF 翻折而成，EF 垂直平分 AD。HD=1 2AD=4。tanABG=tanADE=7 24。EH=HD7 24=477=246。EF 垂直平分 AD，ABAD，HF 是ABD 的中位线。HF=1 2AB=1 26=3。EF=EH+HF=725+3=66。【考点考点】翻折变换（折叠问题），翻折变换的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义，三角形中位线定理。【分析分析】 （1）根据翻折变换的性质可知C=BAG=90，CD=AB=CD，AGB=DGC，故可得出结论。（2）

36、由（1）可知 GD=GB，故 AG+GB=AD，设 AG=x，则 GB=8-x，在 RtABG 中利用勾股定理即可求出 AG 的长，从而得出 tanABG 的值。（3）由AEF 是DEF 翻折而成可知 EF 垂直平分 AD，故 HD=1 2AD=4，再根据 tanABG 的值即可得出 EH 的长，同理可得 HF 是ABD 的中位线，故可得出 HF 的长，由 EF=EH+HF 即可得出结果。4. （2012 广东省广东省 9 分）分）如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB=6，BC=8把BCD 沿对角线 BD 折叠，使点C 落在 C处，BC交 AD 于点 G；E、F 分别是 CD 和 BD 上的点

37、，线段 EF 交 AD 于点 H，把FDE 沿EF 折叠，使点 D 落在 D处，点 D恰好与点 A 重合（1）求证：ABGCDG；（2）求 tanABG 的值；（3）求 EF 的长18【答案答案】 （1）证明：BDC由BDC 翻折而成，C=BAG=90，CD=AB=CD，AGB=DGC，ABG=ADE。在ABGCDG 中，BAG=C，AB= CD，ABG=AD C，ABGCDG（ASA） 。（2）解：由（1）可知ABGCDG，GD=GB，AG+GB=AD。设 AG=x，则 GB=8x，在 RtABG 中，AB2+AG2=BG2，即 62+x2=（8x）2，解得 x=7 4。7 AG74tan

38、ABGAB624。（3）解：AEF 是DEF 翻折而成，EF 垂直平分 AD。HD=1 2AD=4。tanABG=tanADE=7 24。EH=HD7 24=477=246。EF 垂直平分 AD，ABAD，HF 是ABD 的中位线。HF=1 2AB=1 26=3。EF=EH+HF=725+3=66。【考点考点】翻折变换（折叠问题），翻折变换的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义，三角形中位线定理。【分析分析】 （1）根据翻折变换的性质可知C=BAG=90，CD=AB=CD，AGB=DGC，故可得出结论。（2）由（1）可知 GD=GB，故 AG+GB=AD，设 A

39、G=x，则 GB=8-x，在 RtABG 中利用勾股定理即可求出 AG 的长，从而得出 tanABG 的值。（3）由AEF 是DEF 翻折而成可知 EF 垂直平分 AD，故 HD=1 2AD=4，再根据 tanABG 的值即可得出 EH 的长，同理可得 HF 是ABD 的中位线，故可得出 HF 的长，由 EF=EH+HF 即可得出结果。195. （2012 广东珠海广东珠海 9 分）分） 已知，AB 是O 的直径，点 P 在弧 AB 上（不含点 A、B） ，把AOP 沿 OP对折，点 A 的对应点 C 恰好落在O 上（1）当 P、C 都在 AB 上方时（如图 1） ，判断 PO 与 BC 的位

40、置关系（只回答结果） ；（2）当 P 在 AB 上方而 C 在 AB 下方时（如图 2） ， （1）中结论还成立吗？证明你的结论；（3）当 P、C 都在 AB 上方时（如图 3） ，过 C 点作 CD直线 AP 于 D，且 CD 是O 的切线，证明：AB=4PD【答案答案】解：（1）PO 与 BC 的位置关系是 POBC。（2） （1）中的结论 POBC 成立。理由为：由折叠可知：APOCPO，APO=CPO。又OA=OP，A=APO。A=CPO。又A 与PCB 都为APB所对的圆周角，A=PCB。CPO=PCB。POBC。（3）证明：CD 为圆 O 的切线，OCCD。又ADCD，OCAD。A

41、PO=COP。由折叠可得：AOP=COP，APO=AOP。又OA=OP，A=APO。A=APO=AOP。APO 为等边三角形。AOP=60。又OPBC，OBC=AOP=60。又OC=OB，BC 为等边三角形。COB=60。POC=180（AOP+COB）=60。又OP=OC，POC 也为等边三角形。PCO=60，PC=OP=OC。20又OCD=90，PCD=30。在 RtPCD 中，PD=1 2PC，又PC=OP=1 2AB，PD=1 4AB，即 AB=4PD。【考点考点】折叠的性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，平行的判定和性质，切线的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形

42、的判定和性质，含 30 度角的直角三角形的性质。【分析分析】 （1）由折叠可得，由AOP=POC ；因为AOC 和ABC 是弧AAC所对的圆心角和圆周角，根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得AOP=ABC；根据同位角相等两直线平行的判定，得PO 与 BC 的位置关系是平行。（2） （1）中的结论成立，理由为：由折叠可知三角形 APO 与三角形 CPO 全等，根据全等三角形的对应角相等可得出APO=CPO，再由 OA=OP，利用等边对等角得到A=APO，等量代换可得出A=CPO，又根据同弧所对的圆周角相等得到A=PCB，再等量代换可得出COP=ACB，利用内错角相等两直线平行，可得出 PO

43、与 BC 平行。（3）由 CD 为圆 O 的切线，利用切线的性质得到 OCCD，又 ADCD，利用平面内垂直于同一条直线的两直线平行得到 OCAD，根据两直线平行内错角相等得到APO=COP，再利用折叠的性质得到AOP=COP，等量代换可得出APO=AOP，再由 OA=OP，利用等边对等角可得出一对角相等，等量代换可得出AOP 三内角相等，确定出AOP 为等边三角形，根据等边三角形的内角为 60得到AOP=60，由 OPBC，利用两直线平行同位角相等可得出OBC=AOP=60，再由 OB=OC，得到OBC 为等边三角形，可得出COB 为 60，利用平角的定义得到POC 也为 60，再加上 OP

44、=OC，可得出POC 为等边三角形，得到内角OCP=60，可求出PCD=30，在 RtPCD 中，利用 30所对的直角边等于斜边的一半可得出 PD 为 PC 的一半，而 PC=圆的半径 OP=直径 AB 的一半，可得出 PD 为AB 的四分之一，即 AB=4PD，得证。6. （2012 广西南宁广西南宁 10 分）分）如图，已知矩形纸片 ABCD，AD=2，AB=4将纸片折叠，使顶点 A 与边 CD上的点 E 重合，折痕 FG 分别与 AB，CD 交于点 G，F，AE 与 FG 交于点 O（1）如图 1，求证：A，G，E，F 四点围成的四边形是菱形；（2）如图 2，当AED 的外接圆与 BC 相切于点 N 时，求证：点 N 是线段 BC 的中点；（3）如图 2，在（2）的条件下，求折痕 FG 的长21【答案答案】解：（1）由折叠的性质可得，GA=GE，AGF=EGF，DCAB，EFG=